2023版高三一輪總復習數(shù)學新教材老高考人教版教案：第5章 第3節(jié)　平面向量的數(shù)量積及其應用

1、 平面向量的數(shù)量積及其應用考試要求1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系.3.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題1向量的夾角已知兩個非零向量a和b，O是平面上的任意一點，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，則AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是0，當eq f(,2)時，a與b相互垂直，記作ab；當0時，a與b共線且同向；當時，

2、a與b共線且反向2平面向量的數(shù)量積定義：已知兩個非零向量a，b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做向量a與b的數(shù)量積(或內積)，記作ab，即ab|a|b|cos ，規(guī)定：0a0.3投影向量設a，b是非零向量，它們的夾角是，e是與b方向相同的單位向量，eq o(AB,sup6()a，eq o(CD,sup6()b，過eq o(AB,sup6()的起點A和終點B，分別作eq o(CD,sup6()所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq o(A1B1,sup6()，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，eq o(A1B1,sup6()叫做向量a在向量b上的投影向量，記為|a|cos e

3、.提醒：設a，b是非零向量，它們的夾角為，則a在b上的投影向量為|a|cos eq f(b,|b|)eq f(abb,|b|2).4向量數(shù)量積的運算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.5平面向量數(shù)量積的性質及其坐標表示設向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，為向量a，b的夾角(1)數(shù)量積：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|eq r(aa)eq r(xoal(2,1)yoal(2,1).(3)夾角：cos eq f(ab,|a|b|)eq f(x1x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1)r(xoal(2,2)yoal(2

4、,2).(4)兩非零向量ab的充要條件：ab0 x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(當且僅當ab時等號成立)|x1x2y1y2|eq r(xoal(2,1)yoal(2,1)eq r(xoal(2,2)yoal(2,2).6向量在平面幾何中的應用(1)要證ABCD，可轉化為證明eq o(AB2,sup6()eq o(CD,sup6()2或|eq o(AB,sup6()|eq o(CD,sup6()|.(2)要證兩線段AB，CD平行，只要證存在唯一實數(shù)0，使等式eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()成立即可(3)要證兩線段AB，CD垂直，只需證eq o(AB,sup6(

5、)eq o(CD,sup6()0.(4)求夾角問題，利用夾角公式cos eq f(ab,|a|b|).常用結論1平面向量數(shù)量積運算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2；(2)(ab)2a22abb2(3)abeq f(1,4)(ab)2(ab)2(該式又稱作極化恒等式)2有關向量夾角的兩個結論兩個向量a，b的夾角為銳角ab0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角ab0且a，b不共線 一、易錯易誤辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)兩個向量的夾角的范圍是eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2).()(2)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的數(shù)乘運算的運算結果是向量()(3)

6、由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()答案(1)(2)(3)(4)二、教材習題衍生1已知|a|2，|b|6，ab6eq r(3)，則a與b的夾角等于()A.eq f(,6)B.eq f(5,6)C.eq f(,3)D.eq f(2,3)Bcos eq f(ab,|a|b|)eq f(6r(3),26)eq f(r(3),2)，又因為0，所以eq f(5,6).2若ab6，|a|8，與a方向相同的單位向量為e，則向量b在向量a上的投影向量為_. eq f(3,4)e向量b在向量a上的投影向量為eq f(ab,|a|)eeq f(3,4)e.3設e1和e2是互相垂直的單位向量，

7、且a3e12e2，b3e14e2，則ab等于_. 1因為|e1|e2|1，e1e20，所以ab(3e12e2)(3e14e2)9|e1|28|e2|26e1e2912812601.4已知向量a，b滿足ab0，|a|1，|b|1，則|a3b|_.eq r(10)因為ab0，|a|1，|b|1，所以|a3b|eq r(a3b2)eq r(a26ab9b2)eq r(12912)eq r(10). 考點一平面向量數(shù)量積的運算典例1已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則eq o(DE,sup6()eq o(CB,sup6()的值為_，eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6

8、()的最大值為_.四字解題讀想算思正方形ABCD且E是AB邊上的動點；求eq o(DE,sup6()eq o(CB,sup6()，eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()的最大值數(shù)量積的求解方法投影法數(shù)量積的幾何意義數(shù)形結合基向量法數(shù)量積的運算三角形法則坐標法建系，求相關點的坐標，建立函數(shù)幾何問題代數(shù)化，函數(shù)思想11法一(投影法)：設向量eq o(DE,sup6()，eq o(DA,sup6()的夾角為，則eq o(DE,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(DA,sup6()|eq o(DE,sup6()|eq o(DA,sup6()|

