數(shù)值變量資料的統(tǒng)計(jì)描述課件

1、第十五章 數(shù)值變量的統(tǒng)計(jì)分析11頻數(shù)分布表與頻數(shù)分布圖2集中趨勢(shì)的描述3離散趨勢(shì)的描述4正態(tài)分布和醫(yī)學(xué)參考值范圍的估計(jì)數(shù)值變量資料的統(tǒng)計(jì)描述 150 名 3 歲女孩身高（cm）資料如下80.1 100.1 97.0 96.7 97.9 100.7 86.2 91.7 94.7 90.8 97.1 95.8 92.5 82.5 102.6 99.1 96.6 99.3 85.2 89.2 90.6 95.1 93.6 93.7 95.1 97.384.4 104.8 101.3 98.7 101.5 87.1 89.0 92.7 96.8 92.7 94.9 99.4 91.187.2 83.5

2、 103.2 101.6 84.4 88.4 91.8 93.6 99.2 94.4 86.4 91.7 88.489.3 84.2 82.3 84.5 87.9 89.4 91.9 94.5 86.9 95.6 96.5 92.5 85.789.1 86.5 85.0 87.6 89.3 90.4 92.1 95.0 89.3 96.3 96.2 94.3 99.591.3 89.7 87.4 89.8 88.7 90.2 92.9 97.2 91.4 90.3 94.2 94.6 96.2一、數(shù)值變量資料的頻數(shù)分布頻數(shù)（frequency）對(duì)一組研究對(duì)象進(jìn)行觀察，某變量或變量值出現(xiàn)的次數(shù)，

3、就是變量值的個(gè)數(shù)。 頻數(shù)分布：變量在其取值范圍內(nèi)各組段分布情況。用頻數(shù)分布表（簡(jiǎn)稱頻數(shù)表）、頻數(shù)分布圖表示。 反映各變量值與其頻數(shù)之間的關(guān)系，觀察資料的分布特征和分布類型，為進(jìn)一步描述奠定基礎(chǔ)。內(nèi)容 頻數(shù)分布表的編制 頻數(shù)分布圖 頻數(shù)分布的特征 頻數(shù)分布的類型 應(yīng)用 80.1 100.1 97.0 96.7 97.9 100.7 86.2 91.7 94.7 90.8 97.1 95.8 92.5 82.5 102.6 99.1 96.6 99.3 85.2 89.2 90.6 95.1 93.6 93.7 95.1 97.384.4 104.8 101.3 98.7 101.5 87.1 8

4、9.0 92.7 96.8 92.7 94.9 99.4 91.187.2 83.5 103.2 101.6 84.4 88.4 91.8 93.6 99.2 94.4 86.4 91.7 88.489.3 84.2 82.3 84.5 87.9 89.4 91.9 94.5 86.9 95.6 96.5 92.5 85.789.1 86.5 85.0 87.6 89.3 90.4 92.1 95.0 89.3 96.3 96.2 94.3 99.591.3 89.7 87.4 89.8 88.7 90.2 92.9 97.2 91.4 90.3 94.2 94.6 96.2150 名 3 歲

5、女孩身高（cm）資料如下1.計(jì)算全距：全距又叫極差（range），以R表示，指數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差，它描述了數(shù)據(jù)變異的幅度。2.劃分組段：確定組數(shù)、組距和上下限。3.列表歸組。本例中最大值為104.8最小值為80.1R=104.880.1=24.7（cm）為了簡(jiǎn)化資料組數(shù)不宜過(guò)多組數(shù)也不能太少否則就掩蓋了數(shù)據(jù)分布的規(guī)律一般取815組，最常取10組具體視觀察值個(gè)數(shù)n的多少而定組距（class interval）即每組間的距離,以i表示i= Rk 即全距組數(shù)本例中i =24.710=2.47為了便于分組，可以將 i 取整為2確定了組數(shù)和組距就可以劃分組段，每個(gè)組段的起點(diǎn)稱“下限”，終點(diǎn)稱“上限

