從偏微分到常微分

1、從偏微分到常微分之拉普拉斯變換摘要簡單介紹常微分方程與偏微分方程的異同，舉例應(yīng)用拉普拉斯變換求解齊次 和非齊次偏微分方程中，歸納總結(jié)拉普拉斯變換在求解典型偏微分方程中的步 驟。關(guān)鍵詞：拉普拉斯變換 常微分方程 偏微分方程_、牛-、-前言在大三上學(xué)期的選課就有人介紹說偏微分方程比常微分方程難很多。確實(shí)， 在修讀完分析學(xué)應(yīng)用這門課后，加上自己做作業(yè)查到的資料，覺得偏微分比常微 分難很多。個(gè)人認(rèn)為常微分是偏微分的一種特例，而偏微分是常微分的推廣。關(guān)于常微分方程與偏微分方程的見解常微分方程和偏微分方程都是研究微分方程的。微分方程是凡含有參數(shù)，未 知函數(shù)和未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方程，如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)的未知

2、函數(shù)只含一個(gè)自 變量，這個(gè)方程叫做常微分方程，描述的是一個(gè)量隨一個(gè)自變量變化的規(guī)律，如 位置隨時(shí)間的變化規(guī)律；如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，或者說如 果未知函數(shù)和幾個(gè)變量有關(guān)，而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對(duì)應(yīng)幾個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)，那 么這種微分方程就是偏微分方程，描述的是一個(gè)量隨著兩個(gè)或更多自變量變化的 規(guī)律。比如溫度隨著時(shí)間位置的變化。這樣就需要時(shí)間和三個(gè)空間維度四個(gè)變量 的偏微分方程來描述。雖然兩者研究的對(duì)象一樣，但是偏微分方程一般比常微分方程復(fù)雜。偏微分 不僅自變量多，而且各個(gè)自變量之間會(huì)有相關(guān)聯(lián)，比如溫度隨時(shí)間和位置變化而 變化，同時(shí)位置的變化又和時(shí)間有關(guān)，所以很復(fù)雜。而這自變量之間關(guān)聯(lián)

3、程度用 耦合性來表示。偏微分一般用數(shù)值法求解，比如天氣預(yù)報(bào)，就是用計(jì)算機(jī)求解偏 微分方程得到的。不僅如此，兩者研究的重點(diǎn)也不一樣，常微分方程比較簡單， 只是研究帶有導(dǎo)數(shù)的方程、方程組之類的通解、特解，與現(xiàn)實(shí)生活中的很多問題 聯(lián)系密切。但是對(duì)于解決很多高尖端的問題都是用偏微分方程，比如很多著名的 物理方程：熱傳導(dǎo)方程、拉普拉斯方程等等，它不僅僅是研究方程解的一門學(xué)科, 因?yàn)橛行┓匠毯茈y，根本就求不出解，或者常規(guī)方法求解十分困難，所以偏微分 方程還著重研究解的分布、狀態(tài)等。盡管如此，但在一些典型的偏微分方程中，我們可以利用拉普拉斯變換將偏 微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程來解決。下面我將介紹拉普拉斯變換及

4、其性質(zhì)，以及 如何利用拉普拉斯變換轉(zhuǎn)化偏微分方程。拉普拉斯變換的定義設(shè)函數(shù)f(t)(tO)滿足下列條件：在區(qū)間0, -)上,除了有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)外，函數(shù)f(t)及它的導(dǎo)數(shù)f(t) 處處連續(xù)，即函數(shù)f(t)分段連續(xù)；存在常數(shù)M0和5三0,使對(duì)任何t值(t0),有I f(t)l VMe5t，即隨著t 的增大，函數(shù)If(t)I的增大不比某個(gè)指數(shù)函數(shù)快，其中5為其增長指數(shù)。此時(shí)積分 f f (t)e-stdt,(s = c + iw, c 0)在半平面 Re(s)c上一定存在，在 0Re(s) C c上絕對(duì)且一致收斂。則此積分所確定的函數(shù)F(s)=于f (t)e-stdt (t0)稱為f(t)的像函

