專題04根與系數(shù)關(guān)系培優(yōu)專題

1、專題04根與系數(shù)關(guān)系閱讀與思考根與系數(shù)的關(guān)系稱為韋達(dá)定理，其逆定理也成立，是由16世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)所發(fā)現(xiàn)的.韋達(dá)定 理形式簡(jiǎn)單而內(nèi)涵豐富，在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在：.求方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；.求代數(shù)式的值；.結(jié)合根的判別式，判斷根的符號(hào)特征；.構(gòu)造一元二次方程；.證明代數(shù)等式、不等式.當(dāng)所要求的或所要證明的代數(shù)式中的字母是某個(gè)一元二次方程的根時(shí)，可先利用根與系數(shù)的關(guān)系找 到這些字母間的關(guān)系，然后再結(jié)合已知條件進(jìn)行求解或求證，這是利用根與系數(shù)的關(guān)系解題的基本思路， 需要注意的是，應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件是一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，應(yīng)用根與系數(shù)的 關(guān)系解題時(shí)，必

2、須滿足判別式三0.例題與求解【例1】設(shè)關(guān)于x的二次方程(m2 -4)x2 + (2m-1)x +1 = 0 (其中m為實(shí)數(shù))的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和為s，則s的取值范圍是.【例2】如果方程(X-1)(x2 - 2x + m) = 0的三個(gè)根可以作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，那么，實(shí)數(shù)m的取值范圍是A. 0 A. 0 m 13 m 143 m B .不解方程，求-+ 3p 2的值.st + 4 s +1【例4】 設(shè)實(shí)數(shù)s, t分別滿足19s2 + 99s +1 = 0,12 + 991 +19 = 0并且st 1,求的值.tb 1 a 1【例5】 若實(shí)數(shù)a, b滿足a2 + 5 = 8a , b2 + 5

3、 = 8b，求代數(shù)式+ 的值；a 1 b 13 x + 2 y + z - a(2)關(guān)于x, y,z的方程組|有實(shí)數(shù)解(x, y, z)，求正實(shí)數(shù)a的最小值；xy + 2 yz + 3 zx - 6(3)已知x, y 均為實(shí)數(shù)，且滿足xy + x + y -17，x2y + xy2 - 66，求x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4 的值.【例6】a,b,c為實(shí)數(shù)，ac 0，且：2a + 1的一切實(shí)數(shù)6.設(shè)6.設(shè)xx2是關(guān)于x的一元二次方程x2 + x + n 2 = mx的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 )且 x 0, x 3x 0)的兩根之差為1,那么p等于()A. 2B. 4C. b ,且方程

4、3 x2 + 3( a + b) x + 4 ab = 0的兩個(gè)根a, P滿足關(guān)系式a(a +1) +P (P +1) = (a+ 1)(P +1) .試求所有整數(shù)點(diǎn)對(duì)(a, b).若方程x2 + 3x +1 = 0的兩根a,p也是方程x6 - px2 + q = 0的兩根，其中p, q均為整數(shù)，求p, q的值.11.設(shè)a, b是方程x2 - 3 x +1 = 0的兩根，d是方程X 2 4 x + 2 = 0的兩根，a b c d+ - += M . b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c求證:(1)a 2b 2c 2d 2+b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c(2)a 3b 3c 3d 3+b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c=49M - 68 .12.設(shè)m是不小于-1的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的一元二次方程x2 + 2(m - 2)x + m2 - 3m +1 = 0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根5, x2.(1)若 x 2 + x 2 = 6，求 m 的值； 12mx 2 mx 2(2)求+”的最大值.1 - x 1 - x13