2021屆全國卓越名校聯(lián)盟新高考原創(chuàng)預(yù)測試卷十八數(shù)學(xué)

1、2021屆全國卓越名校聯(lián)盟新高考原創(chuàng)預(yù)測試卷（十八）數(shù)學(xué)?？荚図樌⒁馐马棧嚎荚嚪秶焊呖挤秶?。2、試題卷啟封下發(fā)后，如果試題卷有缺頁、漏印、重印、損壞或者個別字句印刷模糊不 清等情況，應(yīng)當(dāng)立馬報告監(jiān)考老師，否則一切后果自負(fù)。3、答題卡啟封下發(fā)后，如果發(fā)現(xiàn)答題卡上出現(xiàn)字跡模糊、行列歪斜或缺印等現(xiàn)象，應(yīng)當(dāng) 馬上報告監(jiān)考老師，否則一切后果自負(fù)。4、答題前，請先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色簽字筆填寫在試題卷和答題卡 上的相應(yīng)位置，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。用2B鉛筆將答題卡上試卷 類型A后的方框涂黑。5、選擇題的作答：每個小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案

2、標(biāo)號涂 黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非選擇題答題區(qū)域的答案一律無效。6、填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、 草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域的答案一律無效。如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫 上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。7、選考題的作答：先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑。答案用 0.5毫米黑色簽字筆寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非選 修題答題區(qū)域的答案一律無效。8、保持答題卡卡面清潔，不折疊，不破損，不得使用涂改液、膠帶紙、修正帶等。9、考試結(jié)束后，請將本試題卷、答題卡、草

3、稿紙一并依序排列上交。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給出的四個選項中, 只有一項是符合題目要求的.己知集合4=8 = x|y = C,則4口8= ）A. 1,2B. 0,1,2C. -2,-1D.-2-1,0【答案】D【解析】【分析】先利用定義域的求法，求得集合8的范圍，然后求兩個集合的交集.【詳解】因為A = -2,-1,0,1,2 , 5 = 中0,由題意和等差中項的性質(zhì)列出方程，由等比數(shù)列的通 項公式化簡后求出q,由等比數(shù)列的通項公式化簡所求的式子，化簡后即可求值.-30-【詳解】設(shè)等比數(shù)列%的公比為q,且9o,.丹，%成等差數(shù)列， 2:.2xa5=a3 +

4、a4,則%寸=% + V，化簡得q2q 1 = 0,解得q =生叵, 則力與1,5g y/5 + l=q = % +6 a3 +a52故選：A.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，以及等差中項的性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對 這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.哈爾濱市為創(chuàng)建文明城，試運行生活垃圾分類處理，將生活垃圾分為廚余、可回收和其他三 類，分別記為。，J并且設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱：“廚余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”和 “其他垃圾箱”，分別記為A，3, C,為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，隨機抽取某小區(qū)三類垃圾箱中共計500kg生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖.則估計生活垃圾投放錯誤的概率為（）23 A.

5、50B.9C.50D.23 A.50B.9C.50D.10【答案】D【解析】【分析】-30-ABca2001040b1512020c155030先計算投放正確的概率，再求出投放錯誤的概率即可.【詳解】根據(jù)題意，投放正確的概率為200+120 + 30? 750010【詳解】根據(jù)題意，投放正確的概率為200+120 + 30? 75001073故投放錯誤的概率為1 -m=記故選：D.【點睛】本題考查簡單隨機事件的概率求解，屬基礎(chǔ)題.若（x-4）（l + 3x）6的展開式中Y的系數(shù)為-45,則實數(shù)。的值為（2A.一32A.一3【冬案】DB. 21 C.一41 D.-3【解析】【分析】 將多項式的乘

6、法式展開，結(jié)合二項式定理展開式通項，即可求得。的值.【詳解】(xa)(l + 3x)6 = x(l + 3x)6a(l+3x所以展開式中爐的系數(shù)為cl-aC =135-540。= 45 ,解得”上 3故選：D.屬于基礎(chǔ)題.【點睛】本題考查了二項式定理展開式通項的簡單應(yīng)用，指定項系數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.8,阿基米德（公元前287年一公元前212年）是占希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)學(xué)家.據(jù)說，他自己覺得最為滿意的一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓 柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且球的表面積也是圓柱表面枳的三分之二”.他 特別喜歡這個結(jié)論，要求后人在他的墓碑上刻

