淡淡型數(shù)列不等式的證法

1、本文格式為Word版，下載可任意編輯 淡淡型數(shù)列不等式的證法 陳俊國(guó) 羅華根 型數(shù)列不等式證明題一般較為繁雜，好多同學(xué)在解題時(shí)不知該如何下手.對(duì)此，筆者對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的證法進(jìn)行了探究. 若已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為（A，B，C 為常數(shù)，且 A0，An2+Bn + C0），且和式ak的值不易求得，在證明數(shù)列不等式akm（m為常數(shù)，且 m 0）時(shí)，往往可采用裂項(xiàng)放縮法，即將數(shù)列an中的項(xiàng)an放大為bn，構(gòu)造出數(shù)列bn，再利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列bn的和 k，然后即可證得 k nm .這種證法的難點(diǎn)在于：（1）使放縮后的式子可以進(jìn)行裂項(xiàng)求和;（2）使所證不等式的右邊精準(zhǔn)地出現(xiàn)常數(shù) m .下面通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析

2、，進(jìn)一步探究在一定條件下運(yùn)用裂項(xiàng)放縮法證明“ m（A，B，C，m為常數(shù)，且 A 0，m 0，An2+Bn + C ）型數(shù)列不等式的思路. 例1.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an = ，前 n 項(xiàng)和為 Sn，求證：對(duì)一切正整數(shù)n，都有 Sn . 解析：此題的常規(guī)證法是利用裂項(xiàng)相消法對(duì)放縮后的式子進(jìn)行求和.放縮的難點(diǎn)在于放縮成什么形式，才能精準(zhǔn)地湊出所證數(shù)列不等式右邊的常數(shù)“3 .為了使放縮更加精準(zhǔn)，需依據(jù)不等式右邊的常數(shù)“3 及數(shù)列的通項(xiàng)公式，構(gòu)造出能運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和的數(shù)列bn，使bk且 an bn，如此便能輕松地證明該數(shù)列不等式成立. 證明： 所以不等式得證. 相較于常規(guī)證法，這種證法顯然具有

3、很大的優(yōu)越性，表達(dá)在能直接依據(jù)所證的不等式構(gòu)造出可以裂項(xiàng)求和的數(shù)列通項(xiàng)公式，且能精準(zhǔn)地湊出所證不等式右邊的常數(shù)“ . 因此，證明m（A，B，C，m為常數(shù)，且 A0，m 0，An2+Bn + C 0），可采用如下思路： 構(gòu)造數(shù)列bn，設(shè)bn = ，且 b1=a1， 例2. 證明： 所以不等式得證. 在設(shè)新數(shù)列 bn 時(shí)，可參考 bn = （n + s）（nt+ s - 1） 來(lái)建立關(guān)系式，由再裂項(xiàng)求和即可.顯然，若用常規(guī)的思路證明，很難做到在裂項(xiàng)放縮求和后，精準(zhǔn)地湊出不等式右邊的常數(shù)“，但若采用上述方法，可使問(wèn)題順利得解. 例3.已知，數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為Sn ，求證：對(duì)一切正整數(shù) n ，都有. 證明： 所以不等式得證. 依據(jù)通項(xiàng)公式，可設(shè)從而構(gòu)造出數(shù)列的通項(xiàng)在證明結(jié)論之后，務(wù)必檢驗(yàn)是否成立，若成立，便能證得，否則此法就行不通. 通過(guò)以上分析可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A，B，C，m為常數(shù)，且 A 0，m 0，An2 + Bn + C 0 時(shí)，才能運(yùn)用上述裂項(xiàng)放縮法證明此類(lèi)數(shù)列不等式.解題的關(guān)鍵是要使不等式 需要說(shuō)明的是，在滿足上述條件（*）時(shí)，運(yùn)用上述方法證明此類(lèi)數(shù)列不等式確實(shí)具有優(yōu)越性，但若 m 較小，便可能會(huì)出現(xiàn)不滿足條件（*）