高等代數(shù)歐幾里得空間習題專業(yè)知識講座

1、1 定義與基本性質定義 設V是實數(shù)域R上的線性空間,在V上定義了一個二元實函數(shù), 即對于V中任意兩個向量, , 都有惟一確定的實數(shù)與之對應, 該實數(shù)記作(, ), 它滿足如下性質: (1)(, )=(, ); (2)(+, )= (, ) + (, ); (3) (k, )= k(, ); (4) (, )0, (, )=0當且僅當=0.例1 在線性空間Rn中，對于向量 =(a1, a2, , an)， = (b1, b2, , bn)定義 (, ) = a1b1+a2b2+anbn則 Rn是一個歐幾里得空間, 仍用Rn來表示 其中, , 都是V中向量, k為任意實數(shù).則稱(, )為向量與的內

2、積 定義了內積的實線性空間稱為歐幾里得空間 內積的性質 (1) (, k)=(k, )= k( ,)= k(, ); (2) (, + )= ( + ,)= ( , ) + ( ,); = (, ) + ( ,); (3) (, 0)=0.二. 長度與夾角由于(, )0, 在歐氏空間可引進向量的長度的概念定義 在歐氏空間中,非負實數(shù) 稱為向量的長度, 記作 由于(, )0,所以向量的長度一般是非負數(shù), 有且僅有零向量的長度才是零 長度為的向量稱為單位向量. 如果 0, 則 是一個單位向量.通常稱此過程為把 單位化定理(Cauchy-Schwarz不等式)設V是歐氏空間，則關于任意, V，有 (

3、, ) ,且等號成立當且僅當與 線性相關。定義 在歐氏空間V中, 任意兩個非零向量, 之間的夾角定義為注(1) 顯然有0 (2)由C-S不等式,上述定義有意義.定義 設V是歐氏空間, 對, V, 如果 (, ) = 0則稱與 正交, 記作. 零向量0與任何向量正交.定理 在歐氏空間中，下述式子成立： (1) 三角形不等式: + + ; (2) 勾股定理: 當 時, +2=2+2.定理 在歐氏空間中勾股定理成立：設1,2,s兩兩正交，則 1+2+s 2 = 12+ 22 + + s 2三. 度量矩陣定義 設1,2,n是n維歐氏空間V的一組基, 作矩陣 稱A為基1, 2, , n的度量矩陣度量矩陣

4、性質 （1）度量矩陣是對稱矩陣（2）設A為基1，n的度量矩陣。若=x11+xnn, =y11+ynn,則 (, )=XTAY, 其中X,Y為,的坐標列向量。（3）度量矩陣是正定矩陣.因為 關于X0, (,)= XTAX0.（4）不同基的度量矩陣是合同的。（5）每一個n階正定矩陣都可作為Rn中某個基的度量矩陣（見習題1）。 2 標準正交基的定義與求法一. 正交向量組定義 設1,2,s是一組非零實向量,如果它們兩兩正交,則稱為正交向量組; 如果其中每個向量的長度都是1,則稱為正交單位向量組(或標準正交向量組).事實 向量組1, 2, , s是一個標準正交向量組, 當且僅當定理 正交向量組是線性無關

5、的推論 n維歐氏空間V中, 兩兩正交的非零向量的個數(shù)不會超過n二. 正交基定義 在n維歐氏空間中, 由n個兩兩正交的非零向量構成的向量組稱為正交基. 由單位向量組成的正交基稱為標準正交基. 一組基是標準正交基當且僅當它的度量矩陣是單位矩陣.定理 設1, 2, n是n維歐氏空間V的一組標準正交基, 對, V,設向量 ,的坐標分別是X=(x1,x2,xn)T, Y=(y1,y2,yn)T則 (1) xi = (, i ) i=1,2,n (2) (, )=XTY=x1y1+x2y2+xnyn.。三. 求標準正交基的辦法： Schmidt正交化方法 定理 n維歐氏空間中任一個正交向量組都能擴充成一組