9、cos ，由圖可知，|eq o(DE,sup6()|cos |eq o(DA,sup6()|，所以原式等于|eq o(DA,sup6()|21，要使eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()最大，只要使向量eq o(DE,sup6()在向量eq o(DC,sup6()上的投影達到最大即可，因為eq o(DE,sup6()在向量eq o(DC,sup6()上的投影達到最大為|eq o(DC,sup6()|1，所以(eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()max|eq o(DC,sup6()|21.法二(基向量法)：因為eq o(DE,sup6()eq o(DA,su

10、p6()eq o(AE,sup6()且eq o(DA,sup6()eq o(AE,sup6()，所以eq o(DE,sup6()eq o(CB,sup6()(eq o(DA,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(DA,sup6()|eq o(DA,sup6()|21，eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()(eq o(DA,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AE,sup6()|eq o(AB,sup6()|eq o(AE,sup6()|eq o(AE,sup6()|，所以要使eq o(DE,su

11、p6()eq o(DC,sup6()最大，只要|eq o(AE,sup6()|最大即可，明顯隨著E點在AB邊上移動，|eq o(AE,sup6()|max1，故(eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()max1.法三(坐標法)：以D為坐標原點，eq o(DC,sup6()與eq o(DA,sup6()所在直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，可知E(x,1)，0 x1，所以eq o(DE,sup6()(x,1)，eq o(CB,sup6()(0,1)，可得eq o(DE,sup6()eq o(CB,sup6()x0111.因為eq o(DC,sup6()(1,0)，

12、所以eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()x，因為0 x1，所以(eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()max1.平面向量數(shù)量積的三種運算方法跟進訓練1(1)(2021安徽合肥一模)在ABC中，AB2，AC3，eq o(BD,sup6()2eq o(DC,sup6()，eq o(AE,sup6()eq o(EB,sup6()，則eq o(AD,sup6()eq o(CE,sup6()()Aeq f(7,6) B.eq f(7,6) Ceq f(16,3) D.eq f(16,3)(2)在RtABC中，Ceq f(,2)，AB4，AC2，若eq o(AD,su

13、p6()eq f(3,2)eq o(AB,sup6()，則eq o(CD,sup6()eq o(CB,sup6()等于()A18 B6eq r(3) C18 D6eq r(3) (3)(2021福州模擬)設向量e1eq blc(rc)(avs4alco1(1，0)，e2eq blc(rc)(avs4alco1(0，1).若a2e17e2，b4e13e2，則ab_，向量a在向量b上的投影向量為_(1)C(2)C(3)13eq blc(rc)(avs4alco1(f(52,25)，f(39,25)(1)在ABC中，因為eq o(BD,sup6()2eq o(DC,sup6()，所以eq o(AD,

14、sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()，又eq o(AE,sup6()eq o(EB,sup6()，所以eq o(CE,sup6()eq o(CA,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，所以eq o(AD,sup6()eq o(CE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)o(AC

15、,sup6()f(1,3)o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)o(AB,sup6()o(AC,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6()2eq f(1,6)eq o(AB,sup6()26eq f(2,3)eq f(16,3)，故選C.(2)法一(基向量法)：由Ceq f(,2)，AB4，AC2，得CB2eq r(3)，eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()0，eq o(CD,sup6()eq o(CB,sup6()(eq o(CA,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(CA,su

16、p6()eq o(CB,sup6()eq f(3,2)eq o(AB,sup6()Ceq o(B,sup6()eq f(3,2)(eq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()eq f(3,2)eq o(CB,sup6()218，故選C.法二(坐標法)：如圖，以C為坐標原點，CA，CB所在的直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，則C(0,0)，A(2,0)，B(0,2eq r(3)由題意得CBAeq f(,6)，又eq o(AD,sup6()eq f(3,2)eq o(AB,sup6()，所以D(1,3eq r(3)，則eq o(CD,sup6()eq

