第四講應(yīng)用MATLAB解決高等代數(shù)問題課件

1、第四講：應(yīng)用MATLAB解決高等代數(shù)問題1.交換矩陣中的兩個行向量的位置；2.用一個非零數(shù)乘以矩陣的某一行向量3.把矩陣的某一個行向量乘以實數(shù)并加到矩陣的另一行上一、矩陣的初等變換與方程的MATLAB求解第四講：應(yīng)用MATLAB解決高等代數(shù)問題1.交換矩陣中的兩個例：求解線性方程組線性代數(shù)方法用增廣矩陣初等變換即消元法過程例：求解線性方程組線性代數(shù)方法用增廣矩陣初等變換即消元法過程經(jīng)過初等行變換將矩陣變?yōu)榫仃?這時矩陣對應(yīng)的方程組此方程組的解為經(jīng)過初等行變換將矩陣變?yōu)榫仃?這時矩陣對應(yīng)的方程組此方程組的A=3 -1 5 3;1 -1 2 1;1 -2 -1 2 %輸入矩陣的數(shù)據(jù)A(1 3,:)

2、=A(3 1,:) %交換第一行和第三行數(shù)據(jù)A(2,:)=A(2,:)-A(1,:) %將第一行乘以-1加到第二行A(3,:)=A(3,:)-3*A(1,:)%將第一行乘以-3加到第三行A(3,:)=A(3,:)-5*A(2,:) %將第二行乘以-5加到第三行 方法之一：初等變換法A=3 -1 5 3;1 -1 2 1;1 -2 -1 2A=3 -1 5 3;1 -1 2 1;1 -2 -1 2 %輸入矩陣的數(shù)據(jù)format rat %分數(shù)數(shù)據(jù)格式rref(A) %化簡矩陣方法之二：Cramer法則A=3 -1 5;1 -1 2 ;1 -2 -1 %輸入矩陣的數(shù)據(jù)B=3 1 2; %輸入線性方

3、程組的常數(shù)項S=0 0 0; %給解向量賦初值for i=1:3 %for循環(huán)A=3 -1 5 3;1 -1 2 1;1 -2 -1 2C=A; %將矩陣A賦給臨時矩陣C C(:,i)=B; %將常數(shù)項賦給矩陣C的第i列即求Ai S(i)=det(C)/det(A); %求xiendformat rat %數(shù)據(jù)格式說明為分數(shù)形式S %顯示SC=A; 方法之三：利用矩陣的左除“”A=3 -1 5;1 -1 2 ;1 -2 -1 ；b=3 1 2； x=Abx = 10/7 -1/7 -2/7 二、線性方程組的解結(jié)構(gòu)1。齊次方程組的解結(jié)構(gòu)AX=0求解方程過程如下方法之三：利用矩陣的左除“”A=3

4、-1 5;1 -1 根據(jù)最簡行階梯形矩陣寫出簡化方程組確定自由求知量整理方程組為向量形式量提取方程組右端各自由求知量的系數(shù)形成的向量組即為基礎(chǔ)解系將系數(shù)矩陣化為最簡行階梯形矩陣根據(jù)最簡行階梯形矩陣寫出簡化方程組確定自由求知量整理方程組為例：解線性方程組：應(yīng)用MATLAB計算過程如下：A=1 1 1 1;1 1 1 1;1 1 2 2 %輸入矩陣rref(A) %將矩陣化為最簡階梯形矩陣例：解線性方程組：應(yīng)用MATLAB計算過程如下：A=1 運行結(jié)果為：A = 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -2 2ans = 1 -1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0運行結(jié)果為：A

5、=由運行結(jié)果知化簡的等價方程組為：取x2，x4為自由求知量，得方程組的解的向量形式為由運行結(jié)果知化簡的等價方程組為：取x2，x4為自由求知量，得所以齊次方程組的通解為所以基礎(chǔ)解系為：所以齊次方程組的通解為所以基礎(chǔ)解系為：2.非齊次方程組的解的結(jié)構(gòu)求解非齊次線性方程組的通解的步驟如下：1）、寫出非次方程組的增廣矩陣；2）、將增廣矩陣化為最簡行階梯形矩陣；3）、觀察增廣矩陣與系數(shù)矩陣的秩是否相等，若相等則方程組有解，若不相等則方程組無解；4）、寫出對應(yīng)的簡化的線性方程組；5）、確定自由求知量6）、整理方程組為向量形式。2.非齊次方程組的解的結(jié)構(gòu)求解非齊次線性方程組的通解的步驟如例：求解下列非齊線性