7、著一個圓柱容器里放了一個球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊，表面積為54%的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則該球的體積為-30-30-B. 16乃B. 16乃C. 36萬644 D.3【答案】C 【解析】 【分析】設(shè)球的半徑為R,根據(jù)組合體的關(guān)系，圓柱的表面積為S = 2乃川+x27? = 54，解得球的半徑A = 3,再代入球的體枳公式求解.【詳解】設(shè)球的半徑為R 根據(jù)題意圓柱的表面積為S = 2兀R? + 2兀R x 2A = 54不，解得R = 3,乃 63 -33乃 63 -33X不X4 - 33故選：C 【點睛】本題主要考查組合體的表面積和體積，還考查了對數(shù)學(xué)史了解，屬于基礎(chǔ)題.如

8、圖是計算l + ； + g +捺的值的程序框圖，則圖中處可以填寫的語句分別是（/輸出S/輸出S/A,= + 2, z16【答案】A【解析】【分析】 由1 + ； + = +2所有項的分母構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，并求出1,3,5,31的項數(shù)，即可得出答案.-30-【詳解】式子1 + : + : +:中所有項的分母構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，31 = l + (Z l)x2, = 16,則 1,3,5,31 共 16項故選A.【點睛】本題主要考杳了補全循環(huán)結(jié)構(gòu)的框圖，涉及到等差數(shù)列的判斷以及項數(shù)的確定，屬 于中檔題.(n.己知在平面直角坐標(biāo)系中，。(0,0) , M 1,5，N(o/)，。(2,3),

9、動點P(x,y)滿足不等式0m方兩VI，04麗麗1，則卬=麗麗的最大值為()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】利用向量的坐標(biāo)求法求出各個向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式求出各個數(shù)量積代入已知 不等式得到夕的坐標(biāo)滿足的不等式，將而何的值用不等式組中的式子表示，利用不等式的 性質(zhì)求出范闈.個I【詳解】解：由題得：OM=Q，5), OP = (x,y) , ON = (0,1),。= (2,3).02x+y2,所以 04(2x+)，) + 2”40QW1. o(。戶02x+y0，0）相交于4,8兩點，M（4,2）crB. 6是弦人5B. 63C.一2【答案】D【解析】【分析】

10、設(shè)人（與）。5（三,%）,根據(jù)AB的中點尸的坐標(biāo)，表示出斜率，從而得到關(guān)于。、b的關(guān)系 式，再求離心率即可.-30-【詳解】因為傾斜角為土的直線與雙曲線C 二=1(40，0)相交于A, B兩 4cr lr點，所以直線的斜率k = tang = l,設(shè)人(司,凹),5(天,為)，則工冬=1cr b-cr b-由一得(-1)(占 + &) = ()LK)()1 + K)a2b2則 * =上占一占 cr y + y2因為M(4,2)是弦A6的中點， X + x2 = 8, M + K = 4因為直線的斜率為1 / 8/.1 =-cr 4Hn b2 1 ,1 nLJJ = ,Z? = aa2 22所以

11、?=+/?2= 1 + - a2=/（%）的圖象關(guān)于-1對稱，由數(shù)列小是公差不為0的等差數(shù)列，且/（）=/（51），可得的。+的】=-2,又斯是等差數(shù)列，月以 ni+t71OO = 5o+51= - 2,則斯的前100項的和為一 4）=一 100故選B.【點睛】本題考杳函數(shù)的對稱性及應(yīng)用，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，以及求和公式，考杳運算 能力，屬于中檔題.15.己知定義在R上的函數(shù)/W是奇函數(shù)且滿足了（3 x） = /（x）, /（1） = -3,數(shù)列J滿足5“=2%+ （其中S “為%的前“項和），則/（%） + /（4）= 2）兩式相減得:凡=24-241T+ 1,即4=24_1, 4T = 2

