GPS水準(zhǔn)擬合方法探討

1、GPS水準(zhǔn)擬合方法探討1-引言GPS定位技術(shù)相對于常規(guī)測量技術(shù)具有全天候、高精度、測站之間不需要通視等特點， 因而在測繪領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。但是GPS定位成果中點的高程是人地高，即點沿著法線 方向到橢球球面的距離，而我們通常使用的多是正常高，是以似人地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面的高程 系統(tǒng)。同一點處正常高和人地高的差值叫做高程異常，因此要將GPS定位成果中的犬地高 轉(zhuǎn)為正常高，還需要知道每一個點處的高程異常值。利用GPS技術(shù)獲取點的正常高需要做 一下三個工作：1 利用GPS定位獲取點的人地高；建立一個高程異常值分布模型；利用人地高和高程異常分布模型獲取點的水準(zhǔn)高程。2基本概念高程是用來確定一個點在地面上的

2、高低程度的，常用的高程系統(tǒng)有人地高系統(tǒng)、正常高 系統(tǒng)、正高系統(tǒng)。2. 1大地高高程系統(tǒng)人地高高程系統(tǒng)是以橢球面為基準(zhǔn)面的高程系統(tǒng)，地面某點的人地高高程H定義為由地 面點沿橢球面法線到橢球面的距離。GPS定位測屋獲取的是恥S84橢球人地坐標(biāo)系中的成呆， 也就是說GPS測屋求得的是相對于WGS84橢球的大地高程。由人地高高程的定義可知，它是 一個幾何向量，不具有物理意義。不難理解，不同定義的橢球大地坐標(biāo)系構(gòu)成不同的犬地高 程系統(tǒng)，在將人地高轉(zhuǎn)換為正常高之前首先需要明確到底是基于哪個橢球的人地高。2. 2正高高程系統(tǒng)正高高程系統(tǒng)是以人地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面的高程系統(tǒng)。地面上任一點的正高系統(tǒng)即該點沿 垂線方

3、向到大地水準(zhǔn)面的距離。3正常高高程系統(tǒng)正常高高程系統(tǒng)是以似人地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面的高程系統(tǒng)。在實際應(yīng)用的高程測量中，地 面點的高程采用正常高系統(tǒng)。地面點的正常高H是該點至似大地水準(zhǔn)面的鉛垂距離；而GPS 所測高程是地面點沿通過該點的橢球法線至橢球面的距離。兩者之間存在一個高程異常N, 二者關(guān)系為：H iew=H-N 式中：H為人地高，N為高程異常。GPS水準(zhǔn)高程計算方法GPS高程轉(zhuǎn)換到正常高的方法很多，如GPS三角高程、GPS重力高程、曲面擬合法、繪 等值線圖法、解析內(nèi)插法等一系列方法。它們的轉(zhuǎn)換方法不同，所能達(dá)到的精度也有差異。 在實際工程應(yīng)用中最常用的是GPS水準(zhǔn)，即利用已知幾何水準(zhǔn)點或達(dá)到水

4、準(zhǔn)等級精度的高程 控制點和GPS點聯(lián)測，然后通過高程擬合實現(xiàn)GPS高程到正常高的轉(zhuǎn)換，或通過這些數(shù)據(jù)擬 合出測區(qū)所在區(qū)域的似大地水準(zhǔn)面。GPS水準(zhǔn)測屋的高程轉(zhuǎn)換方法有繪制等值線圖法、解析 內(nèi)插法、曲線擬合法、曲面擬合法等。這些方法各有不同的轉(zhuǎn)換思想、轉(zhuǎn)換條件、數(shù)學(xué)模型 和難易程度決定了適合應(yīng)用于哪一類工程和所能達(dá)到的轉(zhuǎn)換精度。3. 1 GPS水準(zhǔn)多項式曲面擬合法多項式曲面擬合常用的做法是首先根據(jù)測區(qū)的概略高程異常圖，選取一定的多項式模 型，然后取全部已知點中的部分已知點作為結(jié)點進(jìn)行模型參數(shù)的求解，剩余已知點作為檢核點。這種方法用于評價擬合精度的數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)通常有兩種，一種是內(nèi)符合精度，即:內(nèi)符合精

5、度：“二 7vTV/(i】-t)(3-1)另一種是由檢核點得到的外符合精度，即：8- = A/AA/nz (3-2)式中，t為必要觀測數(shù)，n為結(jié)點個數(shù)，(為檢核點個數(shù)：為檢核點的已知高程異常 與其擬合值之差。在小區(qū)域且較為平坦的地區(qū)，可以考慮用平面逼近局部似大地水準(zhǔn)面。設(shè)某公共點的高 程異常與該點的平面坐標(biāo)關(guān)系式為： TOC o 1-5 h z g 廣 ai+ax+asyi(3_3)式中，ara3為模型參數(shù)，需要通過公共點來解算。如果公共點個數(shù)人于3個，則可以列出相應(yīng)的誤差方程為：M = a】+ a 2 & + a 3 X _ ? ( 口, 2,3，,n)(3-4)寫成矩陣形式為：V=BX-L

