t分布的概念及表和查表方法

1、t分布介紹在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，學(xué)生t-分布（t-distribution）,可簡(jiǎn)稱為t分布，用于根據(jù) 小樣本來估計(jì)呈正態(tài)分布且方差未知的總體的均值。如果總體方差已知（例如在樣本數(shù)量足 夠多時(shí)），則應(yīng)該用正態(tài)分布來估計(jì)總體均值。t分布曲線形態(tài)與n （確切地說與自由度df）大小有關(guān)。與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線相比，自 由度df越小，t分布曲線愈平坦，曲線中間愈低，曲線雙側(cè)尾部翹得愈高；自由度df愈大， t分布曲線愈接近正態(tài)分布曲線，當(dāng)自由度df=8時(shí)，t分布曲線為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線。中文名t分布應(yīng)用在對(duì)呈正態(tài)分布的總體外文名t-distribution別稱學(xué)生t分布學(xué)科概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)相關(guān)術(shù)語t檢驗(yàn)?zāi)夸?歷史

2、2定義3擴(kuò)展4特征5置信區(qū)間6計(jì)算歷史在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，學(xué)生t-分布（Students t-distribution）經(jīng)常應(yīng)用在對(duì)呈正態(tài)分布的總體的均值 進(jìn)行估計(jì)。它是對(duì)兩個(gè)樣本均值差異進(jìn)行顯著性測(cè)試的學(xué)生t測(cè)定的基礎(chǔ)。t檢定改進(jìn)了 Z檢定（en:Z-test）, 不論樣本數(shù)量大或小皆可應(yīng)用。在樣本數(shù)量大（超過120等）時(shí)，可以應(yīng)用Z檢定，但Z檢定用在小的 樣本會(huì)產(chǎn)生很大的誤差，因此樣本很小的情況下得改用學(xué)生t檢定。在數(shù)據(jù)有三組以上時(shí)，因?yàn)檎`差無法 壓低，此時(shí)可以用變異數(shù)分析代替學(xué)生t檢定。當(dāng)母群體的標(biāo)準(zhǔn)差是未知的但卻又需要估計(jì)時(shí)，我們可以運(yùn)用學(xué)生t-分布。學(xué)生t-分布可簡(jiǎn)稱為t分布。其推導(dǎo)

3、由威廉戈塞于1908年首先發(fā)表，當(dāng)時(shí)他還在都柏林的健力士釀 酒廠工作。因?yàn)椴荒芤运救说拿x發(fā)表，所以論文使用了學(xué)生（Student）這一筆名。之后t檢驗(yàn)以及 相關(guān)理論經(jīng)由羅納德費(fèi)雪的工作發(fā)揚(yáng)光大，而正是他將此分布稱為學(xué)生分布。定義由于在實(shí)際工作中，往往o是未知的，常用s作為。的估計(jì)值，為了與u變換區(qū)別，稱為t變換， 統(tǒng)計(jì)量t值的分布稱為t分布。 TOC o 1-5 h z 工+假設(shè)X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，丫服從分布，那么 門：的分布稱為自由度為n的t分布，記為/。分布密度函數(shù)一 ，其中，Gam(x)為伽馬函數(shù)。T 0 之 d二- Hpuri擴(kuò)展正態(tài)分布(normal distribu

4、tion)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一種重要的理論分布，是許多統(tǒng)計(jì)方法的理論基礎(chǔ)。 正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，P和o,決定了正態(tài)分布的位置和形態(tài)。為了應(yīng)用方便，常將一般的正態(tài)變量X通 過u變換(X-|j)/o轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量u，以使原來各種形態(tài)的正態(tài)分布都轉(zhuǎn)換為尸0, o=1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài) 分布(standard normal 1$廿匕戊6門)，亦稱u分布。根據(jù)中心極限定理，通過上述的抽樣模擬試驗(yàn)表明，在正態(tài)分布總體中以固定n，抽取若干個(gè)樣本時(shí)， Cf ?樣本均數(shù)的分布仍服從正態(tài)分布，即N(m,T )。所以，對(duì)樣本均數(shù)的分布進(jìn)行u變換，也可變換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N (0,1)。特征1.以0為中心，左右對(duì)稱的單峰分布；

5、2. t分布是一簇曲線，其形態(tài)變化與n （確切地說與自由度df）大小有關(guān)。自由度df越小，t分布曲線越 低平；自由度df越大，t分布曲線越接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（u分布）曲線，如圖：*-5-4-3 a2 -*1012 S- -4 Ht（n）分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)N（0,1）的密度函數(shù)。3.隨著自由度逐漸增大，t分布逐漸接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。對(duì)應(yīng)于每一個(gè)自由度df,就有一條t分布曲線，每條曲線都有其曲線下統(tǒng)計(jì)量t的分布規(guī)律，計(jì)算較 復(fù)雜。學(xué)生的t-分布（或也t分布），在概率統(tǒng)計(jì)中，在置信區(qū)間估計(jì)、顯著性檢驗(yàn)等問題的計(jì)算中發(fā)揮重 要作用。t分布情況出現(xiàn)時(shí)（如在幾乎所有實(shí)際的統(tǒng)計(jì)工作）的總體標(biāo)準(zhǔn)偏差是未知的，并要從數(shù)