17、 o(CB,sup6()(1,3eq r(3)(0,2eq r(3)18，故選C.法三(投影法)：因為Ceq f(,2)，AB4，AC2，所以CB2eq r(3)，所以eq o(AB,sup6()在eq o(CB,sup6()上的投影為2eq r(3)，又eq o(AD,sup6()eq f(3,2)eq o(AB,sup6()，所以eq o(AD,sup6()在eq o(CB,sup6()上的投影為eq f(3,2)2eq r(3)3eq r(3)，則eq o(CD,sup6()在eq o(CB,sup6()上的投影為3eq r(3)，所以eq o(CD,sup6()eq o(CB,sup6

18、()|eq o(CB,sup6()|eq o(CD,sup6()|coseq o(CD,sup6()，eq o(CB,sup6()2eq r(3)3eq r(3)18，故選C.(3)因為向量e1eq blc(rc)(avs4alco1(1，0)，e2eq blc(rc)(avs4alco1(0，1)，所以a2e17e22eq blc(rc)(avs4alco1(1，0)7eq blc(rc)(avs4alco1(0，1)eq blc(rc)(avs4alco1(2，7)，b4e13e24eq blc(rc)(avs4alco1(1，0)3eq blc(rc)(avs4alco1(0，1)eq

19、blc(rc)(avs4alco1(4，3)，所以ab247313，由aeq blc(rc)(avs4alco1(2，7)，beq blc(rc)(avs4alco1(4，3)可得：eq blc|rc|(avs4alco1(a)eq r(449)eq r(53)，eq blc|rc|(avs4alco1(b)eq r(169)5，所以cosa，beq f(ab,blc|rc|(avs4alco1(a)blc|rc|(avs4alco1(b)eq f(13,r(53)5)，向量a在向量b上的投影向量為：eq blc|rc|(avs4alco1(a)cosa，beq f(b,blc|rc|(avs

20、4alco1(b)eq r(53)eq f(13,r(53)5)eq f(b,5)eq f(13,25)beq f(13,25)eq blc(rc)(avs4alco1(4e13e2)eq f(52,25)e1eq f(39,25)e2eq blc(rc)(avs4alco1(f(52,25)，f(39,25). 考點二平面向量數(shù)量積的應用平面向量的模典例21(2021全國甲卷)若向量a，b滿足|a|3，|ab|5，ab1，則|b|_.3eq r(2)由|ab|5得(ab)225，即a22abb225，結合|a|3，ab1，得3221|b|225，所以|b|3eq r(2).平面向量的夾角典例

21、22(1)(2019全國卷)已知非零向量a，b滿足|a|2|b|，且(ab)b，則a與b的夾角為()A.eq f(,6) B.eq f(,3) C.eq f(2,3) D.eq f(5,6)(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b與c的夾角為鈍角，則k(1)B(2)eq blc(rc)(avs4alco1(，f(9,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,2)，3)(1)法一：因為(ab)b，所以(ab)bab|b|20，又因為|a|2|b|，所以2|b|2cosa，b|b|20，即cosa，beq f(1,2)，又知a，b0，所以a，beq f(,3)

22、，故選B.法二：如圖，令eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，則eq o(BA,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()ab，因為(ab)b，所以OBA90，又|a|2|b|，所以AOBeq f(,3)，即a，beq f(,3).故選B.(2)因為2a3b與c所以(2a3b)c0，即(2k所以4k660，所以k3.若2a3b與c反向共線，則eq f(2k3,2)6，解得keq f(9,2)，此時夾角不是鈍角，綜上所述，k的取值范圍是eq blc(rc)(avs4alco1(，f(9,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,2)

23、，3).平面向量的垂直典例23(1)(2020全國卷)已知單位向量a，b的夾角為60，則在下列向量中，與b垂直的是()Aa2b B2ab Ca2b D2ab(2)已知向量eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()的夾角為120，且|eq o(AB,sup6()|3，|eq o(AC,sup6()|2.若eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，且eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()，則實數(shù)的值為_(1)D(2)eq f(7,12)(1)法一：由題意，得ab|a|b|cos 60eq f(1,2).對于A，(a2b)

24、bab2b2eq f(1,2)2eq f(5,2)0，故A不符合題意；對于B，(2ab)b2abb21120，故B不符合題意；對于C，(a2b)bab2b2eq f(1,2)2eq f(3,2)0，故C不符合題意；對于D，(2ab)b2abb2110，所以(2ab)b.故選D.法二：不妨設aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2)，b(1,0)，則a2beq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)，f(r(3),2)，2ab(2，eq r(3)，a2beq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(r(3),2)，2ab(0，eq r(3