6、正交基. 定理 設1, 2, , m是歐氏空間V中一組線性無關的向量,則一定存在一個正交單位向量組1, 2, , m, 使得 1, 2, , i與 1, 2, , i 等價( i = 1, 2, , m )令1=1,若已構作出正交向量組1,2,j-1,則令 然后將正交向量組1,2,m單位化即令 則向量組1, 2, , m即為與向量組 1,2,m等價的正交單位向量組 四. 正交矩陣定義 設A是n階實矩陣, 如果滿足 ATA = AAT = E則稱A為正交矩陣 (orthogonal matrix) 正交矩陣性質定理 設A, B都是n階正交矩陣，則 (1) A= 1; (2) A可逆, 且A1 =

7、 AT; (3) AT(即A1 )也是正交矩陣; (4) AB也是正交矩陣.定理 n階實矩陣A是正交矩陣的充要條件是, A的列(行)向量組為Rn的正交單位向量組(標準正交基). 定理 設1,2, ,n與1,2,n是歐氏空間V中兩組基, 由基1,2, ,n到基1,2,n的過渡矩陣是C。若 1,2, ,n是標準正交 基， 則C是正交矩陣, 當且僅當1,2,n是標準正交基。 4 正交變換，對稱變換一. 定義定義 若A是歐氏空間V的線性變換, 如果它保持向量的內積不變, 即 (A, A) = (, ) ,V,則稱A是正交變換.定義 設A是歐氏空間V上的一個線性變換,如果滿足 (A, )=(, A)則稱

8、A是對稱變換.定理 n維歐氏空間V上的一個線性變換A是對稱變換的充分必要條件為:A在任何（某）一組標準正交基下的矩陣都是對稱矩陣.定理 設A是n維歐氏空間V的一個線性變換。則下面幾個命題相互等價： (1) A是正交變換; (2) A保持向量的長度不變, 即 V,有 A = ; (3) A保持向量間的距離不變, 即 ， V,有 A()- A() =- ; (4)若1,2,n是標準正交基,則A1, A2,An也是標準正交基; (5) A在任一組標準正交基下的矩陣是正交矩陣.注: (1)因為正交矩陣可逆,故正交變換也可逆. (2)正交變換作為歐氏空間的自同構,其乘積和逆也是正交變換. (3)在標準正

9、交基下,正交變換與正交矩陣對應，對稱變換與對稱矩陣對應。引理 設A是歐氏空間V上的一個對稱變換, W是A-子空間, 則W也是A-子空間.設A是歐氏空間V上的一個正交變換, W是A-子空間, 則W也是A-子空間.4 子空間的正交補一. 正交定義 設V1,V2是歐氏空間V中兩個子空間.如果對于任意的V1,V2,恒有(, )=0.則稱V1,V2是正交的,記為V1V2. 對于向量V，如果關于任意的 V1,恒有(, ) =0.則稱與子空間V1正交,記為 V1. 性質（1）若 V1, 且V1, 則有=0.（2）若V1V2,則V1V2=0 ;定理 如果子空間V1,V2,VS兩兩正交,那么和V1+V2+VS是

10、直和.定義 子空間V2稱為子空間V1的正交補,如果V1V2,并且V1+V2=V.注 正交補的概念是相互的. 定理 n維歐氏空間V的每一個子空間V1都有唯一的正交補.注 V1 的唯一正交補記作V1.顯然有 dimV1 + dimV1 = dimV =n.推論 V1恰由與V1 正交的向量組成, 即 V1 = VV1.內射影 設 V= V1V1 則關于V, =1+2, 其中1V1, 2V1, 就稱1為向量在子空間V1上的內射影.5實對稱矩陣的標準形 定理 實對稱矩陣A的特征值都是實數(shù)。引理 設A是對稱變換(A是對稱矩陣), 則屬于A（A)的不同特征值的特征向量必正交.定理 對于n 維歐氏空間V 上任

