2010考研數(shù)一真題及解析

1、 HYPERLINK / HYPERLINK / 全國免費咨詢電話：400029全國免費咨詢電話：400029地址：陜西省西安市長安北路會展國際 19 層 1901 室（省體育場對面 PAGE 12010 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考數(shù)學(xué)一試一、選擇題(18小題,每小題 432個選項中,只有一個選項符合xx極限x (x a)(xb) (A)(B) eeab eba 設(shè)函數(shù) z z(xy) F yz 0 F F0 x xxx yy (A) x(B) zx z n dx的收斂性僅與m 的取值有關(guān)(B)僅與n 的取值有關(guān)(C)與m,n取值都有關(guān)(D)與m,n取值都無關(guān)lim nnn j1 ni j 0

2、dx0 1x1y2dy0 dx0 1x1 ydy0 dx0 1x1 ydy(D) 0 dx0 1x1 y2 dy設(shè)A為mn矩陣,B為nm矩陣,E為m階單位矩陣,若ABE,則秩rAm,秩rBm(B) 秩rAm ,秩rBn(C) 秩rAn,秩rBm(D) 秩rAn,秩rBn設(shè)A為4階實對稱矩陣,且A2 A O ,若A的秩為3,則A相似于 HYPERLINK / HYPERLINK / 全國免費咨詢電話：400029全國免費咨詢電話：400029地址：陜西省西安市長安北路會展國際 19 層 1901 室（省體育場對面 PAGE 2xX F(x) 2ex,1(A)2x1 e121 e1f1(x) 為標(biāo)

3、準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度,af1(x),x f2 (x) 為13 上均勻分布的概率密f (x) bf2(x),x ,(a0,b0)為概率密度,則a,b應(yīng)滿足(A) 2a3b4(B) 3a2b4abab 2二、填空題(9 14 4 24 x設(shè)y tln1u2du, t2xxdx Ly 1 x1,1,起點是1.0,終點是10 分xydxx2dy 設(shè)x,y,zx2 y2 z 1,則的形心的豎坐標(biāo)z 設(shè)1210T ,1,102T ,2,1,1aT ,若由,生成的向量空間的維數(shù)是2,則a X PXk C kk0,12, EX 2三、解答題(1523 小題,共 94 分.請將解答寫在 HYPERLINK /

4、HYPERLINK / 全國免費咨詢電話：400029全國免費咨詢電話：400029地址：陜西省西安市長安北路會展國際 19 層 1901 室（省體育場對面 PAGE 6(1510y3y2y 2xex 的通解 (16101f x x2 x2 tet2dt 1(1710 (1810dt n 12,求極限limun求冪級數(shù)2nx2n (1910PSx2 y2 z2 yz 1S P xOy x 3y 4 y2z2 4P 的軌4 y2z2 4dS ,其中是橢S 于曲線C上方的部分. (2011aA0 1 ，b1Ax b 1 IaIIAxb的通解. (2111 分)已知二次f (x x x ) xTAx

5、 在正交變x Qy 下的標(biāo)準(zhǔn)y2 y2Q三列為( 2,2)TIAIIAE為正定矩陣E3 (2211設(shè)二維隨機(jī)變量X ,Y ) f(x,y) Ae2x22xyy2 ,x,yAfY|X y|x(2311X123X123P2其中參數(shù)0,1Ni X 的簡單隨機(jī)樣本n )中等于i 33i123a1a2a3,使TaiNi為的無偏估計量,并求T的方差一、選擇2010年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試【解析】本題屬于未定式求極限,極限為1 型,故可以用“ e 的抬起法”求limxlimxlim x xaxb22xaxb 22xaxb lim x ln xaxb lim xln 1x2 (xa)(xb) (xa)(x

