小學(xué)六年級奧數(shù)基礎(chǔ)知識--數(shù)論一

1、小學(xué)年級奧基礎(chǔ)識論一 一質(zhì)數(shù)和合數(shù)(1)一個數(shù)除了 1 和它本身,不再有別的約數(shù)這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(也叫做素數(shù))。一個數(shù)除了 1 和它本身,還有別的約數(shù),這個數(shù)叫做合數(shù)。(2)自然數(shù)除 0 和 1 外,按約數(shù)的個數(shù)分為質(zhì)數(shù)和合數(shù)兩類。任何一個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式。要特別記住:0 和 1 不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù)。(3)最小的質(zhì)數(shù)是 2 ,2 是唯一的偶質(zhì)數(shù),其他質(zhì)數(shù)都為奇數(shù);最小的合數(shù)是 4。(4)質(zhì)數(shù)是一個數(shù),是含有兩個約數(shù)的自然數(shù)?；ベ|(zhì)數(shù)是指兩個數(shù),是公約數(shù)只有一的兩個數(shù)組成互質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)可能是兩 個質(zhì)數(shù)(3 和 5),可能是一個質(zhì)數(shù)和一個合數(shù)(3 4),可能是兩個合數(shù)(4 和 9)或

2、 1 與另一個自然數(shù)。(5)如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù),那么就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來叫做分解質(zhì)因數(shù)。(6)100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有 25 個:2、3、5、7、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、71、73、79、83、89、97.注意:兩個質(zhì)數(shù)中差為 1 的只有 3-2 ;除 2 外,任何兩個質(zhì)數(shù)的差都是偶數(shù)。 二整除性(1)概念一般地,如 a、b、c 整數(shù),b0,且 ab=c,即整數(shù) a 除以整除 b(b 不等于 0), 除得的商 c 正好是整數(shù)而沒有余數(shù)(或者說余數(shù)是 我們就說,a 能被 b 整除(或 者說 b

3、 能整除 a)。記作 b|a.否則,稱為 a 不能被 整除,(或 b 不能整除 a)。如果整數(shù) a 能被整數(shù) b 整除,a 就叫做 b 倍數(shù),b 就叫做 a 的約數(shù)。(2)性質(zhì)性質(zhì) 1:(整除的加減性)如果 a、b 都能被 整除,那么它們的和與差也能被 c 整除。即:如果 c|a,c|b,那么 c|(ab)。例如:如果 2|10,2|6,那么 2|(10+6),并且 6)。也就是說,被除數(shù)加上或減去一些除數(shù)的倍數(shù)不影響除數(shù)對它的整除性。性質(zhì) 2:如果 b 與 c 的積能整除 a,那么 b c 都能整除 a.即:如果 bc|a,那么 b|a,c|a。性質(zhì) 3:(整除的互質(zhì)可積性)如果 b、c 都

4、能整除 且 b 和 c 互質(zhì),那么 b與 c 的積能整除 a。即:如果 b|a,c|a,且(b,c)=1,那么 bc|a。例如:如果 2|28,7|28,且(2,7)=1,那么(27)|28。注意:(b,c)=1 這個條件,如果沒這個條件結(jié)論就不一定能成立。譬如:4|28,14|28,414=56 不能整除 24性質(zhì) 4:(整除的傳遞性)如果 c 能整除 b,b 整除 a,那么 c 能整除 a。即:如果 c|b,b|a,那么 c|a。例如:如果 3|9,9|27,那么 3|27。(3)數(shù)的整除特征能被 2 整除的數(shù)的特征:個位數(shù)字是 0、4、6、8 的整數(shù).能被 5 整除的數(shù)的特征:個位是 0

5、 或 5做題時常常把這里當(dāng)作突破口。能被 3(或 9)整除的數(shù)的特征:各個數(shù)位數(shù)字之和能被 或 9)整除。判斷能被 3(或 9)整除的數(shù)還可以用“棄 或 9)法”:例如:8351746 能被 9 整除么?解:8+1=9,3+6=9,5+4=9,在數(shù)字中只剩 7,7 是 9 的倍數(shù),所以 8351746 不能 被 9 整除。能被 4(或 25)整除的數(shù)的特征:末兩位數(shù)能被 或 25)整除。能被 8(或 125)整除的數(shù)的特征:末三位數(shù)能被 或 125)整除。能被 11 整除的數(shù)的特征:這個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù) 字之和的差(大減小)是 11 的倍數(shù)。能被 7(11 或 13)整除