6、”。為避免含混，每個(gè)組段包含下限，不包含上限，是個(gè)半開半閉區(qū)間 ： )第一組必包含最小值，最后一組必包括最大值。本例：第一組下限取80，上限=下限+組距=82該值也是第二組的下限，以此類推。本例共劃分13個(gè)組段。 以直方圖多見，更直觀了解頻數(shù)分布情況。 組距有等距與不等距之分。 不等距是就變量值的劃分而言，直方圖的寬度 始終相等。頻數(shù)分布圖圖15-1 某市150名3歲女孩身高的頻數(shù)分布年齡（歲） 患者人數(shù) 每歲患者人數(shù) 年齡（歲）患者人數(shù) 每歲患者人數(shù) 0 3 3 8 8 8 1 3 3 9 6 6 2 9 9 10 36 3.6 3 11 11 20 13 1.3 4 23 23 30 11

7、 1.1 5 22 22 40 4 0.4 6 11 11 5060 1 0.1 7 14 14某市某年乙腦患者的年齡分布集中趨勢(shì)（central tendency）3歲女孩身高雖然有高有矮，但向中間集中，中等身高（92-94cm）的人數(shù)最多。離散趨勢(shì)（tendency of dispersion）從中等身高向較矮或較高方向頻數(shù)逐漸減少，向兩端離散。頻數(shù)分布特征頻數(shù)分布類型對(duì)稱分布（正態(tài)分布）偏態(tài)分布 偏態(tài)分布：頻數(shù)分布不對(duì)稱，在頻數(shù)分布圖上表現(xiàn)為高峰偏向一側(cè)，依高峰所在位置又分為正偏態(tài)分布和負(fù)偏態(tài)分布兩種。正偏態(tài)分布：高峰偏左側(cè)，即在觀察值較小的一端集中了較多的頻數(shù)。如：正常人體中某些非必需

8、微量元素的頻數(shù)分布。負(fù)偏態(tài)分布：高峰偏右側(cè)，較為少見。238名正常人發(fā)汞值(g/g) 的頻數(shù)分布發(fā) 汞 值 頻 數(shù) 累計(jì)頻數(shù) 累計(jì)頻率 (1) (2)(3) (4)=(3)/238 0.3 20 20 8.4 0.7 6686 36.1 1.1 60 146 61.3 1.5 48 194 81.5 1.9 18 212 89.1 2.3 16 228 95.8 2.7 6 234 98.3 3.1 1 235 98.7 3.5 0 235 98.7 3.94.3 3 238 100.0 年齡組 惡性腫瘤死亡率(1/10萬(wàn)) 0 0.5 10 12 20 15 30 76 40 189 50

9、234 60 386 70 286某地某年惡性腫瘤死亡率的年齡分布 揭示資料的分布特征、分布類型。 便于發(fā)現(xiàn)某些特大或特小的可疑值。 便于進(jìn)一步計(jì)算統(tǒng)計(jì)學(xué)指標(biāo)。頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布圖的應(yīng)用 又稱平均數(shù)(average)，是統(tǒng)計(jì)學(xué)中應(yīng)用最廣泛、最重要的一個(gè)指標(biāo)體系。 常用的有算術(shù)均數(shù)、幾何均數(shù)、中位數(shù)三個(gè)指標(biāo)。用于描述一組同質(zhì)計(jì)量資料的集中位置或反映一組觀察值的平均水平。二、集中趨勢(shì)指標(biāo)(central tendency)最常用，也簡(jiǎn)稱均數(shù)（mean）。反映一組數(shù)據(jù)在數(shù)量上的平均水平和在分布圖上的集中位置。總體均數(shù)用 表示，樣本均數(shù)用 x 表示適用于描述對(duì)稱分布、正態(tài)分布（或近似正態(tài) 分布）資料