6、b) xx2 (xa)(xa)(xb)(ab)x2 lim (xa)(xb) a 故原式極限為eab ,所以應(yīng)該選擇Fy F z F F1 x2 2 x2 F2 【解 x 2 FFzFxFFF 1 F FF 2xyFF 2 1 z FFF【解x0 x1 n m lnm ln2 1xn m ln2 1xn dxdxdx 用比較判別法的極限形式,對于 2 dx,由于ln2(1x)1xn1n 1xn 顯然,當(dāng)0 1 2 112 0ln2(11 存在,此時21dx 實際上不是反常積分n xn斂n 12 12n 故不論m,n 是什么正整數(shù),2 dx總收斂.對于dx,取n 0 1mn 1ln2(1xn1l

7、imln2(1x)m(1x)0 12n dx 收斂,故選jjj【解析】nin2 j2ni(n2 j2) n2 j2jjjnnlimlim1nn ,2,n j1 n n j1 j 1(11 nlim nlim1 nn i1 nnn n i1 (111 11lim2 lim( 2 n i1 j1 ni j n j1 n i1 n(lim 2 ) (limn j1 n n i1 n11dy 10 110 1 y0 1 x1 y2【解析】AB E r(AB) r(E) m r(AB) rArAB r(Bmr(A),mAmnB nmr(A) m,r(B) r(A) mr(B) m 【解析】設(shè)A的特征值A(chǔ)

8、2 A O ,所以2 0,即(1) 0 A的 1 或 0. 由 于 A A 是連續(xù)函數(shù).觀察本題中F(x)的形式,得到隨機(jī)變量X 既不是離散型隨機(jī)變量,也不是連續(xù)型隨機(jī)變量,所以求隨機(jī)變量在一點處的概率,只能利用分布函數(shù)的定義.根據(jù)分布函數(shù)的 HYPERLINK / HYPERLINK / 全國免費咨詢電話：400029全國免費咨詢電話：400029地址：陜西省西安市長安北路會展國際 19 層 1901 室（省體育場對面 PAGE 7PX 1PX1PX1F1F101 2 2e1 本題【解析】根據(jù)題意知, xe ( x),1, 1 x , 利用概率密度的性質(zhì): f xdx 1f xdx 0 af

9、 xdxbf xdx a f xdx31dx a 3b2 0 2a3b4,故本題應(yīng)選(A).【答案】【解析】ln1t22ln 12d2dln1t2et d2y d2y et 0 x【答案x t【解析】txt2dx2tdt 原式 tcost2tdt 2t2costdt 2 t dsin 2t2sint 0 2tsintdt04tcostcos0 【解 xydxx2dy xydxx2dy xydx 0 x1 xdx x2dx1 x1xdx x2 0 2x2 xdx1x2x2x2 2x3 3 2 2 3 211223 HYPERLINK / HYPERLINK / 全國免費咨詢電話：400029全國

10、免費咨詢電話：400029地址：陜西省西安市長安北路會展國際 19 層 1901 室（省體育場對面2【答案】 3z 1d rdr1 2 2 r 【解1r2122122 r61 021 2 1 0 2 .a6 ) 22 2 13 1 13 a6 aa 0 a62 1 PX k k!Ce ,整理得到C ,kkPXke kkX 服從參數(shù)為1EX 1DX 1 三、解答【解析】對應(yīng)齊次方程的特征方程為2 320,解得特征根1, 2應(yīng)齊次方程的通解為yc Ce C y* x(axb)ex y* ax2 2axbxbexy*ax24axbx2a2bex,a 1b 2y* x(x2)ex y y* CexC

11、e2x x(x2)ex xxf(x) (x2t)et2dt x22xet2 dt xtet2 dt 所 以, 令f(x) 2x x2 et2dt2x3ex4 2x3ex4 2x x2 et2所 以, 令f(x) , 則x0,x114x 又f (x) 2 14x 2 x4 f 000112f(0) 0(0t)et2dt 1 1(10112又因為x1f(x00 x1f(x0 1 x0 時, f(x) 0 ； x 1時, f (x) 0 ,所以 f (x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為(1(0,1) , f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為(10) (1) .I)當(dāng)0 x1時0ln(1xx,故ln(1t)n tnlnt

