衛(wèi)星在橢圓軌道上的速度和能量的一個推論

1、衛(wèi)星在橢圓軌道上的速度和能量的一個推論幾天前，收到了一位網(wǎng)友的信息，提到了下面的推論。圖1圖1圖1給出了一個圓軌道和一個橢圓軌道，其中圓軌道的半徑與橢圓軌道的半長軸相等。P、Q兩點(diǎn)為兩軌道的交點(diǎn)。我們要說的推論是：在橢圓軌道上的衛(wèi)星運(yùn)動到P或Q時，其速率等于在圓軌道上運(yùn)動的衛(wèi)星的速率。這個命題的證明是簡單的。我可以設(shè)在兩個軌道上運(yùn)動的衛(wèi)星的質(zhì)量相等而不影響研 究它們的速度關(guān)系。這樣一來，由于圓軌道的半徑與橢圓軌道的半長軸相等，由“橢圓軌 道上的衛(wèi)星的速度和能量” （可以從百度文庫中找到）一文得到的結(jié)論可知，兩物體在各 自的軌道上運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒且二者的機(jī)械能相等。當(dāng)橢圓軌道上的衛(wèi)星運(yùn)動到P

2、點(diǎn) 或Q點(diǎn)時，二者具有相同的重力勢能，因而具有相同的動能，從而得到具有相同的速率。這個結(jié)論還可以從另外一個角度來證明。由“橢圓軌道上的衛(wèi)星的速度和能量”中可 知，橢圓軌道上的衛(wèi)星的速度公式是：1）r 20 ；1）v =1 - 2e cos 0 + e2ep（1）式中的r29表示單位時間內(nèi)矢徑掃過的面積的2倍，因此有r 20r 202兀ab2)由橢圓方程r=ep1 由橢圓方程r=ep1 - e cos 0可得3)4)其中 a 表示橢圓的半長軸， b 表示橢圓軌道的半短軸， T 表示衛(wèi)星運(yùn)動的周期。 由“橢圓軌道上的衛(wèi)星的速度和能量”中可知ep1 一 e 2b = a1 - e 25)(6)5)(

3、6)epe cos 0 = 1 一r由開普勒第三定律可知a3=kT2（2）至（6）式分別代入（1）式，有下面的計算過程2 兀 ab 1 2ep.v =-+ e 2 -1T ep r2兀ab I 2e 2 -1.1+T 丫 repe 2 p 2-7|k (2八e 2 1=2兀 b j +a Irepe 2 p 2 丿7 i4k 2 k:21、 e 2 -1一 b |+ a(repe 2 p 2 丿令4n 2 = GM，其中，M表示中心天體地球的質(zhì)量，G表示引力常量，繼續(xù)運(yùn)算7 igm(2 e 2 -1)v 一 b I+V a(repe 2 p 2 丿l GM a(2 e 2 -1)lb2 -+1

4、ab 2LreP 丿:(2 1 - JgmLr a丿:GM2 - 1 - e :GMr epGM2a1= I 1a r7）當(dāng)橢圓軌道上的衛(wèi)星運(yùn)動到P或Q時，有r = a。由上面的結(jié)果可以知道，此時 v= ，GM，這正是半徑為a的圓軌道上的衛(wèi)星的運(yùn)行速率。至此，我們證明了前面提到.a的推論。我們可以把（7）式的結(jié)論用文字表述為（如圖1所示）iGM當(dāng)衛(wèi)星在P、Q左邊半個橢圓軌道上運(yùn)動時，由于r ，即大a于在圓軌道上運(yùn)動的衛(wèi)星的速度。GM當(dāng)衛(wèi)星經(jīng)過P、Q點(diǎn)時，由于有由于r = a，所以有v ，即等于在圓軌道上 運(yùn)動的衛(wèi)星的速度。| GM當(dāng)衛(wèi)星在P、Q右邊半個橢圓軌道上運(yùn)動時，由于r a，所以有v ，即小a于在圓軌道上運(yùn)動的衛(wèi)星的速度。我們還可以將（7）式繼續(xù)變形為GM 2a - r TOC o 1-5 h z v = -（8）a-上式中出現(xiàn)的2a -是衛(wèi)星到橢圓另一焦點(diǎn)的距離，如圖2所示，我們用r來表示， 有,| GM -v =-（9）a -一方面，用（9）式分析上面得到的三個結(jié)論將更加容易，另一方面，這個公式還表現(xiàn)出了漂亮的對稱性。如圖 2所示，過長軸和短軸的直線是橢圓的兩條對稱軸，