浙江版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題7.3基本不等式及不等式的應(yīng)用（講解練）教學(xué)講練

1、7.3基本不等式及不等式的應(yīng)用高考數(shù)學(xué) 浙江專用考點(diǎn)一基本不等式考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.幾個(gè)重要不等式(1)a2+b22ab(a,bR).(2)(a,bR+).(3)+2(a,b同號(hào)).(4)ab(a,bR).(5)(a,bR+).(6)三角不等式|a|-|b|ab|a|+|b|,|a1a2an|a1|+|a2|+|an|.(7)a2+b2+c2ab+ac+bc,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào).2.利用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)求函數(shù)的最值(1)已知x、yR+,如果積xy是定值P,那么當(dāng)x=y時(shí),和x+y有最小值,是2.(2)已知x、yR+,如果和x+y是定值S,那么當(dāng)x=y時(shí),積xy有最大值,是S2.注

2、意(1)求最值時(shí)要注意三點(diǎn):“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數(shù),“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),和或積為定值,“三相等”是指等號(hào)成立.(2)連續(xù)使用基本不等式時(shí),等號(hào)要同時(shí)成立.考點(diǎn)二不等式的綜合應(yīng)用考向基礎(chǔ)1.常用的證明方法(1)比較法a.作差比較.如,a、b、m均為正數(shù),且a.基本步驟:作差,變形,定號(hào).b.作商比較.基本步驟:作商,變形,與1比較大小.(2)分析法與綜合法令字母A、A1、A2、An、B分別表示一個(gè)不等式,其中B為已知不等式,A為待證不等式.若有AA1A2AnB,綜合法是由B前進(jìn)式地推導(dǎo)A,分析法則是由A倒退式地分析到B.用分析法時(shí),必須步步充分.(3)反

3、證法從否定結(jié)論出發(fā),經(jīng)過邏輯推理,得出矛盾,證實(shí)結(jié)論的否定是錯(cuò)誤的,從而肯定原結(jié)論正確.(4)放縮法欲證AB,可通過適當(dāng)放大或縮小,借助一個(gè)或多個(gè)中間量,即BB1,B1B2,BiA或AA1,A1A2,AiB,再利用傳遞性,達(dá)到證明目的.(5)三角代換法如,若x2+y2=1,求證:|x2-2xy-y2|.分析:由于x2+y2=1,故可設(shè)x=cos ,y=sin ,則|x2-2xy-y2|=|cos2-2sin cos -sin2|=.(6)基本不等式法使用時(shí)要注意條件是否滿足以及等號(hào)何時(shí)取得.(7)函數(shù)增減性法如,若0u,求證:u+.分析:基本不等式的基本條件不具備,即u=時(shí),u=1,而0b0,

4、am0,則;(2)a,b,c,dR+,則;(3)nN*,-1,-A在區(qū)間D上恒成立f(x)minA(xD);若f(x)在區(qū)間D上存在最大值,則不等式f(x)B在區(qū)間D上恒成立f(x)maxA成立f(x)maxA(xD);若f(x)在區(qū)間D上存在最小值,則在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)B成立f(x)minA在區(qū)間D上恰成立f(x)A的解集為D;不等式f(x)B在區(qū)間D上恰成立f(x)B的解集為D.利用基本不等式求最值問題的方法方法方法技巧1.利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值,主要有兩種思路:(1)對(duì)條件使用基本不等式,建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解.(2)條件變形,進(jìn)

5、行“1”的代換求目標(biāo)函數(shù)最值.2.有些題目雖然不具備直接用基本不等式求最值的條件,但可以通過添項(xiàng)、分離常數(shù)、平方等手段使之能運(yùn)用基本不等式.3.若一次應(yīng)用基本不等式不能達(dá)到目的,則需多次應(yīng)用基本不等式,但要注意等號(hào)成立的條件必須要一致.提醒若可用基本不等式,但等號(hào)不成立,則一般是利用函數(shù)單調(diào)性求解.例(2019浙江嘉興基礎(chǔ)測(cè)試,17)已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+xy+4y2=1,則x+2y的最大值是.解析解法一:x2+4y2+xy=1,(x+2y)2=1+3xy=1+x2y1+,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào),進(jìn)一步化為(x+2y)2,x+2y,x+2y的最大值為.解法二:1=x2+4y2+xy=(x+2y)2+(x-2y)2(x+2y)2,即(x+2y)2,x+2y,x+2y的最大值為.解法三:令t=x+2y,則x=t-2y