6、據(jù)估算。教 科書問題的處理標(biāo)準(zhǔn)偏差，因?yàn)槿绻环Q為是兩類：（1 ）那些在該樣本規(guī)模是如此之大的一個(gè)可處理的數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)估計(jì)的差異，就好像它是一定的；（2 ）這些說明數(shù)學(xué)推理，在其中的問題，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差是暫時(shí)忽略的，因?yàn)檫@不是一點(diǎn)，這是作 者或?qū)煯?dāng)時(shí)的解釋。置信區(qū)間W一 假設(shè)數(shù)量A在當(dāng)T呈t-分布（T的自由度為n -1）滿足A 丁!。用。 這與是相同的。A是這個(gè)概率分布的第95個(gè)百分點(diǎn)。那么Pr（-A aUo,9 Prx- ”幻十4凡二 值9SM訴等價(jià)于 而例凡 因此p的90%置信區(qū)間為：V,；。計(jì)算下表列出了自由度為1-30以及80、100、120等t-分布的單側(cè)和雙側(cè)區(qū)間值。例如，當(dāng)樣本數(shù)

7、量n=5 時(shí)，則自由度df=4,我們就可以查找表中以4開頭的行。該行第5列值為2.132,對(duì)應(yīng)的單側(cè)值為95%（雙側(cè)值為90%）。這也就是說，T小于2.132的概率為95% （即單側(cè)），記為Pr（- T 2.132） = 0.95； 同時(shí)，T值介于-2.132和2.132之間的概率為90% （即雙側(cè)），記為Pr（-2.132 T 2.132） = 0.9。這是根據(jù)分布的對(duì)稱性計(jì)算得到的。Pr( T -2.132) = 1 - 0.95 = 0.05因此，Pr（-2.132 T 2,132） = 1 - 2（0.05） = 0.9注意關(guān)于表格的最后一行的值：自由度為無限大（n=120）的t-分布

8、和正態(tài)分布等價(jià)。（查表時(shí)注意:v是指自由度，并分單側(cè)和雙側(cè)兩種類型）（右側(cè)的示意圖是單側(cè)檢驗(yàn)的情形）（下圖是左右、雙側(cè)等檢驗(yàn)的情形）單側(cè)75%_80%85%_90%95%-97.5%99%-99.5%_99 75%-99.9%-99 95%_雙側(cè)50%60%70%80%90%95%98%99%99.5%99.8%-99.9%(V)121.0000 8161.3761 0611.9631 3863.0781 8866.3142 92012.714 30331.826 96563.669 925127.314 09318.322 33636.631 603_065_-0.978-_150_-U63

9、8-2.353_-X182_4.54-5.841-753_101_12.92L0410.941-190U5332322JZ63474.604-5.5982.1738.610560.7270 7180.9200 9061.1561 1341.4761 4402.0151 9432.5712 4473.3653 1434.0323 7074.7734 3175.8935 2086.8695 9597_QJ11_-0.896-1.119_115_-U895-2.365-2.998-399-4.029_48550880060.8891081.397U8602.3062.8963.3553.8334.5

10、01-5.049100.7030 7000.8830 8791.1001 0931.3831 3721.8331 8122.2622 2282.8212 7643.2503 1693.6903 5814.2974 1444.7814 58711-0.697-0.876_UQ88_-1.363-U96_201_2J18-3.106-X497_4.0254.437120.6950.873UQ831,356U822,1792,6813,055X4283,9304,318130 6940 8701 0791 3501 7712 1602 6503 0123 3723 8524 221140 6920

11、8681 0761 3451 7612 1452 6242 9773 3263 7874 140150.6910.866L-0Z41411 7532,1312,6022.9473.863 7334 073160.6900. 8651. 0711 . 3371. 7462 . 1202 . 5832 . 9213 . 2523 . 6864 . 015170.6890. 8631. 0691 . 3331. 7402 . 1102 . 5672 . 8983 . 2223 . 6463 . 965180 6880 8621 0671 3301 7342 1012 5522 8783 1973 6

12、103 922190 6880 8611 0661 3281 7292 0932 5392 8613 1743 5793 883200.6870. 8601. 0641 . 3251. 7252 . 0862 . 5282 . 8453 . 1533 . 5523 . 850210 6860 8591 0631 3231 7212 0802 5182 8313 1353 5273 819220 6860 8581 0611 3211 7172 0742 5082 8193 1193 5053 792230.6850.858L-0601191142,0692,5002.8073.10438536

13、7240.6850. 8571. 0591 . 3181. 7112 . 0642 . 4922 . 7973 . 0913 . 4673 . 745250 6840 8561 0581 3161 7082 0602 4852 7873 0783 4503 725260 6840 8561 0581 3151 7062 0562 4792 7793 0673 4353 707270 6840 8551 0571 3141 7032 0522 4732 7713 0573 4213 690280 . 6830. 8551. 0561 . 3131. 7012 . 0482 . 4672 . 76

14、33 . 0473 . 4083 . 674290 6830 8541 0551 3111 6992 0452 4622 7563 0383 3963 659300 6830 8541 0551 3101 6972 0422 4572 7503 0303 3853 646400.6810.851L-0501 303L-6842,0212 423204-2-9X13.3073.551500 . 6790. 8491. 0471 . 2991. 6762 . 0092 . 4032 . 6782 . 9373 . 2613 . 496600 6790 8481 0451 2961 6712 000

15、2 3902 6602 9153 2323 460800 6780 8461 0431 2921 6641 9902 3742 6392 8873 1953 416100-0.677-0.845-UQ42190-U660-U984-2.364-2X26-2.871-3,174-X3901200 . 6770. 8451. 0411 . 2891. 6581 . 9802 . 3582 . 6172 . 8603 . 1603 . 373無窮大一0 6740 8421 0361 2821 6451 9602 3262 5762 8073 0903 291如何查t分布表1、本表是自由度V和下側(cè)概率P給出t分布的分位數(shù)tp(v)。例：對(duì)