概率論第一章課件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講：李江平 微博：leejiangping概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講：李江平 微課件說(shuō)明：紅色字體：重要的概念名及題目（做筆記）黑色字體：一般敘述（課堂學(xué)習(xí)，課本例題不必做筆記)，附加例題（做筆記）其他顏色字體：屬于了解內(nèi)容。放映方式：重點(diǎn)內(nèi)容：“逐字顯示”；課件說(shuō)明：紅色字體：重要的概念名及題目（做筆記）課程說(shuō)明期末閉卷考試，平時(shí)課后留作業(yè)，每周五收作業(yè)。成績(jī)計(jì)算方法：期末考試占70%，平時(shí)分占30%平時(shí)分計(jì)算方法：作業(yè)上交情況，平時(shí)上課做題情況，思考題，討論題。按百分制記，每上黑板做一次題加6分，做一次思考題加10分，講解討論題加16分，一次作業(yè)沒(méi)有交扣5分，曠課扣15分,

2、累計(jì)曠課3次平時(shí)分低于40分。課程安排：講解1到7章，13周左右作一次概率論應(yīng)用專題講解，15周課堂討論我給出問(wèn)題.注：上限100分，下限0分.課程說(shuō)明期末閉卷考試，平時(shí)課后留作業(yè)，每周五收作業(yè)。教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)魏宗舒編 高等教育出版社參考書目：概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)上下冊(cè)，梁之舜等，高等教育出版社數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程陳希孺編，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)魏宗舒編 高等教育出版社發(fā)展史概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)分支。賭博者的問(wèn)題。數(shù)學(xué)家費(fèi)馬向一法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡提出下列的問(wèn)題：“現(xiàn)有兩個(gè)賭徒各有賭本1000元，相約賭若干局，誰(shuí)先贏3局就算贏了，現(xiàn)在已經(jīng)賭了3局，當(dāng)賭徒A贏2局，而賭徒

3、B贏1局時(shí)，賭博中止，那賭本應(yīng)怎樣分才合理呢？” 發(fā)展史概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)分支。使概率論成為數(shù)學(xué)一個(gè)分支的另一奠基人是瑞士數(shù)學(xué)家雅各布-伯努利1654-1705。他的主要貢獻(xiàn)是建立了概率論中的第一個(gè)極限定理，我們稱為“伯努利大數(shù)定理”到了1730年，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗和數(shù)個(gè)數(shù)學(xué)家建立了關(guān)于“正態(tài)分布”及“最小二乘法”的理論 。概率論發(fā)展史上的代表人物是法國(guó)的泊松。他推廣了伯努利形式下的大數(shù)定律 ，研究得出了一種新的分布 。使概率論成為數(shù)學(xué)一個(gè)分支的另一奠基人是瑞士數(shù)學(xué)家雅各布-伯努前沿及應(yīng)用期權(quán)的定價(jià)Black-Scholes公式解釋一些生活現(xiàn)象如彩票等.保險(xiǎn)保費(fèi)的定價(jià)證券投資：

4、巴菲特投資原則：“別人恐慌時(shí)我貪婪,別人貪婪時(shí)我恐慌! 最優(yōu)策略：囚徒困境問(wèn)題前沿及應(yīng)用期權(quán)的定價(jià)Black-Scholes公式搭便車問(wèn)題一件公共品對(duì)亞當(dāng)和夏娃都有3美元價(jià)值，提供成本是每人2美元，只有兩人之一或同時(shí)自愿支付成本時(shí)該公共品才會(huì)被提供，假設(shè)亞當(dāng)和夏娃只關(guān)心他們最終有多少利益，他們會(huì)怎樣進(jìn)行該博弈？113-1-1300鴿?jì)楕濟(jì)椬ⅲ壶澆呗约催x擇貢獻(xiàn)，鷹策略表搭便車。亞當(dāng)?shù)牡靡嬖诟鱾€(gè)單元的左下角，夏娃的得益在各個(gè)單元的右上角.搭便車問(wèn)題一件公共品對(duì)亞當(dāng)和夏娃都有3美元價(jià)值，提供成本是每囚徒的福祉 假設(shè)亞當(dāng)和夏娃是一對(duì)戀人，都非常關(guān)心對(duì)方，認(rèn)為對(duì)方口袋里1美元的價(jià)值是自己口袋里1美元的兩