10、的集中趨勢(shì)。1 算術(shù)均數(shù)一10名3歲女孩身高（cm）分別為：92.5、82.5、102.6、99.1、96.6、99.3、85.2、89.2、90.6、95.1，求其平均身高。代入公式得：2.加權(quán)法（大樣本，一般以頻數(shù)表為基礎(chǔ)） f1、f2fk為各組段頻數(shù)， X1、 X2 Xk 為各組段組中值，即（本組下限+下組下限）2，k為組數(shù)。 表 15-2 某市150名3歲女孩身高均數(shù)的加權(quán)法計(jì)表 組段 頻數(shù) 組中值 X fX （1） （2） （3） （4）(2) (3) 80 1 81 8182 3 83 24984 8 85 68086 10 87 870 88 19 89 1691 90 23 9

11、1 209392 26 93 2418 94 24 95 228096 17 97 164998 10 99 990 100 6 101 606102 2 103 206104 106 1 105 105合計(jì) 150(f) 13918 (fX)用來(lái)描述對(duì)數(shù)正態(tài)分布（呈倍數(shù)關(guān)系）資料。1.直接法（用于小樣本） 2 幾何均數(shù)（geometric mean，G）例2 有5人的血清抗體效價(jià)為：1:10，1:100，1:1000，1:10000，1：1000000。求其平均效價(jià)？ 為計(jì)算方便，先求其倒數(shù)的平均效價(jià)： 5份血清的平均抗體效價(jià)為1:1000。2.加權(quán)法（用于大樣本、頻數(shù)表資料）f1、f2fk

12、 為各組段頻數(shù)， X1、 X2 Xk 為倒數(shù)，k為組數(shù)。 例3 35 人血清抗體滴度見下表，求平均滴度。 代入公式： 得 35 人血清抗體平均滴度為 1:44?？贵w滴度 人數(shù)f 滴度倒數(shù)X lgX flgX （1） （2） （3） （4） (5)=(2) (4) 1:4 2 4 0.6021 1.2042 1:8 5 8 1.9031 4.5155 1:16 6 16 1.2041 7.2246 1:32 2 32 1.5051 3.0102 1:64 7 64 1.8061 12.6434 1:128 10 128 2.1072 21.0720 1:256 1 256 2.4082 2.40

13、82 1:512 2 512 2.7093 5.4186 合計(jì) 35 57.4967(flgX)表15-3 平均抗體滴度計(jì)算表是將一組變量值從小到大排序后位次居中的變量值。主要用于描述偏態(tài)分布資料； 開口資料（一端或兩端無(wú)確定數(shù)據(jù)）； 變量值中有個(gè)別過(guò)大或過(guò)小值資料的集中趨勢(shì)。3 中位數(shù)（median , M）1. 直接法（用于小樣本） n 為奇數(shù)時(shí)， n 為偶數(shù)時(shí)，某病患者 5 人的潛伏期（d）從小到大排列為1，3，8，9，15天，求中位數(shù)。本例 n=5 為奇數(shù)， 例4 某病患者 10 人的潛伏期（d）從小到大排列為1，3，8，9，15，19，20，23， 25，30，求中位數(shù)。 此時(shí) n

14、為偶數(shù)， 百分位數(shù)是一種位置指標(biāo)，以 PX 表示，即將數(shù)據(jù)從小到大排列分為100等份：P1、P2P100。 PX 就表示位于X位置的數(shù)值。 中位數(shù)就是位于50%位置的數(shù)值，是百分位數(shù)的一個(gè)特例。2. 頻數(shù)表法LX：第X百分位數(shù)所在組下限iX：PX所在組的組距fX：PX所在組的頻數(shù) fL： PX所在組前一組的累計(jì)頻數(shù)百分位數(shù)計(jì)算中位數(shù)（頻數(shù)表法） LM：中位數(shù)所在組下限 iM：中位數(shù)所在組組距 fM：中位數(shù)所在組的頻數(shù) fL：中位數(shù)所在組前一組的累計(jì)頻數(shù)例5 某醫(yī)師調(diào)查了181名食物中毒患者的潛伏期，見下表，試用中位數(shù)反映其平均水平。思路：先判斷中位數(shù)在哪一個(gè)組段，再用 公式計(jì)算。表15-4 1

