樹枝上的小鳥-趣說剛體平衡

1、樹枝上的小鳥一一趣說剛體平衡摘要 為了提高理論力學(xué)課堂的趣味性，本文以樹枝上小鳥作為剛體平衡的例子，應(yīng)用力的平行四 邊形法則、力的可傳性、三力平衡匯交定理等基本原理分析了樹枝上小鳥的雙腿受力，以及啄木鳥尾巴 在保持身體平衡中的作用，并討論了小鳥不同姿態(tài)對其受力的影響，期望達(dá)到提高學(xué)習(xí)興趣、寓教于樂、 改善教學(xué)效果的目的。關(guān)鍵詞 剛體平衡，靜力學(xué)，理論力學(xué)RIGID EQUILIBRIUM AS EXEMPLIFIED BY BIRDS STANDING ON ABRANCH1)Abstract To enhance the students interest for studying Theo

2、retical Mechanics, two teaching cases of static equilibrium are designed in this paper, as the static analysis for birds standing on a branch. Some knowledge points, such as the parallelogram of force, the transmissibility of force, the three-force balance intersecting principle and the conditions o

3、f rigid body equilibrium, are used to analyze the forces on the bird legs on a branch; and the function of the woodpecker tail when it pecked the worm. It is a very enjoyable and educational experience for the students, and can raise students interest in learning and improve teaching results.Key wor

4、ds rigid equilibrium， statics， theoretical mechanics力學(xué)是土木、機(jī)械、環(huán)境、水利等絕大多數(shù)工科 專業(yè)的基礎(chǔ)課程，理論力學(xué)作為大學(xué)生學(xué)習(xí)的第一 門力學(xué)類課程，其學(xué)習(xí)效果會直接影響到學(xué)生對后 續(xù)力學(xué)課程的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)信心。然而，在實(shí)際 教學(xué)過程中學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高、以及高不及格率已 經(jīng)成為困擾力學(xué)教師的突出問題。例如，文獻(xiàn)1-3 指出理論力學(xué)課程的不及格率在20%30%之間, 有的超過30%甚至更高，并將造成高不及格率的主 要原因歸咎于課程概念多、公式多、推導(dǎo)多、邏輯 性強(qiáng)，致使學(xué)生在純理論的學(xué)習(xí)中，感到枯燥而逐漸失去學(xué)習(xí)興趣。文獻(xiàn)4認(rèn)為理論力學(xué)

5、課程體系較 為成熟，教師容易固化教學(xué)模式而忽視學(xué)生的思維 發(fā)展和時代變化，且大多數(shù)教材注重抽象概念的講 解而缺乏工程背景的介紹，使得學(xué)生很難把課程與 工程實(shí)際結(jié)合起來。本文針對于理論力學(xué)靜力學(xué)部 分提供兩個生活中的例子，其一為樹枝上小鳥站立 時的雙腿受力分析，其二為啄木鳥尾巴在保持身體 平衡中的作用分析。這兩例涉及力的平行四邊形法 則、力的可傳性、三力平衡匯交定理、剛體平衡等 靜力學(xué)知識點(diǎn)。貼近生活的例子可以增強(qiáng)學(xué)生對所 學(xué)知識的體驗(yàn)，有望能夠達(dá)到提高學(xué)習(xí)興趣、寓教 于樂、改善教學(xué)效果的目的。1教學(xué)案例剛體平衡本是理論力學(xué)中相對容易和簡單的知 識體系，在中學(xué)和大學(xué)物理中有一定的學(xué)習(xí)，正因 如此

6、多數(shù)學(xué)生容易產(chǎn)生輕視心理，致使學(xué)習(xí)效果較 差同。變革教學(xué)內(nèi)容，使用新的教學(xué)案例可使學(xué)生 耳目一新，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。這里，我們提供 兩個生活中的教學(xué)案例，先以探究方式讓學(xué)生參與 思考，然后老師進(jìn)行點(diǎn)評、補(bǔ)充和完善，通過讓學(xué) 生自我檢驗(yàn)與以往知識點(diǎn)在內(nèi)容、思考方式上的不 同，完成對理論力學(xué)靜力學(xué)知識點(diǎn)的掌握。這種“研 究型教學(xué)模式”囹可在一定程度上起到提高學(xué)習(xí)興 趣、培養(yǎng)工程意識、創(chuàng)新思維的作用，提高理論力 學(xué)的教學(xué)效果。問題1 試分析圖1(a)中小鳥站立在樹枝上 時，為維持平衡小鳥兩爪的作用力有多大？分析與求解首先考慮小鳥身體的簡化，在某 一時刻，小鳥靜止，可將其視為剛體。然后考慮小 鳥的受

7、力，包括重力，兩只爪的作用力。顯然，上 爪承受拉力和下爪承受支撐力。在此三力中，重力 方位線豎直向下，下爪支撐力沿腿作用，但是小鳥 位于上側(cè)的腿一方面是彎著的，另一方面緊貼身體, 不好判斷其受力方向，此時需要根據(jù)“三力平衡必 匯交”定理來判斷上爪拉力的作用線，三力作用線 如圖1(b)所示。用一個橢圓形代表鳥的身體，保持 圖中各力方位，分離出受力示意圖，如圖1(c)所示。為了確定三力之間的關(guān)系，再利用“力的可傳 性”，即力沿著作用線移動不改變力對剛體的作用 效果，將三力平移至匯交點(diǎn)，依據(jù)“二力平衡條件” 可知重力應(yīng)與兩爪作用力的合力相等，求兩爪作用 力的合力則會用到“力的平行四邊形法則”，其關(guān)系