5、倍 31100鴿?jì)楕濟(jì)?353在囚徒困境中博弈方應(yīng)該搭便車的同一原理，在囚徒福祉中會(huì)要求亞當(dāng)和夏娃自愿貢獻(xiàn)囚徒的福祉 假設(shè)亞當(dāng)和夏娃是一對(duì)戀人，都非常關(guān)心對(duì)方，認(rèn)?思考一輛出租汽車涉及一起夜間肇事逃逸事故.在這個(gè)城市里，有綠色和藍(lán)色兩家出租車公司營(yíng)運(yùn)。給定：(1)在這個(gè)城市里，85%的出租車是綠色，15%是藍(lán)色(2)一位目擊者認(rèn)定這輛出租車是藍(lán)色。法庭在與出事當(dāng)夜相同的環(huán)境下測(cè)試了目擊者的可信度，得出在80%的時(shí)間里，目擊者能正確識(shí)別兩種顏色中的每一種，在20%的時(shí)間里不能。 問(wèn)與該事故有牽連的出租車是藍(lán)色而不是綠色的概率是多少？?思考一輛出租汽車涉及一起夜間肇事逃逸事故.在這個(gè)城市里，有若某

6、實(shí)驗(yàn)E滿足1.有限性：樣本空間e1, e 2 , , e n ;2.等可能性：P(e1)=P(e2)=P(en). 則稱E為古典概型也叫等可能概型。(一）古典概型與概率 第一章 事件與概率 1.3 古典概型若某實(shí)驗(yàn)E滿足(一）古典概型與概率 設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為N(A) ，以N()記樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)，則有P(A)具有如下性質(zhì)：(1) 0 P(A) 1；(2) P()1； P( )=0(3) AB，則 P( A B ) P(A) P(B)古典概型中的概率: 設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為N(A) ，以N( 例1.摸球問(wèn)題（抽獎(jiǎng)問(wèn)題） 袋中有a只紅球，b只白球（除顏色外無(wú)任何差別），現(xiàn)依次將

7、球一只只摸出（不放回）， 求第k次摸到紅球的概率 例1.摸球問(wèn)題（抽獎(jiǎng)問(wèn)題） 袋中有a只紅球同類問(wèn)題 抽獎(jiǎng)券問(wèn)題：樂(lè)萬(wàn)家超市有獎(jiǎng)銷售，投放1000張獎(jiǎng)券只有5張中一等獎(jiǎng)（一等獎(jiǎng)可以兌換一瓶油），每位顧客可抽一張，求第k位顧客中一等獎(jiǎng)的概率（ ）同類問(wèn)題 抽獎(jiǎng)券問(wèn)題：樂(lè)萬(wàn)家超市有獎(jiǎng)銷售，投放1000例 2（分球問(wèn)題，又名分房問(wèn)題）將3個(gè)球隨機(jī)的放入3個(gè)盒子中去，問(wèn)：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？例 2（分球問(wèn)題，又名分房問(wèn)題）將3個(gè)球隨機(jī)的放入3個(gè)盒子中同類問(wèn)題1（分房問(wèn)題）設(shè)有n個(gè)人，每個(gè)人都等可能地被分配到N個(gè)房間中的任意一間去住（ ），求（1）指定的n個(gè)房間各有