15、81名食物中毒患者的潛伏期潛伏期（小時(shí)） 人數(shù)f 累計(jì)頻數(shù)f 累計(jì)頻率（） （1） （2） （3） （4）（3）/n 0 30 30 16.57 12 63 93 51.38（16.57+34.81） 24 47 140 77.35 36 20 160 88.40 48 12 172 95.03 60 8 180 99.45 72 84 1 181 100.00本例中位數(shù)在第三組段，則L=12，i=12，f=63， fL=30，代入公式得： 先找到包含PX的最小累計(jì)頻數(shù)； 該累計(jì)頻數(shù)同行左邊的組段值為L(zhǎng); L同行右邊的頻數(shù)為fX（或fm）； L前一行的累計(jì)頻數(shù)為fL； 將上述已知條件代入計(jì)算P

16、X或P50。 計(jì)算百分位數(shù)及中位數(shù)技巧： 描述一組同質(zhì)計(jì)量資料離散程度。常用指標(biāo)有極差、四分位數(shù)間距、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)。例 現(xiàn)有3 組健康女大學(xué)生口腔溫度測(cè)得值，試分析其平均水平和離散趨勢(shì)。 1組 36.8 36.9 37.0 37.1 37.2 X1=37.0 2組 36.5 36.9 37.0 37.1 37.5 X2=37.0 3組 36.5 36.7 37.0 37.3 37.5 X3=37.0三、離散趨勢(shì)指標(biāo)怎么才能完整的描述一組資料的特征？ 僅用集中趨勢(shì)尚不能完全反映一組資料的特征。故應(yīng)將集中趨勢(shì)和離散趨勢(shì)結(jié)合起來(lái)，才能更好地反映一組資料的特征。 優(yōu)點(diǎn)：易理解易記憶。 缺點(diǎn)：

17、只能反映最大值與最小值的差距，組內(nèi)其它數(shù)的變異反映不出來(lái)。 受最大值和最小值的影響，樣本含量相差懸殊時(shí)不宜用。 適用范圍：適用于開口資料除外的任何分布資料。1 極差（range，R）又稱全距 是特定的百分位數(shù)，把數(shù)列分為 100等份，前四分之一變量值比第25百分位數(shù)（ P25 ）小，稱下四分位數(shù)，記作QL；后四分之一變量值比第75百分位數(shù)（ P75 ）大，稱上四分位數(shù)，記作QU。 四分位數(shù)間距= QU QL 2. 四分位數(shù)（quartile , Q ）LX：第X百分位數(shù)所在組下限iX：PX所在組的組距fX：PX所在組的頻數(shù) fL： PX所在組前一組的累計(jì)頻數(shù)百分位數(shù)計(jì)算首先求資料的 P25 和

18、 P75由表可見P25 在12 組段，L=12，i=12，f=63， fL=30，代入公式得：P25=同理可知 P75 在24組段，L=24，i=12，f=47， fL=93，代入公式得：P75= 例6 求表15-4數(shù)據(jù)的四分位數(shù)間距表15-4 181名食物中毒患者的潛伏期潛伏期（小時(shí)） 人數(shù)f 累計(jì)頻數(shù)f 累計(jì)頻率（） （1） （2） （3） （4）（3）/n 0 30 30 16.57 12 63 93 51.38 24 47 140 77.35 36 20 160 88.40 48 12 172 95.03 60 8 180 99.45 72 84 1 181 100.00 前面已計(jì)算出

19、 P25 = 14.90，P75 = 34.91，代入公式得四分位數(shù)間距： QU QL = 34.91 14.90 = 20.01（小時(shí)）優(yōu)點(diǎn)：比極差穩(wěn)定，誤差較小。缺點(diǎn)：仍未考慮每一個(gè)數(shù)據(jù)的變異。適用范圍：偏態(tài)分布資料，特別是分布末端 無(wú)確定數(shù)據(jù)的資料。離均差：離均差平方和：總體方差： 3 方差（variance）53樣本方差： n1 稱自由度（degree of freedom），常用 表示，它描述了當(dāng) X 選定時(shí)，n個(gè)變量值（X ）中能自由變動(dòng)的 X 的個(gè)數(shù)。 n1_ 54總體標(biāo)準(zhǔn)差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差： 加權(quán)法：4 標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation）適用條件： 方差與標(biāo)準(zhǔn)差均用于描