12、ln(1t)n lnt tn1 lntln(1t)ndt1 lnttndt n1,2,1lnt tndt 1lnttndt 1lntdtn1 n 1,n,0un 1lnttndt 0n1根據(jù)夾逼定理得0limun 2 0,所以limun 01( n nx2 ( nlim 2(n1) limlim lim 2n1 x2 x2 2n2nn 2n 2n1 (1)n1x2n2nx21,即 2n1 (1)n1x2n2nx1數(shù)的收斂域為1,1x2nx2n,由萊布尼茲判別法知,此級數(shù)收斂,故原(IIS(x) 2n x 2nx2n1 S1(x) 2n1 1 x1,1S (x) (1)n1x2n2 (x2 x1

13、,1S (x) x1,11(x2)1 S1(x)0 1x2 dxS1(0)arctanx,x1,1S1(xx 1,1S(x) 在收斂域1,1S(x) xarctanx ,x1,1【解析】 IFx, yz x2 y2 z2 yz1Pxyz量 為 2x2yz2z yx2 y2 z2 yz xOy C 2z y HYPERLINK / HYPERLINK / 全國免費咨詢電話：400029全國免費咨詢電話：400029地址：陜西省西安市長安北路會展國際 19 層 1901 室（省體育場對面x2 y2 z2 yz II2z y z ,可得曲線C xOy xOy :(xy|x2 3y2 1,由x2y2

14、z2 yzx 1x 44y2 z2 4yz y 2z11x yzz故 x 3y dxdy I dSx3dxdyxdxdy4 y2z4 y2z2 4D23【解析】因為方程組有兩個不同的解,所以可以判斷方程組增廣矩陣的秩小于 3,進(jìn)而可231IAx b2r(A) rA) 3 a 11A11aa 0 11a1a1 1 當(dāng)1A0 0 0 0 1 1 10 0 0 01r(A) r(A)Ax b 001 當(dāng)1時,A0 1 ,由于r(A)r(A)3,所以a2,故1 ,aa2Axb2的解,r(A) rA3A 0A 知1或- HYPERLINK / HYPERLINK / 全國免費咨詢電話：400029全國免

15、費咨詢電話：400029地址：陜西省西安市長安北路會展國際 19 層 1901 室（省體育場對面當(dāng)1r(A) 1 rA2Ax b無解,因此1r(A) rA) ,得a2II1 2 1 3 212A 1 2 10 1 30 0 0 3 2 x1x3 1 可知原方程組等價為x x 0223 2x2 x31 3 2 1因此Axb的通解為xk0 ,其中k為任意常數(shù)12 0 IxQyy2 y2A T2T2T由于Q3TA對應(yīng)于3 0的特征向量為記為3 . 由于 A 是實對稱矩陣,所以對應(yīng)于不同特征值的特征向量是相互正交的,設(shè)屬1的特征向量為x x T ,則T0,即 2 x 2 x 0. 求得該程組的基礎(chǔ)解系

16、為 0,10T , 10,1T ,因此, 為屬于特征值1 12 1 0,1,0T , 12 HYPERLINK / HYPERLINK / 全國免費咨詢電話：400029全國免費咨詢電話：400029地址：陜西省西安市長安北路會展國際 19 層 1901 室（省體育場對面12 2 122 0 ,則Q AQ ,且Q 222 2 1 2故 A 0 1 2 IIA E 也是實對稱矩陣A1,1,0AE 2,2,1A E A E 【解析】當(dāng)給出二維正態(tài)隨機(jī)變量的的概率密度f x, y后, 要求條件概率密度y|x,可以根據(jù)條件概率公式 (y|x) f(xy) 來進(jìn)行計算.本題中還有待定YYfX數(shù), A f xfx,ydye2x22xyy2dy e(yx)2 x2 dy Ae e(yx)2 ex2 ,x1 fxdxex2dx AA1fx1 ex2 , x當(dāng) xyx f 1 ex2