12、（%-1）（之2）4-1是公比為2的等比數(shù)列，-30-/ 4 = 1 2, / ci5 = -3 L ci6 = -63/(%)+/&) = /(3x101)+3x21) = /(l)+0)= /(l) = 3故選c二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.設(shè)。=+2 J爹，b=2+J7,則4, 的大小關(guān)系為.【答案】ab【解析】【分析】先分別將平方，再進(jìn)行大小比較即可.【詳解】。=+2JI，b=2+J7兩式的兩邊分別平方，可得 =11+4,分=11+4,顯然J7.所以4Vb.故答案為：a.b【點睛】此題主要考杳了無理數(shù)的大小的比較，比較兩個實數(shù)的大小，可以采用作差法、取 近似值法、比較

13、平方法等.屬于基礎(chǔ)題.向平面區(qū)域(國)，)10 K x 1,0 %+1+% -以=3+%,Tv% 0，解得0.故答案為（一*-4）d（O,2）.【點睛】本題主要考杳了導(dǎo)數(shù)的幾何意義：求切線，求切線時要注意設(shè)過點作切線還是在點 處的切線，前者需要設(shè)出切點，后者給出的點即為切點，屬于易錯題型.過點M（-L0）引曲線C ：），= 2d +辦+。的兩條切線，這兩條切線與軸分別交于A, 5兩點，若則。=.27【答案】一一4-30-【解析】【分析】由=兩切線的斜率互為相反數(shù)，設(shè)切點，求導(dǎo)列關(guān)于t的方程求出t值即可求解【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為(t,2t3 + at + a), v vz = 6x2 + a,/.

14、 6t2 + a = +at + a 即 Jt + 1327=。，解得一彳2a+6x4t3 + 6F=0,解得 ,0或t= 27=。，解得一彳2a+6x 2)27 故答案為-4【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，轉(zhuǎn)化|ma| 二 |mb|兩切線的斜率互為相反數(shù)是突破點，熟練掌握切線的求法，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是中檔題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分.2L己知在6c中.A6,C所對的邊分別為。也j若02=8，45C的面積為 2G(1)求角C的大?。蝗?c = 2

15、J?,求 sin A+sin B 的值.【答案】(1) -： (2)-32【解析】【分析】(1)由三角形的面積為2右得到;。加比。=2。，由余弦定理以及+尸c?=8得到2abeos C = 8 ,進(jìn)而可求出tanC,得到角C； (2)由(1)的結(jié)果，先求出。匕，根據(jù)c = 2jJ,即可求出。+ /?,再由正弦定理可得.a .八 asinC bsinC nri 一八，,二十smA + smB =+,即可求出結(jié)果.-30-【詳解】（1）由AA5C的面枳為2途可得gabsinC = 2W， 乙Fh f/2 +/?2 -c2 = 8 及余弦定理可得 2Z?cos C = 8 ,故 taiiC = yC

16、 = y ；（2） V C = , 2abeosC = 8, /. ab = 8 3又/+一/ = 83=271,可得4 + 6 = 64 Ta b c /曰人 . asmC bsinC （； x smC 3由正弦定理， = = ,得suiA + sin =+= （a + b） =-sinA sinB siiiCc cc 2【點睛】本題主要考杳解三角形，熟記正弦定理和余弦定理即可，屬于基礎(chǔ)題型.22.某工廠A, B兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品，若該產(chǎn)品按照一、二、三等級分類，則每件可分別 獲利10元、8元、6元，現(xiàn)從A, 8生產(chǎn)線的產(chǎn)品中各隨機抽取100件進(jìn)行檢測，結(jié)果統(tǒng)計如 下圖：（I）根據(jù)已知數(shù)

17、據(jù)，判斷是否有99%的把握認(rèn)為一等級產(chǎn)品與生產(chǎn)線有關(guān)?（II）求抽取的200件產(chǎn)品的平均利潤；（III）估計該廠若產(chǎn)量為2000件產(chǎn)品時，一等級產(chǎn)品的利潤.附：獨立性檢驗臨界值表（參考公式：K（參考公式：K7 + H）其中 = + Z?+c+d)P(K*k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001-k。0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828-【答案】（D沒有99%的把握認(rèn)為一等級的產(chǎn)品與生產(chǎn)線有關(guān)；（ED 8.1元；（in） 5500元-30-【解析】【分析】（I）根據(jù)題意列出2X2