6、方程組例：求解下列非齊線性方程組在MATLAB中輸入的命令如下A=1 2 3 1;1 4 5 2;2 9 8 3;3 7 7 2;b=3;2;7;12 ；format ratc=A b；rref(c);計算結(jié)果如下在MATLAB中輸入的命令如下A=1 2 3 1;1 4 ans = 1 0 0 -1/2 31/6 0 1 0 0 2/3 0 0 1 1/2 -7/6 0 0 0 0 0 所以簡化方程組為：ans = 所以簡化方程組為：所以原線性方程組的通解為：取x4為自由求知量所以原線性方程組的通解為：取x4為自由求知量三、向量組的線性相關(guān)性判定1.向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義：如果存在m個

7、不全為零的一組數(shù)k1,k2, ,km使成立，則稱向量組是線性相關(guān)的。如果僅當(dāng)k1=k2= =km=0時設(shè)有m個向量三、向量組的線性相關(guān)性判定1.向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義1）將給定的m個向量組的寫成列向量形式，組成一個nm階的矩陣2.應(yīng)用MATLAB進行向量組的線性相關(guān)性的判定步驟：才有上面的等式成立，則稱向量組線性無關(guān)2)判定是否存在不全為零的一組數(shù)k1,k2, ,km使得1）將給定的m個向量組的寫成列向量形式，組成一個nm階的矩即判定線性方程組即判定線性方程組是否有非零解，從而有這說明向量組線性相關(guān)。如果方程組只有零解，則說明該向量組線性無關(guān)。3）用命令rref將矩陣A化為最簡行階梯形

8、矩陣；4）觀察最簡行階梯形矩陣中非零行向量的數(shù)目是否小于向量組全部向量數(shù)目m,若小于m則向量組線性相關(guān)；否則線性無關(guān)。是否有非零解，從而有這說明向量組線性相關(guān)。如果方程組只有零解例 判斷下列向量組的線性相關(guān)性1)、a1=4 3 1 1 1,a2=2 1 3 2 5 a3=1 3 0 1 2,a4=1 5 2 1 62）a1=1 0 0 1 4,a2=0 1 0 2 5,a3=0 0 1 3 6a4=1 2 3 14 32,a5=4 5 6 32 77(北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系高等代數(shù)p151 16-4）例 判斷下列向量組的線性相關(guān)性1)、a1=4 3 1 解：1)先在MATLAB中將上面四個向量以行

9、向量數(shù)據(jù)形式輸入，再轉(zhuǎn)置為列向量組成的矩陣，然后用rref命令將其化為最簡行階梯形矩陣，命令如下A=4 3 -1 1 -1;2 1 -3 2 -5;1 -3 0 1 -2;1 5 2 -1 6A=Arref(A)解：1)先在MATLAB中將上面四個向量以行向量數(shù)據(jù)形式輸入ans = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0最簡行階梯形矩陣的變量名為ans,它的不全為零為行向量數(shù)為4，而向量組中向量數(shù)也是4,所以向量組是線性無關(guān)的。ans =最簡行階梯形矩陣的變量名為ans,它的不全為零為行a1=1 0 0 1 4,a2=0 1 0 2 5,a3=0 0 1

10、 3 6a4=1 2 3 14 32,a5=4 5 6 32 77A=a1;a2;a3;a4;a5rref(A)2)可以應(yīng)用矩陣拼接命令a1=1 0 0 1 4,a2=0 1 0 2 5,得非零行數(shù)為3，所以該向量組線性相關(guān)。ans = 1 0 0 1 4 0 1 0 2 5 0 0 1 3 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0得非零行數(shù)為3，所以該向量組線性相關(guān)。ans =四、向量組的最大無關(guān)組1.極大無關(guān)組的定義：對于一個相關(guān)向量組T中最多有多少個向量是線性無關(guān)的，這就是極大無關(guān)組，即一向量組的一個部分組本身是線性無關(guān)的，并且從這向量組中任意添加一個向量（如果還有的話），所得的部分向