20、述對(duì)稱分布資料的離散趨勢(shì)，尤其是正態(tài)分布資料的離散趨勢(shì)。例7 5 個(gè) 8 歲男孩的體重為：26，28，30，32，34，試求其標(biāo)準(zhǔn)差。例 求表15-2中150名3歲女孩體重的標(biāo)準(zhǔn)差。 表 15-2 某市150名3歲女孩身高均數(shù)的加權(quán)法計(jì)表 組段 頻數(shù) 組中值 X fX fX2 （1） （2） （3） （4）(2) (3) （5）=（3）（4）80 1 81 81 656182 3 83 249 2066784 8 85 680 5780086 10 87 870 75690 88 19 89 1691 150499 90 23 91 2093 19046392 26 93 2418 22487

21、4 94 24 95 2280 21660096 17 97 1649 15995398 10 99 990 98010 100 6 101 606 61206102 2 103 206 21218104 106 1 105 105 11025合計(jì) 150(f) 13918 (fX) 1294566(fX2) 描述事物變異程度：適用于正態(tài)分布資料(或近似正態(tài)分布資料)。 衡量均數(shù)的代表性：當(dāng)幾組資料單位相同，均數(shù)相差不大時(shí)。 標(biāo)準(zhǔn)差大，表示變量值離均數(shù)較遠(yuǎn)，均數(shù)的代表性差； 標(biāo)準(zhǔn)差小，表示變量值密集于均數(shù)兩側(cè)，均數(shù)的代表性好。標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用 標(biāo)準(zhǔn)差與均數(shù)共同描述正態(tài)分布資料的特征，可用于確定醫(yī)學(xué)

22、參考值范圍。 計(jì)算變異系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)誤。 用來(lái)比較度量衡單位不同或均數(shù)相差懸殊的兩組（或多組）資料的變異程度。公式為：5 變異系數(shù)（coefficient of variation , CV） 例8 10名小學(xué)生，胸圍 S =3.0cm；背肌力 ，S =2.5kg， 試比較胸圍與背肌力的離散程度。 63胸圍 背肌力 變異指標(biāo)顯示：背肌力的變異程度大于胸圍。例9 某地 200 名 2 月女嬰的身高均數(shù)為 56.9cm，標(biāo)準(zhǔn)差2.3cm；而同年該地 150 名 5 歲女孩的身高均數(shù)為109.2cm，標(biāo)準(zhǔn)差3.1cm。比較不同年齡女性的身高的離散程度。2月女嬰身高： 5歲女孩身高：變異系數(shù)顯示：2月女嬰

23、身高的離散度大于 5歲女孩身高的離散度。 主要指標(biāo) 資料類型 X、 S 正態(tài)（近似正態(tài)）分布資料 G、 lg-1 Slgx 對(duì)數(shù)正態(tài)分布（等比）資料 M、 QU QL 偏態(tài)分布、分布不明、分布末端 無(wú)確定值資料總結(jié)：一正態(tài)分布（normal distribution） 也稱高斯分布，是醫(yī)學(xué)和生物學(xué)最常見的連續(xù)性分布。如正常人的生理生化指標(biāo)：身高、體重、紅細(xì)胞數(shù)、血紅蛋白等。 1、正態(tài)分布的圖形四、正態(tài)分布和醫(yī)學(xué)參考值范圍的估計(jì)正態(tài)分布的曲線函數(shù)： 為圓周率： =3.1415926 e為自然對(duì)數(shù)的底： e=2.71828 為正態(tài)總體的均數(shù)：它描述了正態(tài)分布的集中趨勢(shì)位置，又稱為位置參數(shù)。 為正態(tài)