25、)，易知，只有(2ab)b0，即(2ab)b，故選D.(2)因為eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()，所以eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()0.又eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()，所以(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()0，即(1)eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()2eq o(AC,sup

26、6()20，所以(1)|eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup6()|cos 120940.所以(1)23eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)940.解得eq f(7,12).1.求平面向量模的方法(1)若a(x，y)，利用公式|a|eq r(x2y2).(2)利用|a|eq r(a2).2求平面向量的夾角的方法(1)定義法：cos eq f(ab,|a|b|)，的取值范圍為0，(2)坐標法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則cos eq f(x1x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1)r(xoal(2,2)yoal(2,2).(3)解三角形

27、法：把兩向量的夾角放到同一三角形中跟進訓練2(1)(2021鄭州市第一次質量預測)設a，b為單位向量，且|ab|1，則|a2b|()A3 B.eq r(3) C7 D.eq r(7)(2)設平面向量a(2,1)，b(，2)，若a與b的夾角為銳角，則的取值范圍是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，2)(2，)B(，4)(4,1)C(1，)D(，1)(3)(2021全國乙卷)已知向量a(1,3)，b(3,4)，若(ab)b，則_.(1)D(2)B(3)eq f(3,5)(1)法一：因為a，b是單位向量，所以|a|1，|b|1.由|ab|1得|ab|21，即|a|22ab

28、|b|21，可得abeq f(1,2)，所以|a2b|eq r(a24ab4b2)eq r(124)eq r(7)，故選D.法二：設O是坐標原點，eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b(圖略)，因為|a|1，|b|1，|ab|1，所以OAB是等邊三角形，所以abeq f(1,2)，所以|a2b|eq r(a24ab4b2)eq r(124)eq r(7)，故選D.(2)法一：因為a與b的夾角為銳角，所以cosa，b(0,1)又a(2,1)，b(，2)，所以cosa，beq f(ab,|a|b|)eq f(22,r(5)r(24)(0,1)，整理得eq blcrc (av

29、s4alco1(220，,28160，)所以eq blcrc (avs4alco1(1，,4，)所以的取值范圍為(，4)(4,1)故選B.法二：因為a與b的夾角為銳角，所以eq blcrc (avs4alco1(ab0，,a，b不共線.)又a(2,1)，b(，2)，所以eq blcrc (avs4alco1(220，,f(,2)f(2,1)，)所以eq blcrc (avs4alco1(1，,4，)所以的取值范圍為(，4)(4,1)故選B.(3)法一：ab(13，34)，(ab)b，(ab)b0，即(13，34)(3,4)0，3912160，解得eq f(3,5).法二：由(ab)b可知，(a

30、b)b0，即abb20，從而eq f(ab,b2)eq f(1，33，4,3242)eq f(15,25)eq f(3,5). 考點三數(shù)量積的最值(范圍)問題典例3(2017全國卷)已知ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()的最小值是()A2 Beq f(3,2) Ceq f(4,3) D1B圖法一：(極化恒等式)結合題意畫出圖形，如圖所示，設BC的中點為D，AD的中點為E，連接AD，PE，PD，則有eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()2eq o(PD,sup6()，則eq

31、 o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()2eq o(PA,sup6()eq o(PD,sup6()2(eq o(PE,sup6()eq o(EA,sup6()(eq o(PE,sup6()eq o(EA,sup6()2(eq o(PE,sup6()2eq o(EA,sup6()2)而eq o(EA,sup6()2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)2eq f(3,4)，當點P與點E重合時，eq o(PE,sup6()2有最小值0，故此時eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()取得最小

32、值，最小值為2eq o(EA,sup6()22eq f(3,4)eq f(3,2).圖法二：(坐標法)如圖，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以邊BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則A(0，eq r(3)，B(1,0)，C(1,0)，設P(x，y)，則eq o(PA,sup6()(x，eq r(3)y)，eq o(PB,sup6()(1x，y)，eq o(PC,sup6()(1x，y)，所以eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()(x，eq r(3)y)(2x，2y)2x22eq blc(rc)(avs4alco1(yf(r(3)

