北京版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專(zhuān)題6.4數(shù)列的綜合應(yīng)用（講解練）教學(xué)講練

1、6.4數(shù)列的綜合應(yīng)用數(shù)學(xué) 北京專(zhuān)用考點(diǎn)一數(shù)列求和考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.公式法(1)直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求解.(2)掌握一些常見(jiàn)的數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:1+2+3+n=;2+4+6+2n=n2+n;1+3+5+(2n-1)=n2;12+22+32+n2=;13+23+33+n3=.數(shù),那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法.3.錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求.4.裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求得其和.2.倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列an,與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的

2、和相等或等于同一常5.分組求和法有一類(lèi)數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi),可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列,即先分別求和,再合并,形如:(1)an+bn,其中(2)an= 常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式:(1)=-;(2)=;(3)=-.考向突破考向數(shù)列的求和問(wèn)題例1(2019北京昌平二模文,15)在等差數(shù)列an中,a2=8,且a3+a5=4a2.(1)求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列bn滿足b4=a1,b6=a4,求數(shù)列bn-an的前n項(xiàng)和Sn.解析(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,由已知得解得所以an=4n(nN*).(2)設(shè)數(shù)列bn的公比為q,由已知得解得或(

3、舍),所以bn=2n-1=2n-2,所以bn-an=2n-2-4n(nN*).所以Sn=(2-1-4)+(20-8)+(21-12)+(2n-2-4n)=(2-1+20+21+2n-2)-(4+8+12+4n)=-=(2n-1)-2n2-2n=2n-1-2n2-2n(nN*). 考點(diǎn)二數(shù)列的綜合應(yīng)用考向基礎(chǔ)1.解答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟(1)審題仔細(xì)閱讀材料,認(rèn)真理解題意;(2)建模將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語(yǔ)言,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題,弄清該數(shù)列的特征以及要求什么;(3)求解求出該問(wèn)題的數(shù)學(xué)解;(4)還原將所求結(jié)果還原到實(shí)際問(wèn)題中.2.數(shù)列應(yīng)用題常見(jiàn)模型(1)等差模型:如果增加(或減少)的

4、量是一個(gè)固定值,那么該模型是等差模型,增加(或減少)的量就是公差.其一般形式是an+1-an=d(d為常數(shù)).(2)等比模型:如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù),那么該模型是等比模型,這個(gè)固定的數(shù)就是公比.其一般形式是=q(q為常數(shù),且q0).(3)混合模型:在一個(gè)問(wèn)題中同時(shí)涉及等比數(shù)列和等差數(shù)列的模型.(4)生長(zhǎng)模型:如果某一個(gè)量,每一期以一個(gè)固定的百分率增加(或減少),同時(shí)又以一個(gè)固定的具體量增加(或減少),稱該模型為生長(zhǎng)模型,如分期付款問(wèn)題,樹(shù)木的生長(zhǎng)與砍伐問(wèn)題等.(5)遞推模型:如果容易推導(dǎo)該數(shù)列任意一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前n項(xiàng))間的遞推關(guān)系式,那么我們可以用遞推數(shù)列的

5、知識(shí)求解問(wèn)題.考向突破考向用數(shù)列知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題例2(2018北京房山一模,10)某班植樹(shù)小組今年春天計(jì)劃植樹(shù)不少于100棵,若第一天植樹(shù)2棵,以后每天植樹(shù)的棵數(shù)是前一天的2倍,則需要的最少天數(shù)n(nN*)等于.解析每天植樹(shù)的棵數(shù)構(gòu)成以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得Sn=2n+1-2,令Sn100,即2n+1102,解得n6.答案6方法1錯(cuò)位相減法求和1.一般地,如果數(shù)列an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列,求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時(shí),可采用錯(cuò)位相減法.2.用錯(cuò)位相減法求和時(shí),應(yīng)注意:(1)要善于識(shí)別題目類(lèi)型,特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形.(2)在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”

6、的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”,以便于下一步準(zhǔn)確地寫(xiě)出“Sn-qSn”的表達(dá)式.(3)應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q1這一前提條件,如果不能確定公比q是不是1,應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論.方法技巧例1(2017天津,18,13分)已知an為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn(nN*),bn是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列a2nb2n-1的前n項(xiàng)和(nN*).解題導(dǎo)引 解析(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+

7、q-6=0,解得q=2或q=-3,又因?yàn)閝0,所以q=2.所以bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=16,聯(lián)立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=3n-2,數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=2n.(2)設(shè)數(shù)列a2nb2n-1的前n項(xiàng)和為T(mén)n,由a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)4n,故Tn=24+542+843+(3n-1)4n,4Tn=242+543+844+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1,上述兩式相減,得-3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)

8、4n+1=-4-(3n-1)4n+1=-(3n-2)4n+1-8.得Tn=4n+1+.所以,數(shù)列a2nb2n-1的前n項(xiàng)和為4n+1+.方法2裂項(xiàng)相消法求和1.對(duì)于裂項(xiàng)后明顯有能夠相消的項(xiàng)的一類(lèi)數(shù)列,在求和時(shí)常用“裂項(xiàng)法”,分式數(shù)列的求和多用此法.2.利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),也有可能前面剩兩項(xiàng),后面也剩兩項(xiàng).將通項(xiàng)裂項(xiàng)后,有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù),使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等.例2(2019北京門(mén)頭溝一模文,16)在等差數(shù)列an中,Sn為其前n項(xiàng)和,若S5=25,a10=19.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an及前n項(xiàng)和Sn;(2)若數(shù)列bn中bn

9、=,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解題導(dǎo)引 解析(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d.由題意可得解得a1=1,d=2,所以an=2n-1,Sn=n2.(2)因?yàn)閎n=,所以Tn=.方法3分組求和法求和分組轉(zhuǎn)化求和的常見(jiàn)類(lèi)型:(1)若an=bncn,且bn,cn為等差或等比數(shù)列,可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和.(2)若an=且數(shù)列bn,cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用分組求和法求和.例3(2016北京文,15,13分)已知an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)cn=an+bn,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和.解題導(dǎo)引 解析(1)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q,則q=3,所以b1=1,b4=b3q=27.設(shè)等差數(shù)列an的