6、的數(shù)的特征:一個整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù) 字所組成的數(shù)之差(以大減小)能被 7(11 或 13)除,依此反復(fù)檢驗(yàn)。例如:判斷 3546725 能否被 13 整除?解:把 3546725 分為 3546 和 725 兩個數(shù).為 3546-725=2821.再把 分為 2 和 821 兩個數(shù),因?yàn)?8212=819,又 13|819,以 13|2821,進(jìn)而 13| 3546725.上述辦法也可以用來判斷余數(shù)和末位數(shù);對于其他的數(shù),可以將其分解成上述幾個互質(zhì)的數(shù)的乘積再逐個考慮。三約數(shù)與倍數(shù)(1)公約數(shù)和最大公約數(shù)幾個數(shù)公有的約數(shù),叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)其中最大的一個,叫做這幾個數(shù)的 最大公約

7、數(shù)。例如:4 是 12 和 16 的最大公約數(shù),可記做(12,16)=4(2)公倍數(shù)和最小公倍數(shù)幾個數(shù)公有的倍數(shù),叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)其中最小的一個,叫做這幾個數(shù)的 最小公倍數(shù)。例如:36 是 12 和 18 的最小公倍數(shù),記作12,18=36。(3)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的關(guān)系如果用 a 和 b 表示兩個自然數(shù)1、那么這兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系是(a,b)a,b=ab。(多用于求最小公倍數(shù))2、(a,b) a ,b a,b3、a,b是(a,b)的倍數(shù),(a,b)是a,b的約數(shù)4、(a,b)是 a+b 和 a-b 的約數(shù),也是(a,b)+a,b和a,b-(a,b)的約數(shù)(4)求最

8、大公約數(shù)的方法很多,主要推薦:除法、分解質(zhì)因數(shù)法、輾轉(zhuǎn)相除法。例如:1、(短除法)用一個數(shù)去除 30、60都能整除,這個數(shù)最大是多少解:(30,60,75)=53=15這個數(shù)最大是 15。2、(分解質(zhì)因數(shù)法)求 1001 和 308 的最大公約數(shù)是多少解:1001=71113(這個質(zhì)分解常用到),308=7114所以最大公約數(shù)是 711=77在這種方法中,先將數(shù)進(jìn)行質(zhì)分解,而后取它們“所有共有的質(zhì)因數(shù)之積”便 是最大公約數(shù)。3、(輾轉(zhuǎn)相除法)用輾轉(zhuǎn)相除法求 4811 和 的最大公約數(shù)。解:4811=21981+849,1981=2849+283,849=3283,(4811,1981)=283

9、。補(bǔ)充說明:如果要求三個或更多的數(shù)的最大公約數(shù)可以先求其中任意兩個數(shù) 的最大公約數(shù),再求這個公約數(shù)與另外一個數(shù)的最大公約數(shù)這樣求下去,直至求得 最后結(jié)果。(5)約數(shù)個數(shù)公式一個合數(shù)的約數(shù)個數(shù),等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個質(zhì)因數(shù)的個數(shù)即指數(shù))加 1 的連乘的積。例如:求 240 的約數(shù)的個數(shù)。解:240=243151,240 的約數(shù)的個數(shù)是(4+1)(1+1)(1+1)=20,240 有 20 個約數(shù)。四奇偶性(1)奇數(shù)和偶數(shù)整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類.能被 2 除的數(shù)叫做偶數(shù),不能被 2 整除的 數(shù)叫做奇數(shù)。偶數(shù)通?？梢杂?2k(k 為整數(shù))表示,奇數(shù)則可以用 為整數(shù)表示。特別 注意,因?yàn)?0

10、 能被 2 整除,所以 0 是偶數(shù)。最小的奇數(shù)是 1,最小的偶數(shù)是 0.(2)奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì) 1:偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)同性質(zhì)(指奇偶性)兩數(shù)加減得偶,不同性質(zhì)得奇。性質(zhì) 2:偶數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)(推廣開來我們還可以得到偶數(shù)個奇數(shù)相加得偶數(shù))偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)(推廣開就是:偶數(shù)個偶數(shù)相加得偶數(shù)奇數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)(推廣開就是:奇數(shù)個奇數(shù)相加得奇數(shù)對于以上算式,上課時一個孩子總結(jié)的很好對于乘法,見偶就得偶。(3)反證法例:桌上有 9 只杯子,全部口朝上,每次將其中 只同時“翻轉(zhuǎn)”.請說明:無論 經(jīng)過多少次這樣的“翻轉(zhuǎn)”,都不能使 9 只杯子全部口朝下。解:要使一只杯子口朝下,必須經(jīng)過奇數(shù)次“翻轉(zhuǎn)”.要使 只杯子口全朝下, 必須經(jīng)過 9 個奇數(shù)之和次“翻轉(zhuǎn)”.即“翻轉(zhuǎn)”的總次數(shù)為奇數(shù)但是,按規(guī)定每次 翻轉(zhuǎn) 6 只杯