11、量組都線性相關(guān)的。四、向量組的最大無關(guān)組1.極大無關(guān)組的定義：對于一個相關(guān)向量2.秩的定義：極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)r稱為向量組的秩。3.應(yīng)用MATLAB求向量組的極大無關(guān)組的方法借助向量組線性相關(guān)性分析的方法，可得求向量組的極大無關(guān)組的步驟如下：1）.將向量組中每個向量以列的形式排成矩陣A=a1 a2am2.秩的定義：極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)r稱為向量組的秩。32).把矩陣A化為最簡行階形矩陣3).確定最簡行階梯形矩陣中非零行向量數(shù)目r（即向量組T的秩），在最簡行階梯形矩陣中尋找r個無關(guān)的列向量4).根據(jù)所在位置確定矩陣A中列向量位置即得T的極大無關(guān)組在最簡行階梯形矩陣中尋找r個線性無關(guān)

12、的列向量2).把矩陣A化為最簡行階形矩陣3).確定最簡行階梯形矩陣中時，只須在僅有一個非零元素的列向量中尋找，非零元素不在同一位置的這類向量是線性無關(guān)的。例：求下列向量組的秩和一個極大無關(guān)組并將其余向量用極大無關(guān)組線性表出1）a1=1 2 1 3;a2=4 -1 -5 -6;a3=1 -3 -4 -7;a4=2 -1 1 0;A=a1;a2;a3;a4時，只須在僅有一個非零元素的列向量中尋找，非零元素不在同一位2) a1=1;-1;2;4; a2=0;3;1;2;a3=3;0;7;14; a4=1;-1;2;0;a5=2;1;5;6;解：1）輸入向量及命令如下a1=1 2 1 3;a2=4 -

13、1 -5 -6;a3=1 -3 -4 -7;a4=2 -1 1 0;A=a1;a2;a3;a4A=Arref(A)北大高等代數(shù)P151 9-22) a1=1;-1;2;4; a2=0;3;1;2得簡化的行階梯形矩陣為ans = 1 0 -11/9 0 0 1 5/9 0 0 0 0 1 0 0 0 0 得簡化的行階梯形矩陣為ans =最簡矩陣中的有三個不全為零的行向量，所以向量組的秩為3，顯然第一列、第二列、第四列線性無關(guān)，所以對應(yīng)于原向量一個極大無關(guān)組為a1,a2 a4，最簡矩陣中第三列向量有兩個非零元素-11/9，5/9，它們是方程組的解（x1=-11/9,x2=5/9)，也是方程組最簡矩

14、陣中的有三個不全為零的行向量，所以向量組的秩為3，顯然的解，所以線性表出被最大無關(guān)組2）輸入向量及命令如下：的解，所以線性表出被最大無關(guān)組2）輸入向量及命令如下：a1=1;-1;2;4;a2=0;3;1;2;a3=3;0;7;14;a4=1;-1;2;0;a5=2;1;5;6;A=a1 a2 a3 a4 a5rref(A)得最簡行階梯形矩陣ans = 1 0 3 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 a1=1;-1;2;4;a2=0;3;1;2;a3=由此可知向量組的秩為3，第1列，第2列，第4列的向量是線性無關(guān)的，所以a1,a2,a4是極大無關(guān)組。最簡矩陣中第三

15、列向量有兩個非零元素3,1，它們是方程組的解（x1=3,x2=1)，也是方程組由此可知向量組的秩為3，第1列，第2列，第4列的向量是線性無的解，所以線性表出被最大無關(guān)組最簡矩陣中第五列向量有三個非零元素1,1,1，它們是方程組的解(x1=1,x2=1,x4=1)，也是方程組的解，所以線性表出被最大無關(guān)組最簡矩陣中第五列向量有三個非零的解，所以線性表出被最大無關(guān)組注意：兩個例子中輸入的向量和命令有所不同，請同學(xué)們思考為什么？的解，所以線性表出被最大無關(guān)組注意：兩個例子中輸入的向量和命五.矩陣的特征值和特征向量1 矩陣的特征值和特征向量設(shè)A是n階方陣，k是一個數(shù)，如果存在一非零的列向量X使得AX=