5、數(shù)，而f(t)0稱為F(s)的原函數(shù)。它們之間的關(guān)系常用簡單的符號(hào)表示為F(s) = L f (t)， f(t)=L-1F(s)根據(jù)學(xué)過的常微分方程的知識(shí)我們知道，從定義求拉普拉斯變換困難且復(fù) 雜，所以我們可以根據(jù)該表進(jìn)行查找。幾種常用的拉普拉斯變換對(duì)函數(shù)表如下：原函數(shù)像函數(shù)原函數(shù)像函數(shù)11stn (n為整數(shù))n!sn+1e九1s -九1 .-sin at taarctan ssin w twcos w tss 2 +w 2s 2 + w 2shwtwchwtss 2 w 2s 2 w 2t sin w t2wst cos w ts 2 w 2(s 2 +w 2)2(s 2 + w 2)25

6、(t)1啖(呂)1 e廠s拉普拉斯變換在求解偏微分方程中的應(yīng)用在課上的時(shí)候，老師介紹了求解一階線性偏微分方程和高階線性偏微分方程 的思想方法，這里查閱資料后，我想介紹用拉普拉斯變換求解齊次與非齊次偏微 分方程，至于用拉普拉斯變換求解有界與無界偏微分方程這一模塊，因?yàn)楸救四?力有限，沒能理解其求解方法。例題例：求解齊次偏微分方程C 2 C 2 udxdyx2 y,(x 0, y +x), 0, + g,(g為常數(shù))，(x 0, t 0),=a 2 - dt 2d2x= 0,t=0=0,包 t=0= 0,t=0=0.x=0解：對(duì)該問題關(guān)于 t 取拉普拉斯變換，并利用微分性質(zhì)及初始條件可得Lu(x,

7、 t) = U(x, s),d 2 uLd 2 uL = s 2U (x, s) 一 sudt 2t=0dudtt=o= s2U ,d 2 ud 2d 2L=Lu (x, t)=U,dx 2dx 2dx 2LLu = Ux=0=0.x=0這樣，原定解問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù) s 的二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的邊值問 題：瞠-丄s2U 一丄g TOC o 1-5 h z dx 2a 2a 2 sU= 0,lim U = 0.I x=0ST8方程空匕丄s 2U =-丄g可轉(zhuǎn)化為= S2U 5 dx 2a 2a 2 sdx 2+牛其中ci, 為常數(shù)。解此微分方程，可得其通解為U (x, +牛其中ci, 為

8、常數(shù)。1為了確定常數(shù)c ,c ,將邊界條件U|= 0,limU = 0代入上式,1 2x=0s”可得 c = 0, c = 12S 3所以，U(x,s) = g (1 e-：x) = g 亙e-：s.s 3s 3 s 3由拉普拉斯變換函數(shù)表L-1- = tn，可知L-1 亙=gt2. sn+1s 32n!由拉普拉斯變換函數(shù)表L-1一 = tn,并結(jié)合L-ie-sF(s) = f (t t ), s n +10可知 L-iSeA = g (t -)2u(t -).s 32 a a方程兩邊取反演，從而原定解問題的解為u(x,t) = L-1U(x,s) = L-1S 3e ：s = g12 g (t 蘭)2u(t -). s 3 s 322 aa小結(jié)應(yīng)用拉普拉斯變換求解微分方程的步驟如下：1、對(duì)線性偏微分方程中每一項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換，使微分方程變?yōu)閟的代數(shù)方程；2、解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表達(dá)式；3、用拉氏反變換得到偏微分方程的解。感想由以上兩道例題，我們可以發(fā)現(xiàn)拉普拉斯變換可以使解 n 個(gè)自變量偏微分方 程的問題，轉(zhuǎn)化為解 n-1 個(gè)自變量的微分方程的問題，逐次使用拉普拉斯變換， 自變量會(huì)逐個(gè)減少，有時(shí)還可將解 n 個(gè)自變量偏微分