11、意一個對稱變換A,都存在V的一組標準正交基,使得A在該基下矩陣為對角矩陣。推論 對于任意一個n階實對稱矩陣A,都存在一個n階正交矩陣T,使得 TTAT=T-1AT成對角形.根據(jù)上述結論，利用正交矩陣將實對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為： 利用正交矩陣將實對稱矩陣 對角化的方法1. 解特征方程求出對稱矩陣 的全部不同的特征值。對每個特征值 ，求出對應的特征向量，將屬于每個 的特征向量先正交化，再單位化。這樣共可得到n 個兩兩正交的單位特征向量有以 為列向量構成正交陣即必須注意：對角陣中 的順序要與特征向量 的排列次序一致。定理（主軸定理）：任給二次型總有正交變換使之化為標準形二次型的語言用正交

12、變換化二次型為標準形的具體步驟6 向量到子空間的距離，最小二乘法一. 向量到子空間的距離歐氏空間V的兩個向量和的距離定義為: d(, ) = -距離的性質:d(, )=d(, ); d(, )0, 并且僅當=時等號成立; d(, )d(, ) + d(, ) (三角不等式) 命題 設W是歐氏空間V的一個子空間, 是V中的一個向量. 又設是W中一個向量, 使-垂直于W, 則對W中任一向量,都有 - - 反過來，設W是歐氏空間V的一個子空間, 是V中的一個向量. 又設是W中一個向量, 若對W中任一向量,都有 - - , 則-垂直于W。二. 最小二乘法最小二乘問題:實系數(shù)線性方程組可能無解,即任一組

13、實數(shù)x1, x2, ,xs,都使 (1)不等于零.現(xiàn)設法找x10, x20, ,xs0, 使(1)為最小, 稱此x10, x20, ,xs0為方程組的最小二乘解; 此類問題稱為最小二乘問題. ATAX=ATB.這就是最小二乘法所滿足的代數(shù)方程, 它是一個線性方程組, 系數(shù)矩陣是ATA, 常數(shù)項是ATB.這種線性方程組總是有解的.（為什么？）例1 設A是n階實反對稱矩陣，則（1）E+A 可逆； (2)是正交矩陣。解 (1)（法一）因為A反對稱，故它的特征值只能是0或純虛數(shù)，從而-1不是A的特征值，故E+A可逆。例1 設A是n階實反對稱矩陣，則（1）E+A 可逆； (2)是正交矩陣。解 (1)（法

14、二）若E+A不可逆，則方程組(E+A)X=0有非零解X0. 從而矛盾。例1 設A是n階實反對稱矩陣，則（1）E+A 可逆； (2)是正交矩陣。解 (2)例2 設A是n維歐氏空間V上的線性變換，則下任兩條可推出第三條：（1）A 是正交變換； (2) A 是對稱變換； (3) A 2=E.證例2 設A是n維歐氏空間V上的線性變換，則下任兩條可推出第三條：（1）A 是正交變換； (2) A 是對稱變換； (3) A 2=E.證例3 設V1 ,V2是n維歐氏空間V的子空間，且dimV1 dimV2 ,則V2中有非零向量與V1 正交.證 將結論翻譯成另一語言只需證明例4 設W是R3中過點（0,0,0),(1,2,2,),(3,4,0)的平面。求點A(5,0,0)到平面W的最短距離.解 令問題化為求到的距離即求解 令問題化為求到的距離即求例5 設三階實對稱矩陣A的特征值為1,2,-2. 是屬于1的特征向量。記 B=A5- 4A3+E.(1)求B的特征值與特征向量；(2)求矩陣B.解 （1）B的特征值為-2，1，1.屬于1的特征向量與 正交。解方程組得基礎解系所以屬于1的線性無關特征向量是解 （2）令例6 設 是V 的一組基，其度量矩陣為 令(1)求W 的一組標準正交基；(2)求W 的正交補的維數(shù)與一組基.解 （1）令單位化得W