16、kX成立，則稱數(shù)k為A的征值，非零列向量X稱為方陣A的屬于特征值K的一個特征向量。用MATLAB的命令 eig可以求出矩陣A的特征值和特征向量的方法有兩種五.矩陣的特征值和特征向量1 矩陣的特征值和特征向量設(shè)A是n法一）只求A的特征值命令為eig(A)法二）同時求出特征值和特征向量用命令p d=eig(A)例求方陣特征值和特征向量。法一）只求A的特征值命令為eig(A)例求方陣特征值和特征解：先輸入矩陣的數(shù)據(jù)，然后用eig的兩種使用方法求解，命令如下A=3 0 4;0 6 0;4 0 3;eig(A)p d=eig(A)第一個命令eig(A)的結(jié)果為ans = -1 6 7解：先輸入矩陣的數(shù)據(jù)

17、，然后用eig的兩種使用方法求解，命令如p = 0.7071 0 0.7071 0 -1.0000 0 -0.7071 0 0.7071d = -1 0 0 0 6 0 0 0 7命令p d=eig(A)計算結(jié)果為p =命令p d=eig(A)計算結(jié)果為北京大學(xué)高等代數(shù)求矩陣應(yīng)用eig(A)得ans = -1 -1 5 北京大學(xué)高等代數(shù)求矩陣應(yīng)用eig(A)得ans 應(yīng)用p d=eig(A)結(jié)果為p= 2131/3543 709/1284 780/1351 408/2299 -369/463 780/1351 -747/959 294/1201 780/1351 d = -1 0 0 0 -1

18、 0 0 0 5 應(yīng)用p d=eig(A)結(jié)果為p= 矩陣的相似對角化設(shè)三階矩陣有三個線性無關(guān)的特征向量a1,a2,a3，對應(yīng)的特征值為k1,k2,k3,現(xiàn)定義兩個矩陣a1 a2 a3Aa1=k1a1,Aa2=k2a2,Aa3=k3a3矩陣形式為AP=P或-1 矩陣的相似對角化設(shè)三階矩陣有三個線性無關(guān)的特征向量a1說明矩陣A與對角矩陣相似。利用特征矩陣向量和特征值的方法可以求矩陣A的相似對角矩陣。矩陣的相似對角化方法可用計算一矩陣的方冪。例設(shè)矩陣求A10解：先求出A的特征值和特征向量，得A的對角相似矩陣和可逆矩陣P，由等式-1說明矩陣A與對角矩陣相似。利用特征矩陣向量和特征值的方法可以得A10

19、=10-1 MATLAB命令如下A=4 6 0;-3 -5 0;-3 -6 1;p d=eig(A) p*d10*inv(p)結(jié)果為ans = -1022 -2046 0 1023 2047 0 1023 2046 1得A10=10-1 MATLAB命令如下A=4 6 為了驗證這一結(jié)果也可以直接輸入命令A(yù) 10也得這一結(jié)果。例 判斷二次型的類型（正定型、負定型、半正定型、半負定型），將結(jié)果化為標準形式。解：首先寫出二次型的矩陣，然后求特征值，由特征值的符號判斷二次型的類型，根據(jù)二次型的系數(shù)得其矩陣為為了驗證這一結(jié)果也可以直接輸入命令A(yù) 10也得這一結(jié)果。例在MATLAB中輸入矩陣A的數(shù)據(jù)并求特

20、征值，所用命令如下：A=-5 2 2;2 -6 0;2 0 -4;eig(A)在MATLAB中輸入矩陣A的數(shù)據(jù)并求特征值，所用命令如下：A計算結(jié)果為：ans = -8 -5 -2 說明A有三個負特征值，所以該二次型為負定二次型，它的標準形式為：為了求得其變換矩陣C的數(shù)據(jù)，可由命令p d=eig(A)得矩陣A的特征向量矩陣計算結(jié)果為：ans =說明A有三個負特征值，所以該二次型為負p= -2/3 1/3 2/3 2/3 2/3 1/3 1/3 -2/3 2/3 顯然三個列向量相互正交的單位向量，可得變量的變換關(guān)系為p=顯然三個列向量相互正交的單位向量，可得變量的變換關(guān)系為由此可以用此方法求高等代

