借對稱求最短距離

1、關(guān)于借對稱求最短距離第1頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四最短距離問題考查知識點：“兩點之間線段最短”,“點關(guān)于軸對稱”。生活中的原型：“建奶站問題”，“牧馬人飲馬問題”等。出題背景變式：有角、三角形、菱形、正方形、圓、坐標軸、雙曲線、拋物線等。解題總思路：（不變的“宗”）： 找點關(guān)于軸的對稱點，實現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”. 第2頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四在北師版七年級數(shù)學(xué)（下）的第123頁上：如圖，要在街道旁修建一個奶站，分別向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使A、B到它的距離之和 最短？數(shù)學(xué)模型1第3頁，共29頁，2022年，5月2

2、0日，8點43分，星期四 數(shù)學(xué)問題1 已知：直線L和L的同側(cè)兩點A、B求作：點C，使C在直線L上，并且ACCB最小。第4頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四 BC+AC BC +AC ，即AC+BC最小LBACAC 直線L是點A、A的對稱軸， 點C、C在對稱軸上，AC=AC，AC=AC 在BA C中，BA BC+A C， BC+AC = AC+BC = ABAC +BC = AC +BC 做法：作點A關(guān)于直線L的對稱點A，連接 A B 與直線L相交于點C，連接AC，則AC+BC最短。則點C就是奶站 的位置依據(jù)？：以此題為“宗”的題目可以說層出不窮，如：第5頁，共29頁，20

3、22年，5月20日，8點43分，星期四1.在正方形中探求線段和的最小值例1：如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一動點，DNMN的最小值為 N連接BM交AC于N，連接DN，可得BN=DN，因此DN+MN=BN+MN=BM.第6頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四變式1：如圖所示，正方形ABCD的面積為36，ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PDPE的和最小，則這個最小值為 ( ) 面積為36，所以AB=BE=6第7頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四變式2：如圖，在ABC中，ACBC2，A

4、CB90，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則ECED的最小值為_第8頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四2.在圓背景下探求線段和的最小值例2：如圖，AB是O的直徑，AB=2，OC是O的半徑，OCAB，點D在AC上,弧AD=2弧CD，點P是半徑OC上一個動點，那么AP+PD的最小值是 .PADCOB第9頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四變式：已知O的直徑CD為4，AOD的度數(shù)為60，點B是弧AD的中點，在直徑CD上找一點P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值2.在圓背景下探求線段和的最小值第10頁，共29頁，2022年，5月20日，8點4

5、3分，星期四3.在平面直角坐標系背景下探求線段和的最小值 例3： 在平面直角坐標系中，有A（3，2），B（4，2）兩點，現(xiàn)另取一點C（1，n），當n =_ 時,AC + BC的值最小第11頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四3.在平面直角坐標系背景下探求線段和的最小值 變式1：一次函數(shù)y=-2x+4的圖象與x、y軸分別交于點A（2，0），B（0，4), O為坐標原點，設(shè)OA、AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，求PCPD的最小值，并求取得最小值時P點坐標第12頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四令X=0得，Y=1，所以P點（0.1）第13頁，共29

6、頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四變式2：已知拋物線與x軸交于A、B兩點，與Y軸交于點C。且對稱軸為直線X=-1，其中A點（-3,0），C點（0，-2）（1）求這條拋物線的函數(shù)表達式（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得PBC 的周長最小請求出點P的坐標ACxyBO第14頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得PBC 的周長最小請求出點P的坐標第15頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四4、在角的背景下探求線段和的最小值例4：已知：如圖A是銳角MON內(nèi)部任意一點，在MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形

7、，使三角形周長最小.第16頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四變式：如圖，點P在AOB內(nèi)部，且AOB=45,OP=2cm,在射線OA、OB上找點C、D，使PC+CD+DP之和最小。思考:你能求得出PC+CD+DP之和最小為多少嗎？第17頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四第18頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四 數(shù)學(xué)模型2如圖：C處為馬棚，D處為帳篷，牧馬人某一天要從馬棚牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定所走的最短路線。第19頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四 數(shù)學(xué)問題2如圖

8、：C、D在AOB的內(nèi)部，在OA、OB上分別找點G、H，使得CG+GH+DH最短作法：1.作點C關(guān)于直線 OA的對稱點點F, 2.作點D關(guān)于直線OB 的對稱點點E, 3.連接EF分別交直線OA.OB于點G.H， 則CG+GH+DH最短FAOBD CEGH第20頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四例題：在直線m、n上分別求點M、N,使得四邊形PQMN的周長最小第21頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四變式1:如圖點A（a，1）、B（1，b）都在雙曲線 (x0)上，點P、Q分別是x軸、y軸上的動點，當四邊形PABQ的周長取最小值時，PQ在直線的解析式是（ ）.

9、 A.yx B.yx1 C.yx2 D.yx3第22頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四第23頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四變式2：(2016貴陽)25.如圖，直線y=5x+5交x軸于點A，交y軸于點C，過A，C兩點的二次函數(shù)y=ax2+4x+c的圖象交x軸于另一點B. （1）求二次函數(shù)的表達式； （2）若點H為二次函數(shù)y=ax2+4x+c圖象的頂點，點M（4，m）是該二次函數(shù)圖象上一點，在x軸、y軸上分別找點F，E，使四邊形HEFM的周長最小，求出點F，E的坐標. 第24頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四第25頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四我的收獲：第26頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四課堂小結(jié)1、構(gòu)建“對稱模型”實現(xiàn)折轉(zhuǎn)直PNPP2.關(guān)鍵：作對稱點，利用軸對稱的性質(zhì)將線段轉(zhuǎn)化，從而利用“兩點之間，線段最短”來解決第27頁，共29頁，2022年，5月20日，8點43分，星期四 測試題：在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊 OB的中點. （1）若E為邊