6、式中Vi1 & y/ Hiv =v；B =1 Xa y2 ；x =32:L = _33_vn_kJ TOC o 1-5 h z 依最小二乘法可得到 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document x = (btB)_1BTl3-5)可以用式(3-3)來計算該區(qū)域內(nèi)任意一點的高程異常值。根據(jù)以往實驗數(shù)據(jù)，該方法 在120KM1的平原地區(qū)，擬合精度可以達(dá)到3CM-4CM。對于相對復(fù)雜的地區(qū)，則可以使用二次曲面模型，即地面點高程異常與其平面坐標(biāo)之間, 有如下函數(shù)關(guān)系：& = ao+a】x+a?y+a3xf+a4yi +a5xiyi (3_6)式中：ar ，為模型參

7、數(shù)，要確定式3-4),至少需要6個公共點。當(dāng)公共點多于6個時，可得誤差方程M = ao+aiX + a2y+a3xf+a4yi(37)寫成矩陣形式為：V二BX-L式中Vi1Vi1 &v =v2；B =1 X2 vn_1百y2Xiy/ y；x =ai3233:L= t(3-9)nxl nXt txl nxl同理可以求出式（3-8）系數(shù)，然后計算任意點的高程異常值。同時可以根據(jù)式（3-1） （3-2）對此方法進(jìn)行精度評定：已有很多文獻(xiàn)討論過結(jié)點選取問題。顯然，結(jié)點選取不同時會得到不同的內(nèi)、外符合精 度值，理想的情況是二者均盡可能地小。實際上，外符合精度數(shù)值小，表示的檢核點與所選模型的符合程度，而內(nèi)

8、符合精度數(shù)值 小，表明的是結(jié)點與所選模型的符合程度。不難理解，如果測區(qū)高程異常呈單一多項式曲面 而所選模型又正確，無疑內(nèi)、外符合精度數(shù)值都會很小；如果測區(qū)高程異常較為復(fù)雜不呈單 一多項式曲面，無論怎么選取結(jié)點、檢核點，都不可能做到使二者均很小，除非GPS水準(zhǔn)點 數(shù)很少而又位于特殊位置。通過人量實驗會發(fā)現(xiàn)，多項式曲面擬合法結(jié)點選取不同時，一般會得到不同的擬合值和 內(nèi)外符合精度估計值；當(dāng)測區(qū)不斷有新已知點加入時，往往需要重新計算，計算的自適應(yīng)程 度較低；當(dāng)測區(qū)呈馬鞍形甚至波浪形時，整體擬合的效呆將很差，分片擬合不好處理銜接問 題。3.2移動曲面法“移動曲面”指的是用戶所規(guī)定的一個有限區(qū)域，該區(qū)域的

9、位置將隨著未知點的位置變化 而移動。移動曲面擬合法是一種按點逼近的方法，從這個意義上講，實際上包括了前述的整 體擬合與分片擬合的思想。選擇這種模式的主要原因是，這么做可以更好的模擬人地水準(zhǔn)面, 而不至于遠(yuǎn)離已知點的負(fù)面效應(yīng)損害其精度。實踐和有關(guān)文獻(xiàn)表明，移動曲面法在GPS水 準(zhǔn)擬合中具有計算簡單、精度較高等特點。當(dāng)測區(qū)不斷有新的已知點加入時，所得模型的精 度還會不斷提高。此外，因為沒有結(jié)點選取問題，該法的自適應(yīng)計算程度較高。下面分三步說明移動曲面法。y.)(戸 1,2,3,相應(yīng)坐1）y.)(戸 1,2,3,相應(yīng)坐標(biāo)系的數(shù)據(jù)點為（爼，乂）（ 1=1,2,3,.,n對于內(nèi)插點（&，y.）做:(3-

10、10)Xj = xrXj(3-10)的變換，形成新的坐標(biāo)（x；，y；）為移動坐標(biāo)。移動坐標(biāo)是為了簡化計算而引入的，卞面 可以看到使用移動坐標(biāo)的優(yōu)點。2）任一數(shù)據(jù)點（&，北）假設(shè)距離d的遞減函數(shù)：(3-11)(3-11)將w（d）作為權(quán)函數(shù)，權(quán)的引入時為了在移動時根據(jù)內(nèi)插點到數(shù)據(jù)點的距離給出各數(shù)據(jù) 點的不同影響程度，兩點約近影響程度越大。它并不像測量中的權(quán)是由誤差定義的。目前在 DTM中廣泛使用的權(quán)函數(shù)有：w(d) = exp)w(d) = exp)a(3-12)w(d)=（百Q(mào)+w(d)=（百Q(mào)+（y廠刃(3-14)(3-13)式中：&為常數(shù)，可由試驗給定，一般應(yīng)取數(shù)據(jù)點平均間距的兩倍。DTM

