《衍生金融工具》(第二版)課件第十一章股票價(jià)格的行為模式

1、第十一章 股票價(jià)格的行為模式1111本章導(dǎo)讀本章介紹幾種常用的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程,并利用這些隨機(jī)過程來描述公司股票價(jià)格在市場上的變化情形。學(xué)習(xí)本章要求了解并能區(qū)別各種隨機(jī)過程(馬爾可夫過程,維納過程,伊藤過程)之間的差異,能夠運(yùn)用適當(dāng)?shù)碾S機(jī)過程來描述股票價(jià)格變動(dòng),并且能夠使用伊藤引理來解釋連續(xù)時(shí)間下的股票價(jià)格變動(dòng)。連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程在理解和推導(dǎo)期權(quán)及其他復(fù)雜衍生金融工具的定價(jià)中扮演著至關(guān)重要的角色。本章將介紹比較幾種常用的隨機(jī)過程,讓讀者了解隨機(jī)過程公式中各個(gè)參數(shù)所代表的實(shí)際意義，并介紹一個(gè)重要的結(jié)論伊藤引理，它是隨機(jī)微積分的核心工具。為了讓讀者更易于了解,其推導(dǎo)將會(huì)放在本章附錄中。2本章導(dǎo)讀本章

2、介紹幾種常用的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程,并利用這些隨知識(shí)結(jié)構(gòu)圖股票價(jià)格的行為模式隨機(jī)過程有效市場假說與馬爾可夫過程維納過程一般化的維納過程伊藤過程股票價(jià)格的行為過程伊藤引理伊藤引理遠(yuǎn)期合約下的應(yīng)用股票價(jià)格對(duì)數(shù)變化3知識(shí)結(jié)構(gòu)圖股票價(jià)格的行為模式隨機(jī)過程有效市場假說與馬爾可第一節(jié) 隨機(jī)過程觀察圖11-1所示的上證指數(shù)從上世紀(jì)90年代交易以來的波動(dòng)情況，它看上去像是在隨機(jī)漫步。金融中，通常用隨機(jī)過程來刻畫這種無規(guī)律的運(yùn)動(dòng)。圖111上證指數(shù)歷史走勢圖假設(shè)=是隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，T是一個(gè)參數(shù)集（通常是時(shí)間），如果對(duì)于每一個(gè)tT，都有隨機(jī)變量X(,t)R與之對(duì)應(yīng)，則稱依賴于t的一族隨機(jī)變量X(,t)為隨機(jī)過程，也

3、稱為隨機(jī)函數(shù)。4第一節(jié) 隨機(jī)過程觀察圖11-1所示的上證指數(shù)從上世紀(jì)9第一節(jié) 隨機(jī)過程通俗地講，隨機(jī)過程(stochastic process)可以看成兩個(gè)自變量狀態(tài)和時(shí)間的函數(shù)。和普通的確定性函數(shù)不同的是，第一個(gè)變量本身是隨機(jī)的，對(duì)應(yīng)一個(gè)樣本隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，比如拋硬幣。隨機(jī)過程習(xí)慣上有多種簡單記法，如 X(t),t0,T，或者(Xt)t0,T。這時(shí)對(duì)它有多種理解： (1)當(dāng),t都是變量時(shí)，X(,t)是一個(gè)時(shí)間函數(shù)族，表示一個(gè)隨機(jī)過程； (2)當(dāng)給定為*，t為變量時(shí)，X(*,t)是一個(gè)時(shí)間上的函數(shù)，稱它為一個(gè)樣本路徑； (3)當(dāng)t固定在某一時(shí)刻t*， x(,t*)是一個(gè)普通的隨機(jī)變量 (4)當(dāng)

4、都固定時(shí)，X(*,t*)是一個(gè)確定的函數(shù)值。需要指出的是，狀態(tài)變量和時(shí)間變量可以是離散或者連續(xù)的情形。比如通常的時(shí)間序列過程就是離散的隨機(jī)過程。另外，隨機(jī)過程X(,t)在某一時(shí)刻所呈現(xiàn)的數(shù)值也可以是高維隨機(jī)向量，比如描述股票、債券、期權(quán)等形成的組合的價(jià)格隨機(jī)過程，則有X(,t)Rn.5第一節(jié) 隨機(jī)過程通俗地講，隨機(jī)過程(stochasti第一節(jié) 隨機(jī)過程一、有效市場假說與馬爾可夫過程有效市場假說基本的假設(shè)是投資者會(huì)利用可以獲得的信息去交易,因此股票價(jià)格應(yīng)該充分反映了現(xiàn)有的信息,也就是投資者無法利用現(xiàn)有的信息去判斷股票價(jià)格未來的走勢。而依照投資者可以獲得的信息集合的大小,法瑪(Fama,1970