8、 如圖1(d)所示。假設(shè)拉力作用線與水平線的夾角為 01(也可等效為支撐力與豎直線的夾角)，支撐力作 用線與水平線之間的夾角為02 (也可等效為上腿拉 力與豎直線的夾角)，依據(jù)圖1(d)的幾何關(guān)系，利用 正弦定理寫出如下表達(dá)式G _ F _sin(0i + 02)sin (n/2 0。 TOC o 1-5 h z F(1)sin (冗/2 02)由于這里只有F1和F2是未知量，當(dāng)小鳥的體重已 知時，很容易求得F _ G cos 02_ sin(0i + 02) IG cos 01；( )sin (01 + 02)討論 依據(jù)式(2)可知，小鳥兩只爪子的受力主 要取決與01和02、以及兩角之和的大

9、小。當(dāng)01 + 02 為90。時，sin(01 + 02) = 1，取得最大值，此時小 鳥兩爪的受力可取得最小值。從圖1(b)的照片看, 01 + 02近似為90?？梢?，小鳥的站立姿態(tài)做了最省 力的“優(yōu)化處理”。假設(shè)當(dāng)小鳥重心從遠(yuǎn)至近貼近樹 枝時，保持01 + 02 = 90。，并以01為自變量來考察 小鳥站姿對兩腿受力的影響，則式(2)簡化為式(3)F1 = G sin 01(3)F2 = G cos 01(3)FF合G(d)圖1平面剛體平衡的例子G(d)由此可見，當(dāng)小鳥重心從遠(yuǎn)至近貼近樹枝時，01將由大變小，其變化范圍在90。0。之間，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)01 = 45。時，兩腿受力

10、相 等；當(dāng)0。 01 45。時，有Fi F,即拉力小于 支撐力；當(dāng)45。01 F2,即拉力 大于支撐力。問題2試分析啄木鳥尾巴的作用。分析與求解用與問題1相似的方法，將啄木 鳥簡化為剛體，這里用橄欖球狀來替代啄木鳥的 身體，如圖2(b)所示。從圖2(a)中觀察，啄木鳥兩 爪的作用力相交位于同一平面內(nèi)，可先將兩爪的作 用力利用“力的平行四邊形法則”合成為一個力F爪, 如圖2(c)所示。利用“力的可傳性”，將其匯交于一 點(diǎn)求出合力大小，如圖2(d)所示。在此基礎(chǔ)上，重 力、兩爪合力、尾巴受力如圖2(e)所示，再利用“力 的可傳性”簡化為圖2(f)，啄木鳥要保持身體平衡, 則各力之間應(yīng)滿足如下關(guān)系G

11、-堂直 (4)sin n (-堂直 (4)sin n (a1 + a2)sin a1sin a2于是，可得G sin 以抓 sin (如+頃)(5)圖2空間剛體平衡的例子討論依據(jù)式(5)，可以得到與問題1類似的結(jié) 果，啄木鳥尾巴受力相當(dāng)于問題1中小鳥下方爪提 供的支撐力，且叫+頃= 90。時，啄木鳥最為省 力，從圖2(b)和圖2(f)中也可以看出ai +頃近似 為90。假設(shè)ai +頃= 90。，選擇頃(尾巴上的作 用力與豎直線的夾角)作為自變量，式(5)可寫為(5)圖2空間剛體平衡的例子F尾=G cos a2 I尾2 ；F抓=G sinI啄木鳥在啄食蟲子的過程中，需要先將身體后 仰，2達(dá)到最大

12、設(shè)為max(依據(jù)圖2(b)估計(jì)2不超 過45。)，然后身體向前彎曲啄食蟲子，0,2的變化 范圍在amax到0。之間。盡管在這個過程中身體是 變形體，但對于每一個時刻均可視為剛體，啄木鳥 身體彎曲變形的過程，從靜力學(xué)本質(zhì)上看就是身 體重心依次發(fā)生了變化。由式可知，當(dāng)Omax(設(shè) Omax 45。)逐漸減小時，尾巴受力將逐漸增大，極 限情況下02 = 0時，啄木鳥身體的重量將完全由尾 巴支撐。由此可見，尾巴對于啄木鳥啄食蟲子具有 十分重要的作用。在大多數(shù)有關(guān)啄木鳥的繪畫作品中，我們會看 到啄木鳥的尾巴都是緊貼樹干的，圖3(a)所示為華 夏藝術(shù)網(wǎng)一幅關(guān)于啄木鳥的繪畫作品，體現(xiàn)了藝術(shù) 家對生活細(xì)致入微的觀察。相反，圖3(b)中右側(cè)的 啄木鳥尾巴沒有緊貼樹干，就有一種搖晃、不夠穩(wěn) 定的感覺，這大概就是力學(xué)在藝術(shù)之美中的體現(xiàn)吧。(a)圖3繪畫藝術(shù)作品中啄木鳥尾巴的對比2(a)圖3繪畫藝術(shù)作品