33、,2)2eq f(3,2)，當x0，yeq f(r(3),2)時，eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()取得最小值，最小值為eq f(3,2).故選B.設a，b是平面內的兩個向量，則有abeq f(1,4)(ab)2(ab)2；極化恒等式的幾何意義是在ABC中，若AD是BC邊上的中線，則eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()AD2BD2.具有三角幾何背景的數(shù)學問題利用極化恒等式考慮尤為簡單，讓“秒殺”向量成為另一種可能；我們從極化恒等式看到向量的數(shù)量積可轉化為中線長與半底邊長的平方差，此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾何長度(數(shù)

34、量)之間的橋梁，實現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結合跟進訓練3在半徑為1的扇形AOB中，若AOB60，C為弧AB上的動點，AB與OC交于點P，則eq o(OP,sup6()eq o(BP,sup6()的最小值是_.eq f(1,16)法一：(極化恒等式)如圖，取OB的中點D，連接PD，則eq o(OP,sup6()eq o(BP,sup6()PD2OD2PD2eq f(1,4)，即求PD的最小值圖由圖可知，當PDAB時，PDmineq f(r(3),4)，則eq o(OP,sup6()eq o(BP,sup6()的最小值是eq f(1,16).法二：(坐標法)圖以OB所在的直線為x軸，過點A且垂直于

35、OB的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則Aeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(r(3),2)，Oeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0)，Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0)，可得直線AB的方程為2xeq f(2r(3),3)y1，設Peq blc(rc)(avs4alco1(x，f(r(3),2)12x)，則eq o(OP,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)，f(r(3),2)12x)，eq o(BP,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)，f(r(3),2)

36、12x)，所以eq o(OP,sup6()eq o(BP,sup6()4x23xeq f(1,2)4eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,8)2eq f(1,16)，當xeq f(3,8)時，eq o(OP,sup6()eq o(BP,sup6()取得最小值eq f(1,16). 考點四平面向量的應用典例4(1)如圖所示，把一個物體放在傾斜角為30的斜面上，物體處于平衡狀態(tài)，且受到三個力的作用，即重力G，沿著斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的彈力F2.已知|F1|80 N，則G的大小為_，F(xiàn)2的大小為_(2)如圖，在ABC中，M為BC的中點，若AB1，AC3，eq o(AB,s

37、up6()與eq o(AC,sup6()的夾角為60，則|eq o(MA,sup6()|_.(1)160 N80eq r(3) N(2)eq f(r(13),2)(1)根據(jù)題意，F(xiàn)1F2G，如圖所示：CAO90，AOC30，AC80，OC160，OA80eq r(3)，G的大小為160 N，F(xiàn)2的大小為80eq r(3) N.(2)M為BC的中點，eq o(AM,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，|eq o(MA,sup6()|2eq f(1,4)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()2eq f(1,4)(|eq o(

38、AB,sup6()|2|eq o(AC,sup6()|22eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,4)(19213cos 60)eq f(13,4)，|eq o(MA,sup6()|eq f(r(13),2).用向量方法解決平面幾何(物理)問題的步驟跟進訓練4在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包假設行李包所受重力為G，作用在行李包上的兩個拉力分別為F1，F(xiàn)2，且|F1|F2|，F(xiàn)1與F2的夾角為.給出以下結論：越大越費力，越小越省力；的范圍為0，；當eq f(,2)時，|F1|G|；當eq f(2,3)時，|F1|G|.其中正確結論的序號是

39、_對于，由G(F1F2)為定值，所以|G|2|F1|2|F2|22|F1|F2|cos 2|F1|2(1cos )，解得|F1|2eq f(|G|2,21cos ).由題意知(0，)時，ycos 單調遞減，所以|F1|2單調遞增，即越大越費力，越小越省力，正確；對于，由題意知，的取值范圍是(0，)，故錯誤；對于，當eq f(,2)時，|F1|2eq f(|G|2,2)，所以|F1|eq f(r(2),2)|G|，故錯誤；對于，當eq f(2,3)時，|F1|2|G|2，所以|F1|G|，故正確故正確的結論為.4.突出考查平面向量數(shù)量積核心概念的內涵與外延數(shù)學概念是數(shù)學的本質，是推導公式和定理的