8、一個(gè)人??；（2）恰好有n個(gè)房間，其中各住一個(gè)人。2. (生日問(wèn)題)094班有50個(gè)人，問(wèn)至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率為多少？注：對(duì)比下真實(shí)值與你的估計(jì)值同類問(wèn)題例4（女士品茶問(wèn)題）一位常飲牛奶加茶的女士聲稱：她能從一杯沖好的飲料中辨別出先放茶還是先放牛奶.并且她在10次試驗(yàn)中都能正確地辨別出來(lái)，問(wèn)該女士的說(shuō)法是否可信？解：假設(shè)該女士說(shuō)法不可信，即假設(shè)該女士純粹是猜測(cè)，記A=在10次試驗(yàn)中都能正確指出放置牛奶和茶的先后順序則人們?cè)谌粘Ｉ钪凶裱摹皩?shí)際推斷原理”：一個(gè)小概率事件在一次試驗(yàn)中是實(shí)際不會(huì)發(fā)生的。例4（女士品茶問(wèn)題）一位常飲牛奶加茶的女士聲稱：她能從一杯沖 依此原理，與實(shí)際試驗(yàn)結(jié)果

9、矛盾，故假設(shè)不成立，有理由斷言該女士的說(shuō)法是可信的。 同類問(wèn)題：一種飲料由牛奶與茶按照一定比例混合而成，可以先倒茶后牛奶（TM）或反過(guò)來(lái)（MT）.某女士聲稱她可以鑒別是TM還是MT.設(shè)計(jì)試驗(yàn)：準(zhǔn)備8杯飲料，TM和MT各半，把它們隨機(jī)地排成一列讓該女士依次品嘗，并告訴她TM和MT各有4杯，然后請(qǐng)她指出哪4杯是TM,結(jié)果她全對(duì)了，問(wèn)該女士是否有鑒別茶得能力？ 依此原理，與實(shí)際試驗(yàn)結(jié)果矛盾，故假設(shè)不成立，有理由斷例5.彩票問(wèn)題所購(gòu)彩票與開(kāi)獎(jiǎng)結(jié)果對(duì)照，符合以下情況即為中獎(jiǎng)。一等獎(jiǎng)：選中6個(gè)基本號(hào)碼和1個(gè)特別號(hào)碼；二等獎(jiǎng)：選中6個(gè)基本號(hào)碼；三等獎(jiǎng)：選中5個(gè)基本號(hào)碼和1個(gè)特別號(hào)碼；四等獎(jiǎng)：選中5個(gè)基本號(hào)碼

10、；五等獎(jiǎng)：選中4個(gè)基本號(hào)碼和1個(gè)特別號(hào)碼；六等獎(jiǎng)：選中4個(gè)基本號(hào)碼或選中3個(gè)基本號(hào)碼和1個(gè)特別號(hào)碼。問(wèn)：每注彩票的中獎(jiǎng)概率是多少？例5.彩票問(wèn)題所購(gòu)彩票與開(kāi)獎(jiǎng)結(jié)果對(duì)照，符合以下情況即為中獎(jiǎng)。思考 “雙色球”每注投注號(hào)碼由6個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼組成。紅色球號(hào)碼從133中選擇；藍(lán)色球號(hào)碼從116中選擇。單式投注是從紅色球號(hào)碼中選擇6個(gè)號(hào)碼，從藍(lán)色球號(hào)碼中選擇1個(gè)號(hào)碼，組合為一注投注號(hào)碼的投注。 問(wèn)：?jiǎn)问酵蹲⒅幸坏泉?jiǎng)和三等獎(jiǎng)的概率是多少？注：中5個(gè)基本號(hào)碼和特別號(hào)碼為三等獎(jiǎng).思考 “雙色球”每注投注號(hào)碼由6個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球1.定義 若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間中的每一事件A，均賦予

11、一實(shí)數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：(1) 非負(fù)性: P(A) 0；(2) 規(guī)范性: P()1； (3) 可列可加性：設(shè)A1，A2，, 是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 則稱P(A)為事件A的概率。1.4 概率的公理化定義及概率的性質(zhì)1.定義 若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間中的每一事件A2.概率的性質(zhì) (1) 加法公式：對(duì)任意兩事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 該公式可推廣到任意n個(gè)事件A1，A2，An的情形； (2) 互補(bǔ)性： 1 P(A); (3) 可分性：對(duì)任意兩事件

