高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-圓錐曲線微專題-焦點(diǎn)三角形講義

1、圓錐曲線微專題焦點(diǎn)三角形一、焦點(diǎn)三角形定義1.橢圓焦點(diǎn)為，P為橢圓上的點(diǎn)，則；2.雙曲線焦點(diǎn)為F1、F2，為雙曲線上的點(diǎn)，則二、典例分析題型一：焦點(diǎn)三角形的周長橢圓焦點(diǎn)三角形周長：2a+2c，雙曲線的周長利用進(jìn)行計(jì)算例1若橢圓（其中ab0）的離心率為，兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點(diǎn)，且F1F2M的周長為16，則橢圓C的方程為（）ABCD例2.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，是雙曲線的左支上一點(diǎn)，則的周長的最小值為（ ）ABCD自主練習(xí)1.已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在此橢圓上,則的周長等于（ ）A20B16C18D142.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，在左支上過F1的弦AB的長為5

2、，若2a8，那么ABF2的周長是（ ）ABCD題型二：焦點(diǎn)三角形的面積橢圓中焦點(diǎn)三角形面積公式雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積公式例1.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，且，若的面積為9，則_例2.已知、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則的面積為 例3.雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，若，則點(diǎn)到軸的距離為 .自主練習(xí)1.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，且，若的面積為16，則_2.設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的面積為 ( )A. B.3 C. D.23.已知、為雙曲線:的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上,=，則到軸的距離為 ( )A. B. C. D.4.已知、為雙曲線C：的

3、左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，P=，則（ ）A2B4C6D8題型三：焦點(diǎn)三角形與離心率橢圓中的離心率雙曲線中的離心率例1.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,是上的點(diǎn),則的離心率為 ( )A. B. C. D.例2.已知雙曲線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD例3.已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）ABCD自主練習(xí)1.已知點(diǎn)P在以為左，右焦點(diǎn)的橢圓上，在中，若，則（ ）ABCD2.已知，是雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，與x軸垂直，則雙曲線E的離心率為ABC2D33.已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，若在橢圓上存在點(diǎn)，使得，則橢圓的離心

4、率的取值范圍為（ ）ABCD題型四：焦點(diǎn)三角形與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用例1.已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線的右支上，若，則的取值范圍是（ ）ABCD自主練習(xí)1.設(shè)為雙曲線上的一點(diǎn),是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),若則的面積為 ( )A. B. C. D.三、綜合練習(xí)1.已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在此橢圓上,則的周長等于（ ）A20B16C18D142若橢圓（其中ab0）的離心率為，兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點(diǎn)，且F1F2M的周長為16，則橢圓C的方程為（）ABCD3.設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),若點(diǎn)在雙曲線上,且,則 ( )A. B. C. D.4.已知F1，F(xiàn)2是橢圓1的

5、兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)在AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為 ( )A6B5C4D35.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，橢圓上的點(diǎn)滿足：，且，則（ ）A1BCD26.已知對任意正實(shí)數(shù)m，n，p，q，有如下結(jié)論成立：若，則有成立，現(xiàn)已知橢圓上存在一點(diǎn)P，為其焦點(diǎn)，在中，則橢圓的離心率為（ ）ABCD7.設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為，若橢圓上存在點(diǎn)，使，則橢圓的離心率的最小值為（ ）ABCD8已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C1和雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，e1，e2分別是C1和C2的離心率，點(diǎn)P為C1和C2的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若，則e1的取值范圍是（ ）ABCD9.已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，分別為雙曲線

6、的左右焦點(diǎn)，若的外接圓半徑為4，且為銳角，則（ ）A15B16C18D2010.設(shè)，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn).若點(diǎn)在雙曲線上，且，則等于（ ）ABCD2023屆圓錐曲線微專題焦點(diǎn)三角形解析一、焦點(diǎn)三角形定義1.橢圓焦點(diǎn)為，P為橢圓上的點(diǎn)，則；2.雙曲線焦點(diǎn)為F1、F2，為雙曲線上的點(diǎn)，則二、典例分析題型一：焦點(diǎn)三角形的周長橢圓焦點(diǎn)三角形周長：2a+2c，雙曲線的周長利用進(jìn)行計(jì)算例1若橢圓（其中ab0）的離心率為，兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點(diǎn)，且F1F2M的周長為16，則橢圓C的方程為（）ABCD【答案】D【解析】橢圓（其中ab0）的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點(diǎn)，且F1F2M的

7、周長為16，可得2a+2c=16，橢圓（其中ab0）的離心率為，可得，解得a=5，c=3，則b=4，所以橢圓C的方程為：故選D例2.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，是雙曲線的左支上一點(diǎn)，則的周長的最小值為（ ）ABCD【答案】A【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，則由題可知，的周長為當(dāng)，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，的周長的最小值為故選：A自主練習(xí)1.已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在此橢圓上,則的周長等于（ ）A20B16C18D14【答案】C【解析】根據(jù)橢圓方程可知，根據(jù)橢圓的定義可知，的周長為，故選C.2.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，在左支上過F1的弦AB的長為5，若2a8，那么ABF2的周長是