18、列聯(lián)表，算出K?的值，根據(jù)獨立性檢驗臨界值表得出結(jié)論.（II）根據(jù)頻率分布條形圖求出200件產(chǎn)品總利潤，從而求出平均利潤.（IID根據(jù)題目條件，由樣本頻率估計總體概率，則該工廠生產(chǎn)產(chǎn)品為一等級的概率估計值20 + 35、11200 -40從而可求出答案.【詳解】解：（D根據(jù)已知數(shù)據(jù)可建立2X2列聯(lián)表如下:一等品非一等品總計A生產(chǎn)線20801008生產(chǎn)線3565100總計55145200n(ad -be)2(o + b)(c + d)(o + c)(b + d)200 x(20 x65-80 x35/= 1800 64355x145x100 x100319而 5.643 = x+?.y = x+

19、mz .由，o ） 一得4x?+ 6/x + 3/r-12 = 0.（）廠 + 3）廠=127其 = 36府一16（3加2-12）= 12（加1 16） 0 ,解得:4/nZ?0）的左、右焦點為的坐標(biāo)滿足圓。方程cr lr（x-/2）2 +（y-l）2 =1,且圓心。滿足|Q用+ |QK| = 2a.-30-（1）求橢圓G的方程；（2）過點P（O,1）的直線：），=京+ 1交橢圓G于A、3兩點，過與垂直的直線A交圓。于C、。兩點，M為線段CD中點，若/XMAS的面積 處,求女的值.5【答案】（1） L+L = i,（2）k = 0. 42【解析】【分析】（1）根據(jù)心的坐標(biāo)滿足圓。方程（x Jl

20、T + Cy 1尸=1可得到。的值，圓心。滿足QFQF = 2a,故圓心。在橢圓上，將其代入可得橢圓方程；（2）由題意可知，QM與直線人平行，故點M到直線A5的距離即為點。到直線AB的距離, 從而可以用k表示出點M到直線A5的距離，再用人計算出弦長AB，從而得出關(guān)于女的方 程，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】解：（1）因為心的坐標(biāo)滿足圓。方程（xJT）2 + （y 1下=1,故當(dāng)y = 0時，x =正,即2（虛,0）,故c = 6,因為圓心。滿足|。國+ |。國=2a,所以點。（J21）在橢圓上， TOC o 1-5 h z 砧4211a = 2b = 5/2故有+ = 1a = 2b = 5/2聯(lián)立方

21、程組b2 ,解得,a2=b2 + 2所以橢圓方程為二+二=1;42（2）因為直線交圓。于。、。兩點，M為線段CO中點，所以QM與直線垂直,-30-又因為直線乙與直線垂直, 所以0M與直線人平行，所以點M到直線AB的距離即為點Q到直線AB的距離,即點M到直線AB的距離為d = 1，7T7F設(shè)點4（石,%）,6（凡里）s+r=i聯(lián)立方程組彳42,卜=女0+1）解得（1 + 2K）/ +4區(qū)一2 = 0 ，_ -4k由韋達(dá)定理可得=1 + 2獷由韋達(dá)定理可得 Vl+F132K+8 jV12|,(1 + 2所以4MAB的面枳為- Vl+F132K+8 .| _ 6/2(1 + 2公尸 5+k5I 8K

22、+ 2I 8K+ 2/(l + 2k)兩邊同時平方，化簡得，28Kt-47-18 = 09解得4=2或二=二（舍）28故 k = 5/2【點睛】本題考查了橢圓的定義、方程，直線與橢圓的位置關(guān)系等問題，設(shè)而不求、韋達(dá)定-30-理是解題中的常見方法.設(shè)函數(shù) /（x） = ：-&11工丫， k0.（1）求/（X）的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）證明：若/（x）存在零點，則/（龍）在區(qū)間（1,%上僅有一個零點.【答案】（1 ）單調(diào)遞減區(qū)間是（0,4）,單調(diào)遞增區(qū)間是（,必）；極小值 /（）= I；1。（2）證明詳見解析.【解析】試題分析：本題主要考杳導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

23、和最值、函數(shù)零點問題等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算 能力.（I）先對/（X）求導(dǎo)，令/。） = 0解出工，將函數(shù)的定義域斷開，列表，分析函數(shù)的 單調(diào)性，所以由表格知當(dāng)x=時，函數(shù)取得極小值，同時也是最小值：（1【）利用第一問 的表，知/（JF）為函數(shù)的最小值，如果函數(shù)有零點，只需最小值以1一二“）0,從而解出 之6,下面再分情況分析函數(shù)有幾個零點.試題解析：（【）由/（x） = 5-女hix，（女0）得廣（吁.由/（x）= o 解得 x = JF.X）與fx）在區(qū)間（0,轉(zhuǎn)）上的情況如下：X展+)/（X）,+應(yīng)11口好 2/-30-所以，AM的單調(diào)遞減區(qū)間是（o,

