最小二乘法多項式擬合

1、最小二乘法多項式擬合對于給定的數(shù)據(jù)點(x,y),1iN，可用下面的n階多項式進行擬合，即iif(x)，a+ax+ax2h，工axkTOC o 1-5 h z012kk，0為了使擬合出的近似曲線能盡量反映所給數(shù)據(jù)的變化趨勢，要求在所有數(shù)據(jù)點上的殘差Il，lf(x)yIiii都較小。為達到上述目標，可以令上述偏差的平方和最小，即迓()2，迓f(x)y2，min HYPERLINK l bookmark48iiii，1i，1稱這種方法為最小二乘原則，利用這一原則確定擬合多項式f(x)的方法即為最小二乘法多項式擬合。確定上述多項式的過程也就是確定f(x)中的系數(shù)a,0kn的過程，根據(jù)最小二乘k原則，則

2、偏差平方和應該是這些系數(shù)的函數(shù)，即S(a,a,a)，迓()2，迓f(x)y2，minTOC o 1-5 h z01niiii，1i，1為使上式取值最小，則其關(guān)于a，okn的一階導數(shù)應該為零，即有導正2f(xi)y,0n迓f(xi)y,0亠(xi)=60i，1i，1i，1i，1Is正2xF(9yi,0n迓xF(9yi,0n迓xif(x-)正xyi1i，1i，1i，1i，1iiiii，1i，1，迓2kxkf(x)y，0n迓xkf(x)y，0n迓xkf(x)，iiiii，1i，1ki，1i，1，迓2nxnf(x)y，0n迓xnf(x)y，0n迓xnf(x)，迓xnyIaiiiiiiiiiini，1i

3、，1i，1i，1將上面各等式寫成方程組的形式可有f(x)=yniii=1i=1aN+axf(x)=yniii=1i=101i2iniii=1i=1i=1i=1xf(x)=xyniiiii=1i=1ax,xf(x)=xyniiiii=1i=1ax,ax2,ax3,a0i1i2ini=1i=1i=1Xn，1i=xyiii=1xkf(x)=xkyniiiii=1i=1axk,axk,1,axk,2,a0i1i2ii=1i=1xn,kii=1=xkyiii=1xnf(x)=xnyniiiii=1axn,a0i=1N1i=1xn,1,aixn,2,a2ii=1x2n=ii=1xnyiii=1寫成矩陣形式

4、有Nxii=1Nxkii=1Nxnii=1Nxii=1Nxkii=1Nxnii=1NxiNxkiNxniNx2ii=1xk,1ii=1xn,1ii=11xk,1ii=1x2kii=1xn,kii=1xnii=1xn,kii=1x2ni=1i丿ra10a1Nxyiii=1xkyiii=1xnyi=1ii丿上述方程組可以通過克萊姆法則來計算從而解出各系數(shù)ak,0kn得到擬合方程?？紤]到一般情況提高擬合多項式的階數(shù)并不能提高擬合精度，所以常用的多項擬合階數(shù)為一階和二階，即線性擬合和二次擬合。兩者的計算公式如下：Nxix2ii=1Nxii=Nxix2ii=1Nxii=1NxiNx2ix3ii=1Nx2

5、i=1丿Nx2iNx3iNx4i=1i丿(a)0Ia1丿(a)0a1,a丿21xyi=1ii丿ny=a+ax01Ny1iNxyiix2yi=1ii丿關(guān)于線性擬合，除上面按克萊姆法則來計算外，還可以有另一思路，下面對此進行說明。由于是線性擬合，最后得到的是一條直線，因此，直線可以由斜率和截距兩個參數(shù)來確定因此，求出這兩個參數(shù)即可。首先對克萊姆法的求解結(jié)果進行展開可以得到=0N迓xyi丿N為x2-iLxN迓xyi丿N為x2-iLxi=ii=丿討PXi丿i-1i=1i=!ii=丿下面考慮先計算斜率再計算截距的方法，從下圖可見，斜率計算與坐標系的位置無關(guān)=0=0圖中1x=Xx,_1y=Xy,Ni=ii

6、丿Ni=ii丿則在新的坐標系（x,y）下斜率的計算公式與前面的計算公式相同將其中的坐標（x，y）換成（x,y）即可得到下面的計算公式a=1NXxyLXyYXxNXx2-Xxi=!ii=!i丿由樣本在新坐標系下的坐標x和y的均值為零，或者由下面推導可知iiiii=1i=1則斜率的計算公式可以簡化為迓y=(y-y)=迓y-Ny=Xy-Nf丄迓yiiiiNii=1i=1i=1i=1i=1迓x=X(x-x)=Xx-Nx=迓x-Nf丄迓xiiNi丿i=1i=1i=1a=XxyXx21iiii=1i=1=001XX01XX還原為原坐標有N(xX)(yy)iiN(X一X)2i=1面推導截距的計算公式NNx2NXyiiNNNNi=1Nii=1ii=1yiNi=1Ni=1Nii=1XyiiNi=1Ni=1Ni=1NNNNi=1i=1Ni=1iyi4=1yiyiNN4=1Ni4=1XyiiNNNi=1i=1iNNXyiiNNNi=11Ni=1這樣