12、A、B，有 P(A) P(AB ) . 2.概率的性質(zhì)例1：設(shè)事件A,B互不相容，且則 例2：甲乙二人獨(dú)立地同時(shí)破譯密碼，甲破譯的概率為，乙破譯的概率為，則該密碼被破譯的概率為_(kāi).例1：設(shè)事件A,B互不相容，且例3（會(huì)面問(wèn)題）甲乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過(guò)時(shí)即可離去。求兩人會(huì)面的概率。 15601560Y=x+15Y=x-15例3（會(huì)面問(wèn)題）甲乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面，并約例4 （蒲豐(Buffon)投針問(wèn)題）平面上畫很多平行線，間距為a 向此平面投擲長(zhǎng)為l(l0,則 P(AB)P(A)P(B|A). 稱為事件A、B的概率乘法公式。 乘法

13、公式還可推廣到三個(gè)事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1). 二、乘法公式設(shè)A、B，P（A）0,則 乘法公范進(jìn)中舉的故事： 假設(shè)每次鄉(xiāng)試，范進(jìn)考中的概率為0.3，則他連考十次都不中的概率為： 學(xué)習(xí)要持之以恒,學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)更要持之以恒的獨(dú)立思考練習(xí)題目！堅(jiān)持最終會(huì)達(dá)到你的目標(biāo)！0.0282思考：現(xiàn)在研究生錄取比例為 ，4次都考不中的概率是多少？ 0.2范進(jìn)中舉的故事： 學(xué)習(xí)要持之以恒,學(xué)習(xí)概率統(tǒng)三、全概率公式與貝葉斯公式例2 有外形相同的球分裝三個(gè)盒子，每盒10個(gè).其中第一個(gè)盒子中7

14、個(gè)球標(biāo)有字母A,3個(gè)球標(biāo)有字母B；第二個(gè)盒子中有紅球和白球各5個(gè)；第三個(gè)盒子中則有紅球8個(gè)，白球2個(gè).試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一個(gè)盒子中任取一球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個(gè)盒子中任取一個(gè)球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個(gè)盒子中任取一個(gè)球.如果第二次取出的是紅球，則稱試驗(yàn)成功.求試驗(yàn)成功的概率.三、全概率公式與貝葉斯公式例2 有外形相同的球分裝三個(gè)盒子， 定義 事件組A1，A2，An (n可為)，稱為樣本空間S的一個(gè)劃分，若滿足：A1A2AnB 定義 事件組A1，A2，An (n可為)，定理1 設(shè)A1，, An是的一個(gè)劃分，且P(Ai)0，(i1，n)，則對(duì)任何事件B有 稱為全概

15、率公式。定理1 設(shè)A1，, An是的一個(gè)劃分，且P(Ai)0例 3 有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，1個(gè)紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白球這六個(gè)球手感上不可區(qū)別今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再?gòu)囊掖腥稳∫磺颍?1) 問(wèn)此球是紅球的概率？(2) 若從乙袋中取到一個(gè)紅球,則從甲袋放入乙袋的是 白球的概率是多少?甲乙甲乙乙例 3甲乙甲乙乙定理2 設(shè)A1，, An是S的一個(gè)劃分，且P(Ai) 0，(i1，n)，則對(duì)任何事件BS，有 稱為貝葉斯公式。定理2 設(shè)A1，, An是S的一個(gè)劃分，且P(Ai) 例4.(1)在這個(gè)城市里，85%的出租車是綠色，15%是藍(lán)色(2)一位目擊者認(rèn)定這輛出租車是藍(lán)色