21、數(shù)二次型的變換矩陣、化簡二次型及二次型的正定判斷。由此可以用此方法求高等代數(shù)二次型的變換矩陣、化簡二次型及六、應(yīng)用線性方程組求解數(shù)學(xué)模型1.實際問題中方程組的類型：適定方程組、不定方程組、超定方程組適定方程組：方程數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)時，這一類方程組稱為適定方程組。如果其系數(shù)矩陣可逆，適定方程組有唯一的解，求解方法有克菜姆方法、消元法、矩陣分解法、迭代法。六、應(yīng)用線性方程組求解數(shù)學(xué)模型1.實際問題中方程組的類型：適不定方程組：實際方程的個數(shù)小于未知數(shù)的個數(shù)，這一類方程稱為不定方程組。當(dāng)系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩時，不定方程組有無窮多組解，根據(jù)線性代數(shù)的理論和方法，可求得方程組的通解。超定方程組：

22、當(dāng)方程組的數(shù)多于未知數(shù)的個數(shù)時，這一類方程組稱為超定方程組。超定方程組沒有準確解，但可以求廣義解，例超定方程組的最小二乘解。不定方程組：實際方程的個數(shù)小于未知數(shù)的個數(shù)，這一類方程稱為不1)適定方程組：對于方程組AX=b,如果A為方陣，解適定方程組可以用方陣的系數(shù)矩陣的逆來求，即x=inv(A)bA=1 -2 -3 -4;2 1 -1 1;-1 0 -1 2;3 -3 4 -5B=1 1 1 1X=inv(A)*B如果A是奇異方陣，則計算結(jié)果為INF， 則會給出警告信息。如果A為病態(tài)矩陣，也會出出警告信息。1)適定方程組：對于方程組AX=b,如果A為方陣，解適定方程此外，還可以用除法來解適定方程

23、，X=AB以上二方法區(qū)別是：算法上說，上面的兩種計算方法都采用高斯消去法，但利用除法求解時，不是先對矩陣A求逆，而是直接利用高斯消法進行計算。這樣可以很好地保證計算的速度，而又會節(jié)省大量的計算時間，從下例中可以看出除法的優(yōu)劣。A=rand(100)+1.e10; %生成一個100階的隨機矩陣x=ones(100,1); b=A*x; %求方程右邊的向量此外，還可以用除法來解適定方程，X=AB以上二方法區(qū)別是：tic %開始計時y=inv(A)*b; %用逆運算求解方程 toc %讀計時時間err=norm(y-x) %結(jié)果與精確解的2范數(shù)res=norm(A*y-b) %方程的2范數(shù)誤差tic

24、 %開始計時y=Ab; %除法運算求解方程toc %讀計時時間err=norm(y-x) %結(jié)果與精確解的2范數(shù)res=norm(A*y-b) %方程的2范數(shù)誤差tic elapsed_time = 0err = 0.0457res = 9.7113e+008elapsed_time = 0err = 0.0360res = 0.0033elapsed_time =2）超定方程對于方程Ax=b,A為n,m矩陣，如果A列滿秩，且nm,則方程沒有精確解的，即其精確解的空間為零。然而在實際工程計算時，求得最小二乘解也是有意義的，方程的解除了用除法運算來求（x=Ab)外，還可以用廣義逆來求：x=pin

25、v(A),所求的解并不滿足Ax=b，而x只是最小二乘意義上的解。A=3 4 5;6 1 2;4 -5 7;0 2 42）超定方程對于方程Ax=b,A為n,m矩陣，如果A列滿秩， B=3 2 4 6x1=ABx1 = 0.4149 0.0448 0.3737A*x1-Bans = 0.2924 1.2815 0.0516 -1.0966 B=3 2 4 6x1=ABx1 =A*x1-Ba由此可見，x1不是方程Ax=B精確解，用x2=pinv(A)*B所得的解與x1相同，用線性代數(shù)可以證明，列滿秩的方程組Ax=B最小二乘解為X=inv(C*C)*C*B,而廣義逆pinv(A)=inv(C*C)*C