5、)提出了有效市場假說(efficient market hypothesis)的三種形態(tài):弱式有效,半強(qiáng)式有效,以及強(qiáng)式有效，分別對(duì)應(yīng)過去、現(xiàn)在及未來的信息是否能反映未來的股票價(jià)格走勢。一般認(rèn)為市場應(yīng)該至少是弱式有效的，即歷史信息無法預(yù)測未來股票價(jià)格的走勢。這意味著，弱式有效市場的假設(shè)和數(shù)學(xué)上的馬爾可夫過程是一致的。離散的馬爾可夫過程可以定義如下:E(Pt+1|Pt,Pt-1,Pt-2,)=E(Pt+1|Pt) (11.1)簡單來說,在馬爾可夫過程中，變量的未來預(yù)期值只受當(dāng)前信息的影響,與歷史信息無關(guān)，即變量的歷史值以及如何達(dá)到目前的現(xiàn)值對(duì)于未來沒有預(yù)測能力。18 注18：馬爾可夫同樣有連續(xù)時(shí)

6、間下的版本,其基本的意義與離散時(shí)間下的定義并無基本差異。同樣是歷史價(jià)值及走向?qū)τ诠善眱r(jià)格未來的運(yùn)動(dòng)不具有預(yù)測性。6第一節(jié) 隨機(jī)過程一、有效市場假說與馬爾可夫過程6第一節(jié) 隨機(jī)過程7第一節(jié) 隨機(jī)過程7第一節(jié) 隨機(jī)過程8第一節(jié) 隨機(jī)過程8第一節(jié) 隨機(jī)過程9圖113不同時(shí)間區(qū)間大小下的維納過程第一節(jié) 隨機(jī)過程9圖113不同時(shí)間區(qū)間大小下的維納過第一節(jié) 隨機(jī)過程三、一般化的維納過程若假設(shè)一只股票的價(jià)格變動(dòng)遵循標(biāo)準(zhǔn)的維納過程，我們很快會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的假設(shè)存在很大的問題。首先,因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)維納過程的變動(dòng)量的均值為0,所以今天的股票價(jià)格以及五年后的預(yù)期股票價(jià)格是一樣的,也就是假如買進(jìn)一只股票,五年之間的平均收益率將

7、為0。投資學(xué)的基本原理認(rèn)為:由于股票有風(fēng)險(xiǎn),股票的平均收益率應(yīng)該高于無風(fēng)險(xiǎn)利率。其次,如果股票價(jià)格均遵循標(biāo)準(zhǔn)維納過程,則所有股票的波動(dòng)率將會(huì)一樣。顯然，兩家不同基本面的公司，使用不同的財(cái)務(wù)杠桿,波動(dòng)率應(yīng)該不同。再次，股票價(jià)格是非負(fù)的，直接用標(biāo)準(zhǔn)的維納過程來擬合股票價(jià)格是不現(xiàn)實(shí)的。這些限制使得我們必須進(jìn)一步將標(biāo)準(zhǔn)維納過程一般化,以貼近股票價(jià)格的運(yùn)行模式。標(biāo)準(zhǔn)維納過程dz的漂移率(drift rate)為0，波動(dòng)率(variance rate)為1。所謂漂移率是指隨機(jī)過程每單位時(shí)間內(nèi)的變化的期望值，漂移率為0指的是未來任一時(shí)點(diǎn)下z(t)的期望值等于當(dāng)前的現(xiàn)值。波動(dòng)率為1指的是變量z在單位時(shí)間的根方

8、差為1。將標(biāo)準(zhǔn)維納過程的漂移率和波動(dòng)率一般化，可得一般化的維納過程(generalized Wiener process)。利用標(biāo)準(zhǔn)維納過程z來定義一個(gè)一般化的維納過程變量x如下:dx=adt+bdz (11.2)其中，漂移率a，波動(dòng)率b均是常量。10第一節(jié) 隨機(jī)過程三、一般化的維納過程10第一節(jié) 隨機(jī)過程11第一節(jié) 隨機(jī)過程11第一節(jié) 隨機(jī)過程12圖113不同漂移率以及波動(dòng)率下的一般化維納過程第一節(jié) 隨機(jī)過程12圖113不同漂移率以及波動(dòng)率第一節(jié) 隨機(jī)過程13第一節(jié) 隨機(jī)過程13第一節(jié) 隨機(jī)過程四、伊藤過程進(jìn)一步，允許一般化的維納過程中的a，b受時(shí)間及變量當(dāng)前值的影響,則這樣的過程又稱為伊藤

9、過程(Ito process)。記為:dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz (11.4)其中,dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)維納過程,參數(shù)a和b是標(biāo)的變量x和時(shí)間t值的函數(shù)。變量x的漂移率為a,波動(dòng)率為b。即伊藤過程的期望漂移率和波動(dòng)率都隨時(shí)間推移而變化。14第一節(jié) 隨機(jī)過程四、伊藤過程14第二節(jié) 股票價(jià)格的行為過程15第二節(jié) 股票價(jià)格的行為過程15第二節(jié) 股票價(jià)格的行為過程專欄111中國市場收益率的獨(dú)立性 在本章討論股票的行為過程,以及下一章推導(dǎo)布萊克-斯科爾斯期權(quán)定價(jià)公式的時(shí)候,我們都會(huì)使用本章的隨機(jī)過程。但是假設(shè)股票的收益率之間是獨(dú)立的并不一定符合現(xiàn)實(shí)。在國外的股市中,如果以月份來衡量,那么相鄰月份