24、總體的標(biāo)準(zhǔn)差：它描述了正態(tài)分布的離散程度，又稱為形狀參數(shù)。 為了應(yīng)用方便，將正態(tài)曲線進(jìn)行 u 轉(zhuǎn)換 使原來(lái)的正態(tài)分布變換為=0，=1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（standard normal distribution） , 亦稱 u 分布 , 此時(shí)公式化成：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 正態(tài)曲線在橫軸上方，均數(shù)處最高。 以均數(shù)為中心，兩側(cè)對(duì)稱，呈“鐘形”分布。 正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)： 位置參數(shù) ； 形狀參數(shù) 正態(tài)分布可表示為 N（ ，） 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可表示為 N（ 0，1） 正態(tài)曲線下橫軸上方的面積有一定規(guī)律。正態(tài)分布特征正態(tài)曲線下的面積分布規(guī)律 正態(tài)分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 面積（概率）-1+1 -11 68.27%-1.64

25、+1.64 -1.641.64 90.90%-1.96+1.96 -1.961.96 95.00%-2.58 + 2.58 - 2.582.58 99.00% 又稱為正常值，是指正常人的人體形態(tài)、功能和代謝產(chǎn)物等各種生理、生化指標(biāo)的波動(dòng)范圍。醫(yī)學(xué)參考值范圍的估計(jì) 選擇足夠數(shù)量的正常人正常人：不具有對(duì)所研究指標(biāo)有影響因素的人，并不是指沒(méi)有任何疾病或一切都正常的人。 對(duì)選定人的指標(biāo)進(jìn)行測(cè)量 確定單、雙側(cè)范圍 確定百分?jǐn)?shù)范圍：最常用95%。制定醫(yī)學(xué)參考值范圍的步驟 資料必須呈正態(tài)分布或近似正態(tài)分布或經(jīng)過(guò)變量變換可變換成正態(tài)分布。否則，應(yīng)當(dāng)用其它方法如百分位數(shù)法估計(jì)醫(yī)學(xué)正常參考值范圍。應(yīng)用正態(tài)分布理論

26、估計(jì)醫(yī)學(xué)參考值范圍必須注意： 樣本含量必須足夠大，否則估計(jì)出的醫(yī)學(xué)正 常參考值范圍就不夠可靠。 總體必須有明確的定義和范圍。 觀察儀器方法必須統(tǒng)一。正態(tài)分布法：正態(tài)或近似正態(tài)分布資料 雙側(cè)界值 單側(cè)上限 單側(cè)下限 表15-5 常用u值表醫(yī)學(xué)參考值確定方法（95%） 參考值范圍（%） 單側(cè) 雙側(cè) 80 0.842 1.282 90 1.282 1.645 95 1.645 1.960 99 1.960 2.576例10 試根據(jù)表15-2中150名3歲女孩身高資料，估計(jì)該市3歲女孩身高的95%參考值范圍。 83.8101.8cm百分位數(shù)法：偏態(tài)分布資料（95%） 雙側(cè)界限：（P2.5，P97.5）

27、 單側(cè)上限：P95 單側(cè)下限：P5 表14-6 常用參考值范圍對(duì)應(yīng)得百分位數(shù) Px百分范圍 80 90 95 99 雙側(cè) 單側(cè) 下限 P20 P10 P5 P1 上限 P80 P90 P95 P99 下限 P10 P5 P2.5 P0.5 上限 P90 P95 P97.5 P99.5 百分位數(shù)法：偏態(tài)分布資料（95%） 雙側(cè)界限：（P2.5，P97.5） 單側(cè)上限：P95 單側(cè)下限：P5 表15-6 常用參考值范圍對(duì)應(yīng)得百分位數(shù) Px百分范圍 80 90 95 99 雙側(cè) 單側(cè) 下限 P20 P10 P5 P1 上限 P80 P90 P95 P99 下限 P10 P5 P2.5 P0.5 上限 P90 P95 P97.5 P99.5 例 將某地某年200名正常成年人血鉛含量（ug/100g）資料整理成下表，試估計(jì)該市正常成年人血鉛含量的95%參考值范圍。組段 頻數(shù)f 累計(jì)頻數(shù)f 累計(jì)頻率（）3 47 47 23.59 50 97 48.515 44 141 70.5 21 27 168 84.027 18 186 93.033 5 191 95.539 5 196 98.045 2 198 99.051