24、JF）,單調(diào)遞增區(qū)間是（JE+8）；八X）在X = 4處取得極小值于（&） = A；.（H）由（I ）知，“刈在區(qū)間（0,+s）上的最小值為了（）=二2.因為f（X）存在零點，所以1nNo,從而kNe.當(dāng) 二e時，刈在區(qū)間（1,J）上單調(diào)遞減，且/（五）=0,所以x =是f（x）在區(qū)間（1, JZ上的唯一零點.當(dāng)我e時，八刈在區(qū)間（0,6）上單調(diào)遞減，且7（1） = ；0, /（如=一0, 乙乙所以“X）在區(qū)間（1, JZ上僅有一個零點.綜上可知，若/W存在零點，則75）在區(qū)間上僅有一個零點.考點：導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、函數(shù)零點問題.已知函數(shù)/（x） =

25、lnxx .（1）求“X）的單調(diào)區(qū)間與最值；（2）若x（0,xo）,不等式rV 21nxorl20恒成立，求。的取值范圍.【答案】 單調(diào)遞增區(qū)間為（0,1）,單調(diào)遞減區(qū)間為（L”），f（x）=-lj（x）無最小值; y,i【解析】【分析】（1）對f（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可得原函數(shù)的單調(diào)性及最值.（2）利用（1）的結(jié)論得到x%x+21nx + l,將所求不等式進(jìn)行分類參數(shù)后得到 _ 2 In 丫 一 1（0）,利用上述結(jié)論可得廠5-24-+211】+ 1-2山-1=1,再說明等號可以成立，即可得到結(jié)果.-30-11 _ v-【詳解】（1）因為/W = lnxX,所以r（M = 1 = ,X

26、（O,轉(zhuǎn)） X X所以當(dāng)X（O,1）時，/（x）0；當(dāng)X（l,xo）時，/（x）0,則八幻的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,D,單調(diào)遞減區(qū)間為（1,48）故皿x=/Q）= -l，/（M無最小值（2）由（1）可知Inx-xW-l，即x2lnx+L則氏皿備）+ 1，即丘x+21nx+lr*pA 7 In x 1若x%”一21nxG l20 ，（x0）xe.“1 o-Ki x2eA -21nx-l x + 21nx + l-21nx-l t因為x-eA + 21nx+l ,所以=1（當(dāng)且僅當(dāng)Ve、= l時，等號成立），而/= 士顯然有解. e故,即。的取值范圍為（一8,1【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

27、區(qū)間及最值，考查了解決不等式恒成立問題的方法技巧，其中利用/F+2111工+1進(jìn)行放縮是難點，屬于較難題型.二、選考題：共10分,請考生在第22、23題中任選一題作答如果多做，則按所做 的第一題計分.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程.在極坐標(biāo)系中，曲線C的方程為夕cos2d = asmd（40）,以極點為原點，極軸所在直線2為x軸建立直角坐標(biāo)，直線/的參數(shù)方程為廣（/為參數(shù)），/與C交于A/，Ny = 22兩點.（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線/的普通方程：（2）設(shè)點尸（2,-1）：若|PM|、|MN|、|PN|成等比數(shù)列，求。的值【答案】（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為f =4），（。0）,直線/的普通方程為x+y- 1 = 0 ； (2) a = l-30-【解析】【分析】（1）由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式和參數(shù)方程與普通方程的互化，即可求解曲線的直角坐標(biāo) 方程和直線的普通方程；（2）把/的參數(shù)方程代入拋物線方程中，利用韋達(dá)定理得乙牲= 8+2”，可得 到|處|=,一修，1PM=小儼叫=小根據(jù)因為|pm|，|mn|，|尸|成等比數(shù)列,列出方程, 即可求解.【詳解】由題意，曲線C的極坐標(biāo)方程可化為02cos =。Psma（a0）,又由4.八，可得曲