8、（ ）ABCD【答案】A【詳解】解析：|AF2|AF1|2a8，|BF2|BF1|2a8， |AF2|BF2|(|AF1|BF1|)16， |AF2|BF2|16521， ABF2的周長為|AF2|BF2|AB|21526. 故選：A.題型二：焦點(diǎn)三角形的面積橢圓中焦點(diǎn)三角形面積公式雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積公式例1.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，且，若的面積為9，則_【答案】3【解析】例2.已知、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則的面積為 【答案】【解析】例3.雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，若，則點(diǎn)到軸的距離為 .【解析】由等面積得：。自主練習(xí)1.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、

9、，為橢圓上一點(diǎn)，且，若的面積為16，則_【答案】4【解析】2.設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的面積為 ( )A. B.3 C. D.2【解析】由，得，選B。3.已知、為雙曲線:的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上,=，則到軸的距離為 ( )A. B. C. D.【解析】由等面積得：，選B。4.已知、為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，P=，則（ ）A2B4C6D8【答案】B【解析】由雙曲線的定義得,又,由余弦定理，由2-得，故選B題型三：焦點(diǎn)三角形與離心率橢圓中的離心率雙曲線中的離心率例1.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,是上的點(diǎn),則的離心率為 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】，選D

10、。例2.已知雙曲線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD【答案】D【解析】設(shè) ， ， ，解得 ， 故選D.例3.已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）ABCD【答案】B【解析】由橢圓上存在點(diǎn)，使可得以原點(diǎn)為圓心，以c為半徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，由，即橢圓離心率的取值范圍為選B自主練習(xí)1.已知點(diǎn)P在以為左，右焦點(diǎn)的橢圓上，在中，若，則（ ）ABCD【答案】B【解析】2.已知，是雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，與x軸垂直，則雙曲線E的離心率為ABC2D3【答案】A【解析】3.已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，若在橢圓上存在點(diǎn)，使得，則

11、橢圓的離心率的取值范圍為（ ）ABCD【答案】A【解析】，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），由橢圓定義知：，又，又，離心率的取值范圍為.故選：.題型四：焦點(diǎn)三角形與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用例1.已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線的右支上，若，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】設(shè)，則由余弦定理得.又，則，解得，所以.因?yàn)?，所以，所以，所以的取值范圍?故選：B.自主練習(xí)1.設(shè)為雙曲線上的一點(diǎn),是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),若則的面積為 ( )A. B. C. D.【解析】設(shè)，則，由雙曲線的定義得：，,所以由勾股定理得為焦點(diǎn)直角三角形，所以，選B。三、綜合練習(xí)1.已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在

12、此橢圓上,則的周長等于（ ）A20B16C18D14【答案】C【解析】根據(jù)橢圓方程可知，根據(jù)橢圓的定義可知，的周長為，故選C.2若橢圓（其中ab0）的離心率為，兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點(diǎn)，且F1F2M的周長為16，則橢圓C的方程為（）ABCD【答案】D【解析】橢圓（其中ab0）的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點(diǎn)，且F1F2M的周長為16，可得2a+2c=16，橢圓（其中ab0）的離心率為，可得，解得a=5，c=3，則b=4，所以橢圓C的方程為：.3.設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),若點(diǎn)在雙曲線上,且,則 ( )A. B. C. D.【解析】由向量中線定理得：=，選B。4.已知F1

13、，F(xiàn)2是橢圓1的兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)在AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為 ( )A6B5C4D3【答案】A【解析】AF1B的周長公式4a=16,第三邊等于16-10=65.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，橢圓上的點(diǎn)滿足：，且，則（ ）A1BCD2【答案】C【解析】設(shè)，則，又（1），（2），式平方減去（2）式得：，得：.故選：C.6.已知對任意正實(shí)數(shù)m，n，p，q，有如下結(jié)論成立：若，則有成立，現(xiàn)已知橢圓上存在一點(diǎn)P，為其焦點(diǎn)，在中，則橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意得：，所以，所以，解得.故選：C7.設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為，若橢圓上存在點(diǎn)，使，則橢圓的離心率的最小值為（ ）ABCD【答案】C【解析】當(dāng)是橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，則橢圓的離心率的最小值為.故選：C.8已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C1和雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，e1，e2分別是C1和C2的離心率，點(diǎn)P為C1和C2的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若，則e1的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為,雙曲線的實(shí)半軸長為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為，不妨設(shè)P為第一象限的點(diǎn)，做出示意圖如下圖所示，由橢圓與雙曲線的定義得，所以得，又因?yàn)?，?/p>