二元函數(shù)連續(xù)性

1、關(guān)于二元函數(shù)的連續(xù)性第1頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四一 二元函數(shù)的連續(xù)性概念 連續(xù)性的定義 定義 設(shè)為定義在上的二元函數(shù)，（為的一個聚點(diǎn)或孤立點(diǎn)），總存在，使得當(dāng)時(shí)， 都有則稱關(guān)于在點(diǎn)連續(xù).若任給正數(shù)在不致誤解的情況下，也稱在點(diǎn)連續(xù).第2頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四函數(shù)若在上任何點(diǎn)都關(guān)于集合連續(xù)，則稱為若為的一個聚點(diǎn)，則關(guān)于在點(diǎn)連續(xù)等價(jià)于 有定義的孤立點(diǎn)必為連續(xù)點(diǎn).上的連續(xù)函數(shù).記為 f C (D).第3頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四若為的一個聚點(diǎn)，但不成立，則稱為的不連續(xù)點(diǎn)(或稱存在但不等于時(shí), 是的可去

2、間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)). 特別當(dāng)?shù)?頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四例如 函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).第5頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四在點(diǎn)沿方向連續(xù)，其中這是由于所以函數(shù)在點(diǎn)沿方向是連續(xù)的. 為固定實(shí)數(shù).第6頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四每一點(diǎn)都間斷.2 函數(shù)的增量、 全增量、 偏增量 設(shè)則稱 為函數(shù)在點(diǎn)的全增量.第7頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四如果在全增量中取或則相應(yīng)的函數(shù)的增量稱為偏增量.記作 一般來說，函數(shù)的全增量并不等于相應(yīng)的兩個偏增量之和. 第8頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)

3、57分，星期四和一元函數(shù)一樣，可用增量形式來描述連續(xù)性，時(shí)，函數(shù)關(guān)于在點(diǎn)連續(xù). 3 用增量定義函數(shù)的連續(xù)性即 當(dāng)?shù)?頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四若一個偏增量的極限為零，例如它表示在的兩個自變量中，當(dāng)固定時(shí)，作為的一元函數(shù)在連續(xù).，則表示作為的一元函數(shù)在連續(xù). 同理，若第10頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四容易證明：當(dāng)在其定義域的內(nèi)點(diǎn)連續(xù)時(shí)，在和在都連續(xù).但反過來，二元函數(shù)對單個自變量都連續(xù)并不能保證該函數(shù)的連續(xù)性. 例如函數(shù) 在點(diǎn)處顯然不連續(xù). 第11頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四但由于,因此在點(diǎn)處對和對分別都

4、連續(xù). 4 一般區(qū)域上連續(xù)函數(shù)性質(zhì) （1）若在點(diǎn)連續(xù)，并且則存在點(diǎn)的鄰域，當(dāng)時(shí),有第12頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四（2）兩個連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（若分母不為零）都是連續(xù)函數(shù) .（3）（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性） 第13頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四定理16.7 設(shè)是中的開集，函數(shù)和在點(diǎn)連續(xù).又設(shè)函數(shù)在平面上點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，并在連續(xù),其中.則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)也連續(xù).第14頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四多元初等函數(shù)： 由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四 則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表 示的多元函數(shù)叫

5、多元初等函數(shù)。一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域第15頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四例1 求極限 解是多元初等函數(shù)。定義域：于是，（不連通）在定義區(qū)域內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)求極限可用“代入法”：第16頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四例2解第17頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四定義在區(qū)域 D 上的二元連續(xù)函數(shù)z = f (X) = f (x, y)表示了在D上的一片沒有 空洞, 沒有 裂縫 的連續(xù)曲面.這里條件 D 是一區(qū)域 是必要的. 若D不是區(qū)域, z = f (X)可能不是通常意

6、義下的連續(xù)曲面.二元連續(xù)函數(shù)的幾何意義第18頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四例. 設(shè) D = (x, y) | x, y 均為有理數(shù) R2. z =f (x, y)是定義在 D 上的, 在 D 上恒等于1, 在別的點(diǎn)上無定義的函數(shù),即f (x, y) = 1, 當(dāng)(x, y) D時(shí),無定義, 當(dāng)(x, y) D時(shí). 如圖xyzo1可知, (x0, y0) D,但曲面z = f (x, y)不是通常意義下的連續(xù)曲面.第19頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四二 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理16.8 (有界性與最大、最小值定理)在有界閉區(qū)域上連續(xù)

7、,則在上有界,且能取得最大值與最小值. (1) 有界性與最值性.若函數(shù)第20頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四若函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù),則在 即對任何,總存在只依賴于的正數(shù),使得對一切點(diǎn)，只要就有 (2) 一致連續(xù)性定理16.9 (一致連續(xù)性定理)上一致連續(xù).第21頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四在有界閉區(qū)域上連續(xù),若和為內(nèi)任意兩點(diǎn)，且則對任何滿足不等式的實(shí)數(shù)，必存在點(diǎn)，使得. 16.10 定理 (介值性定理)設(shè)函數(shù)（3）介值性與零點(diǎn)定理 第22頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四在有界閉區(qū)域上連續(xù),若和為內(nèi)任意兩點(diǎn)，且必存在點(diǎn)，使得. （零點(diǎn)定理）設(shè)函數(shù)第23頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四P.105 習(xí)題 66. 若 在某一區(qū)域 內(nèi)對變量 為連續(xù)，對變量 滿足李普希茲條件，即對任何有其中 為常數(shù)，則此函數(shù)在 內(nèi)連續(xù)。第24頁，共27頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)57分，星期四證明因?yàn)?對變量