26、，如上例的結(jié)果可以這樣計算inv(A*A)*A*Bans = 0.4149 0.0448 0.3737由此可見，x1不是方程Ax=B精確解，用x2=pinv(A)3)不定方程：理論上說有無窮多個解，如果用逆矩陣法和除法求解時，只能得到其中的一個解A= 1 -2 3;0 1 1;-1 0 1;1 -3 4B=4 -3 -4 1x=pinv(A)*Bx= 2.2549 1.2157 1.03923)不定方程：理論上說有無窮多個解，如果用逆矩陣法和除法求解x=ABWarning: Rank deficient, rank = 2 tol = 4.6151e-015.y = 3.4706 0 -0.1

27、765x和y都是方程組的解，其中x=pinv(A)*B是方程解中最小的一個，norm(x)=2.7645.而norm(y)=3.4751,y=AB是所有解中0最多的一個，也就是非零元素最多的一個。x=ABWarning: Rank deficient, 2、交通流量問題如圖所示給出了某城市部分單行街道的交通流量（每小時通過的車輛數(shù)）。圖中有6個路口，已有9條路口記錄了當(dāng)天的平均車流量，另有7處的平均車流量未知，試用每個路口的進出車流量相等關(guān)系推算7處的平均車流量1）問題提出2、交通流量問題如圖所示給出了某城市部分單行街道的交通流量（x1x5200300400200300400500200300

28、 x2x3x4x6x72）問題分析與數(shù)學(xué)模型在圖中的任何一個路口（十字路口或丁字路口）處，都有車輛流進和流出。當(dāng)一天結(jié)束后，流進的流出的車輛數(shù)應(yīng)該相等以達到平衡，x1x520030040020030040050020030在圖中有的長遠街道車流量有數(shù)據(jù)記錄，而有的沒有數(shù)據(jù)記錄，我們可以理解為有數(shù)據(jù)的街道有專人（或者設(shè)備）記錄了當(dāng)天的車流量情況，而沒有記錄的街道由于人力不足（或設(shè)備的經(jīng)費還沒到位）造成的。為了填補空白，設(shè)在沒有數(shù)據(jù)的街道處假設(shè)車流量是未知數(shù)，在每一個路口可根據(jù)進出的車流量相等關(guān)系，建立一個線性方程，如圖有六個路口，可以建立六個方程的線性組，問題的答案應(yīng)該是在所列的線性方程組在圖中

29、有的長遠街道車流量有數(shù)據(jù)記錄，而有的沒有數(shù)據(jù)記錄，我們通解中支尋找，將方程組寫成矩陣向量形式為AX=b其中通解中支尋找，將方程組寫成矩陣向量形式為AX=b其中顯然是一個不定方程組，因為方程組的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)。所以當(dāng)方程組的系數(shù)矩陣A的秩增廣矩陣A b的秩相等時，該問題有無窮多解，由于 圖顯然是一個不定方程組，因為方程組的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)。所以中的街道是單行道，每一街道上的車流量只能是正數(shù)或零，故應(yīng)在方程組的解集合中尋找非負解，如果方程組沒有解或沒有非負解，說明問題所給的數(shù)據(jù)有誤，求解問題分三步，第一步判斷方程組是否有解，第二步，如果方程組有解則求出方程組的通解，第三步，在通解中找非負

30、特解。3）程序和計算結(jié)果 A=1 0 1 0 0 0 0;1 -1 0 1 0 0 0;0 1 0 0 -1 0 0;0 0 1 0 0 1 0; 0 0 0 1 0 1 -1; 0 0 0 0 1 0 -1 中的街道是單行道，每一街道上的車流量只能是正數(shù)或零，故應(yīng)在方b=700 200 200 500 0 -200 rank(A)ans = 5 rank(A b)ans = 5b=700 200 200 500 0 -200 rref(A b)ans = 1 0 0 0 0 -1 0 200 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 1 0 500 0 0 0 1 0 1 -1 0 0 0 0 0 1 0 -1 -200 rref(A b)即有簡化方程組x6、x7為自由未知量，直接可得原方程組的通解形式即有簡化方程組x6、x7為自由未知量，直接可得原方程組的通解由上面所得的方程組通解表達式，取適當(dāng)?shù)膋1和k2使特解為非負數(shù)即可。求非負解的程序如下：由上面所得的方程組通解表達式，取適當(dāng)?shù)膋1和k2使特解為非負A=1 0 1 0 0 0 0;1 -1 0 1 0 0 0;0 1 0 0 -1 0 0;0 0 1 0 0 1 0; 0 0 0 1 0 1 -1;