11、 k量內(nèi)插計算表明，權(quán)的組織使得內(nèi)插精度會有明顯改善。當(dāng)然權(quán)函數(shù)的選取， 可根據(jù)具體的情況選取不同形式，或同時利用其他的一些信息，以利于內(nèi)插。因此它使得移 動法比多項式內(nèi)插、樣條函數(shù)內(nèi)插更加靈活。3）一般以某一內(nèi)插點（x）y.若數(shù)據(jù)點（Xi，y）中滿足：可用這些數(shù)據(jù)點參加內(nèi)插，則稱為（Xj，y；）為圓心，半徑為r的圓形移動窗11曲面內(nèi)插。移動曲面法的基本原理與多項式擬合是類似的，為了進(jìn)一步理解移動法原理，我們以 移動多項式進(jìn)行公式推導(dǎo)。設(shè)移動到第j個內(nèi)插點（Xj，y：）時，欲利用落入該點移動窗I I內(nèi)的m個數(shù)據(jù)點（爼，乂）上的測值（1=1,2,. ,m），以下列多項式：&二ao+a】x +a?

12、y +a3X2+a4y+a5x y （3-15）計算第j個內(nèi)插點函數(shù)值。在m個數(shù)據(jù)點上建立如下誤差方程：v = ao+a1x+a2yi+a3xf+a4y+a5XYr(3_16)其中：pi = wpi = w(d1)=(3-17)令:HoV11 x % y；為 y】ai V3;B =1 x2 y2 x； y； x2y2:x =a2；L =a3Vn_-1 x. yn X； y； X.yn_34H5利用最小二乘原理可得:(3-18) II當(dāng)使用移動坐標(biāo)時,丹 II當(dāng)使用移動坐標(biāo)時,丹(3-19)代入式(3-15)可得到：由此看出使用移動坐標(biāo)時，移動多項式的常數(shù)項即為內(nèi)插點的內(nèi)插值，這樣就給計算帶 來

13、了很人的方便。解算時可把a排在最后，然后形成下角陣，最后的元素便等于a。使 用移動坐標(biāo)的另一個優(yōu)點是由于計算中心化，移動坐標(biāo)(x；，y：)相對較小，形成的法方 程矩陣各元素人小相差不太懸殊，對改善法方程的數(shù)值穩(wěn)定性和提高解算精度有一定作用。移動曲面法可以給出可靠地精度估計信息。將每個數(shù)據(jù)點作為內(nèi)插點，用周I制的數(shù)據(jù)點 按移動法計算該點的內(nèi)插值，這樣對每個數(shù)據(jù)點來說，由于本點未參加內(nèi)插得出的誤差具有 類似真誤差的性質(zhì)，所以，最后精度評定比較客觀，可信程度高。令Mi為1點觀測值為點內(nèi)插計算值，觀測值減計算值得：(3-20)則可用卞式進(jìn)行精度估計：(3-21)11(3-21)11式中：n為數(shù)據(jù)點總個

14、數(shù)。通過人量實驗數(shù)據(jù)，會發(fā)現(xiàn)GPS水準(zhǔn)移動曲面法適合復(fù)雜形狀的似人地水準(zhǔn)面曲面, 擬合函數(shù)和定權(quán)半徑不好選取，需要人量試算。3.3 Hardy多面函數(shù)法美國Hardy在1971年給出了多面函數(shù)擬合法，1976年建議將此法應(yīng)用于大地測量，擬 合重力異常、大地水準(zhǔn)面差距、垂線偏差等，1978年又提出將此法用于地殼形變。多面函 數(shù)法的基本思想是，任何數(shù)學(xué)表面和任何不規(guī)則的圓滑表面，總可用一系列有規(guī)則的數(shù)學(xué)曲 面的總和，以任意精度逼近。根據(jù)這一思想，高程異常函數(shù)可以表示為：怒滬土 CQ(x,y,兀,yj(3-22)i=l式中：Cl為待定系數(shù)；k為顯著數(shù)據(jù)點或結(jié)點個數(shù)；Q(兀y,兀,yj是X和y的二次核 函數(shù)，其中核心在(xyj處，歹可由二次式的和確定，故稱為多面函數(shù)。常用的簡單核函數(shù)，一般采用具有對稱性的距離型一般取為正、倒雙曲函數(shù)，即：Q(xy，Xi，yJ = (x-xj3 + (y-yx)2 + 問Q(xy,x,yJ = (x-xj2 + (yyj2 +滬“(3-23)式中：d為平滑因子，用來對核函數(shù)進(jìn)行調(diào)整：將公式(3-22)寫成誤差方程的矩陣形式：V = QC-待定系數(shù)C可以根據(jù)公共點上的已知高程異常值，按最小二乘法計算：c = (QtQ