16、。法庭在與出事當(dāng)夜相同的環(huán)境下測(cè)試了目擊者的可信度，得出在80%的時(shí)間里，目擊者能正確識(shí)別兩種顏色中的每一種，在20%的時(shí)間里不能。 問(wèn)與該事故有牽連的出租車是藍(lán)色而不是綠色的概率是多少？解：記A=出租車是肇事者，B=出租車是藍(lán)色，C=出租車是綠色例4.(1)在這個(gè)城市里，85%的出租車是綠色，15%是藍(lán)色 例5：設(shè)某一工廠有A、B、C三個(gè)車間，他們生產(chǎn)同一種螺釘，每個(gè)車間的產(chǎn)量分別占該廠生產(chǎn)螺釘總產(chǎn)量的25,35 ,40 ,每個(gè)車間的次品率分為5 ，4 ，2 。求（1）從全廠總產(chǎn)品中抽取一件產(chǎn)品，得到次品的概率；（2）如果從全廠總產(chǎn)品中抽取一件產(chǎn)品，得到次品，那么它是車間A生產(chǎn)的概率。 例5

17、：設(shè)某一工廠有A、B、C三個(gè)車間，他們生產(chǎn)同一種螺思考題1 已知某種疾病的發(fā)病率為0.1%, 該種疾病患者一個(gè)月內(nèi)的死亡率為90%；且知未患該種疾病的人一個(gè)月以內(nèi)的死亡率為0.1%；現(xiàn)從人群中任意抽取一人，問(wèn)此人在一個(gè)月內(nèi)死亡的概率是多少？若已知此人在一個(gè)月內(nèi)死亡，則此人是因該種疾病致死的概率為多少？思考題1 已知某種疾病的發(fā)病率為0.1%, 該種疾解:設(shè) A: “某人在一個(gè)月內(nèi)死亡”; B: “某人患有該種疾病”,則解:設(shè) A: “某人在一個(gè)月內(nèi)死亡”;思考題2： 一種疾病的流行率是千分之一。如果無(wú)該病被診斷出陽(yáng)性概率為0.002，患者有該病檢查出陽(yáng)性概率為0.95，那么一個(gè)被發(fā)現(xiàn)呈陽(yáng)性結(jié)果

18、的人確實(shí)患這種疾病的可能性有多大？假設(shè)你對(duì)此人的癥狀或征兆一無(wú)所知。0.3思考題2： 一種疾病的流行率是千分之一。如果無(wú)該病被診斷1.6 獨(dú)立性一、兩事件獨(dú)立定義1 設(shè)A、B是兩事件，P(A) 0,若 P(B)P(B|A) 則稱事件A與B相互獨(dú)立。等價(jià)于： P(AB)P(A)P(B)1.6 獨(dú)立性一、兩事件獨(dú)立定義1 設(shè)A、B是兩事件，P引例分別擲兩枚均勻的硬幣，令A(yù)=硬幣甲出現(xiàn)正面 B=硬幣甲出現(xiàn)正面，問(wèn)A、B是否獨(dú)立？定理 以下四件事等價(jià)：(1)事件A、B相互獨(dú)立；(2)事件A、B相互獨(dú)立；(3)事件A、B相互獨(dú)立；(4)事件A、B相互獨(dú)立。引例分別擲兩枚均勻的硬幣，令A(yù)=硬幣甲出現(xiàn)正面

19、B=二、多個(gè)事件的獨(dú)立定義2 若三個(gè)事件A、B、C滿足：(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),則稱事件A、B、C兩兩相互獨(dú)立；若在此基礎(chǔ)上還滿足：P(ABC)P(A)P(B)P(C), 則稱事件A、B、C相互獨(dú)立。二、多個(gè)事件的獨(dú)立定義2 若三個(gè)事件A、B、C滿足：若在此例1.設(shè)樣本空間 含有等可能的四個(gè)基本事件，若 問(wèn)A，B，C是否獨(dú)立？怎樣修改，事件A,B,C才相互獨(dú)立？例1.設(shè)樣本空間 一般地，設(shè)A1，A2，An是n個(gè)事件，如果對(duì)任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) 則稱n個(gè)事件A1，A2，An相互獨(dú)立。思考：1.設(shè)事件A、B、C、D相互獨(dú)立，則2.一顆骰子擲4次至少得一個(gè)六點(diǎn)與兩顆骰子擲24次至少得一個(gè)雙六，這