10、之間的自相關(guān)系數(shù)一般都很接近零；而如果以天為單位，那么市值較小或是交易量較低的股票很容易出現(xiàn)自相關(guān),從而使本章的假設(shè)遇到挑戰(zhàn)。 中國的股票因?yàn)槭袌龌潭炔桓?加上個(gè)人投資者較多,相鄰時(shí)間的收益率之間的獨(dú)立性假設(shè)可能存在較大的問題。為了檢查這樣的假設(shè)是否符合中國市場的現(xiàn)實(shí),我們可以利用一個(gè)簡單的測試方法。 一般來說,要判斷一個(gè)時(shí)間序列是否隨機(jī),可以使用一種叫做波動(dòng)率的方法。波動(dòng)率的定義是將利用較長時(shí)間計(jì)算的根方差(例如年度收益率的根方差)除以較短時(shí)間計(jì)算的根方差(例如月份收益率的根方差)。計(jì)算出來的結(jié)果再除以一個(gè)調(diào)整的基數(shù),這個(gè)基數(shù)基本上就是較長時(shí)間除以較短時(shí)間。例如如果選取的時(shí)間間距分別為年以

11、及月,那么這里的調(diào)整就是12。由基本的統(tǒng)計(jì)知識(shí)可知,如果每個(gè)時(shí)段之間的收益率為獨(dú)立的,那么波動(dòng)率應(yīng)該剛好為1。如果波動(dòng)率大于1,代表這個(gè)收益率的時(shí)間序列有正自相關(guān)性或是在每個(gè)長的時(shí)間段內(nèi)(例如每年)以短時(shí)間衡量的收益率(例如月度收益率)有趨勢。如果波動(dòng)率小于1,那么收益率的時(shí)間序列有正自相關(guān)性，或在每個(gè)長的時(shí)間段內(nèi)(例如每年)以短時(shí)間衡量的收益率(例如月度收益率)具有均值反轉(zhuǎn)的現(xiàn)象。16第二節(jié) 股票價(jià)格的行為過程專欄111中國市場收益率第二節(jié) 股票價(jià)格的行為過程專欄111中國市場收益率的獨(dú)立性 現(xiàn)在我們可以檢驗(yàn)中國股市的情況。這里利用2007年5月到2011年4月間的上市公司每個(gè)月份收益率的資

12、料,計(jì)算各公司月收益率的自相關(guān)以及波動(dòng)率,結(jié)果列在表111和圖114中。表111個(gè)上市公司波動(dòng)率分布 圖114上市公司月收益率自相關(guān)性的分布17大于小于所占比率(%) 0.2520.6 0.25 0.5029.4 0.50 1.0029.8 1.00 2.0015.3 2.004.9第二節(jié) 股票價(jià)格的行為過程專欄111中國市場收益率第二節(jié) 股票價(jià)格的行為過程18第二節(jié) 股票價(jià)格的行為過程18第三節(jié) 伊藤引理19第三節(jié) 伊藤引理19第三節(jié) 伊藤引理伊藤引理主要是為后面將要討論的布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模 型提供足夠的理論背景。這樣的內(nèi)容看似偏向于理論而與實(shí)務(wù)無法結(jié)合。實(shí)際上,伊藤引理以及之前的各

13、種隨機(jī)過程在金融工程上有許多相關(guān)的應(yīng)用。例如,在廣發(fā)證券羅軍與胡海濤于2010年12月2日撰寫的基于伊藤引理的股指期貨跨期套利策略研究報(bào)告中,就利用了伊藤引理來設(shè)立跨期套利策略。他們發(fā)現(xiàn)雖然使用伊藤引理的套利不見得能夠比使用常見的移動(dòng)均值回歸策略有更高的收益率,但是在兩者都能獲得極高報(bào)酬的情況下,基于伊藤引理所推導(dǎo)出的策略能提供更為穩(wěn)健的收益率,也代表這樣的策略具有較低的風(fēng)險(xiǎn)。伊藤引理除了在衍生產(chǎn)品的定價(jià)上有著重要的地位,在固定收益證券,尤其是在利率結(jié)構(gòu)的理論討論上。在著名的Vasicek（1977)的文章中,他就在即期利率遵循隨機(jī)擴(kuò)散過程下推導(dǎo)了相關(guān)的利率結(jié)構(gòu)以及債券的定價(jià)。下面，我們舉個(gè)例子以便理解伊藤引理的運(yùn)用，更深入的運(yùn)用以后會(huì)在期權(quán)及其他衍生產(chǎn)品的定價(jià)中。20第三節(jié) 伊藤引理伊藤引理主要是為后面將要討論的布萊克 斯科第三節(jié) 伊藤引理21第三節(jié) 伊藤引理21第三節(jié) 伊藤引理22第三節(jié) 伊藤引理22第三節(jié) 伊藤引理23第三節(jié) 伊藤引理23本章小結(jié)本章首先介紹隨機(jī)過程的定義，然后依次介紹了馬爾可夫過程、維納過程、一般化的維納過程和伊藤過程的特征，特