40、主要依據(jù)，也是解題的一把鑰匙，高考試題所考查的核心概念均源于教材，且高考注重對核心概念及教材知識的考查，如2020年新高考卷第7題考查數(shù)量積的概念的應用，2021年新高考卷第8題考查事件相互獨立性的概念理解所以在一輪復習時，教師一定要重視對教材核心概念的復習，引導學生認真研讀教材，注意細節(jié)，真正認清概念的內涵與外延典例5(2020新高考卷)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()的取值范圍是()A(2,6)B(6,2)C(2,4)D(4,6)A法一(坐標法)：如圖，取A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則A(0,

41、0)，B(2,0)，C(3，eq r(3)，F(xiàn)(1，eq r(3)設P(x，y)，則eq o(AP,sup6()(x，y)，eq o(AB,sup6()(2,0)，且1x3.所以eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()(x，y)(2,0)2x(2,6)故選A.法二(投影法)：eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()|eq o(AP,sup6()|eq o(AB,sup6()|cosPAB2|eq o(AP,sup6()|cosPAB，又|eq o(AP,sup6()|cosPAB表示eq o(AP,sup6()在eq o(AB,sup6()方向上的投影，結合幾何

42、圖形(圖略)，當點P與F重合時投影最小，當P與點C重合時，投影最大，又eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()2eq r(3)2cos 306，eq o(AF,sup6()eq o(AB,sup6()22cos 1202，故當點P在正六邊形ABCDEF內時，2eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()6.平面向量中的范圍、最值問題的兩種解題思路一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義，先將問題轉化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行判斷；二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標運算，先把問題轉化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程的有解

43、等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關知識來解決跟進訓練5在ABC中，AB6，O為ABC的外心，則eq o(AO,sup6()eq o(AB,sup6()等于()A.eq r(6) B6 C12 D18D如圖，過點O作ODAB于D，可知ADeq f(1,2)AB3，則eq o(AO,sup6()eq o(AB,sup6()(eq o(AD,sup6()eq o(DO,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(DO,sup6()eq o(AB,sup6()36018.1.平面向量與三角形的“四心”向量具有數(shù)形二重性，借助幾何直觀研

44、究向量，優(yōu)化解題過程，進而提高解題效率設O為ABC所在平面上一點，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則(1)O為ABC的外心|eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|eq o(OC,sup6()|eq f(a,2sin A).(2)O為ABC的重心eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()0.(3)O為ABC的垂心eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6().(4)O為ABC的內心aeq o(OA,sup

45、6()beq o(OB,sup6()ceq o(OC,sup6()0.平面向量與三角形的“重心”問題 eq avs4al(典例6)已知A，B，C是平面上不共線的三點，O為坐標原點，動點P滿足 eq o(OP,sup6() eq f(1,3)(1) eq o(OA,sup6()(1) eq o(OB,sup6()(12) eq o(OC,sup6()，R，則點P的軌跡一定經(jīng)過()AABC的內心BABC的垂心CABC的重心 DAB邊的中點C取AB的中點D，則2 eq o(OD,sup6() eq o(OA,sup6() eq o(OB,sup6()， eq o(OP,sup6() eq f(1,3

46、)(1) eq o(OA,sup6()(1) eq o(OB,sup6()(12) eq o(OC,sup6()， eq o(OP,sup6() eq f(1,3)2(1) eq o(OD,sup6()(12) eq o(OC,sup6() eq f(2（1）,3) eq o(OD,sup6() eq f(12,3) eq o(OC,sup6()，而 eq f(2（1）,3) eq f(12,3)1，P，C，D三點共線，點P的軌跡一定經(jīng)過ABC的重心平面向量與三角形的“內心”問題 eq avs4al(典例7)在ABC中，AB5，AC6，cos A eq f(1,5)，O是ABC的內心，若 eq

47、 o(OP,sup6()x eq o(OB,sup6()y eq o(OC,sup6()，其中x，y0，1，則動點P的軌跡所覆蓋圖形的面積為()A eq f(10r(6),3)B eq f(14r(6),3)C4 eq r(3)D6 eq r(2)B根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，動點P的軌跡是以OB，OC為鄰邊的平行四邊形及其內部，其面積為BOC的面積的2倍在ABC中，設內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，由余弦定理a2b2c22bc cos A，得a7.設ABC的內切圓的半徑為r，則 eq f(1,2)bc sin A eq f(1,2)(abc)r，解得r eq f(2r(6),3