62-多元函數(shù)的基本概念匯總課件

1、6.2多元函數(shù)的基本概念一、平面區(qū)域的概念二、二元函數(shù)的定義三、二元函數(shù)的極限四、二元函數(shù)的連續(xù)性下一頁(yè)6.2多元函數(shù)的基本概念一、平面區(qū)域的概念下一頁(yè)（1）鄰域一、平面區(qū)域的概念下一頁(yè)（1）鄰域一、平面區(qū)域的概念下一頁(yè)（2）區(qū)域例如，即為開集下一頁(yè)（2）區(qū)域例如，即為開集下一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域例如，例如，下一頁(yè)連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域例如，例如，下一頁(yè)有界閉區(qū)域；無(wú)界開區(qū)域例如，下一頁(yè)有界閉區(qū)域；無(wú)界開區(qū)域例如，下一頁(yè)二、二元函數(shù)的定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)下一頁(yè)二、二元函數(shù)的定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)下一頁(yè)例1 求 的定義域解所求定義域?yàn)橄乱豁?yè)例1

2、求 二元函數(shù) 的圖形（如下頁(yè)圖）下一頁(yè)二元函數(shù) 的圖形（如下頁(yè)圖二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.下一頁(yè)二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.下一頁(yè)例如,圖形如右圖.例如,左圖球面.單值分支:下一頁(yè)例如,圖形如右圖.例如,左圖球面.單值分支:下一頁(yè)二元函數(shù)極限的精確定義 ： 定義 如果對(duì)于任意給定的e 0，總存在正數(shù)d，恒成立，則稱當(dāng)P(x, y)趨于P0(x0, y0)時(shí)，函數(shù)f (x, y)以 A為極限，記為 比較： 一元函數(shù)極限的定義 如果對(duì)于任意給定e 0，總存在d 0，使當(dāng)0|x-x0|d 時(shí)，|f(x)-A|e，則稱當(dāng) x 趨于 x0時(shí)，函數(shù) f(x)以常數(shù) A為極限。三、二元函數(shù)的極限下一頁(yè)

3、二元函數(shù)極限的精確定義 ： 定義 如果對(duì) 證明：因?yàn)閨(3x+y)-5|=|(3x-3)+(y-2)|3|x-1|+|y-2|， |(3x+y)-5|3d+d=4d。 |(3x+y)-5|e 例1下一頁(yè) 證明：因?yàn)閨(3x+y)-5|=|(3x-3說(shuō)明：（1）定義中 的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似下一頁(yè)說(shuō)明：（1）定義中 的方式是任意的例 證明 不存在 證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在下一頁(yè)例 證明 不不存在.觀察播放下一頁(yè)不存在.觀察播放下一頁(yè)確定極限不存在的方法：下一頁(yè)確定極限不存在的方法：下一頁(yè) 定義3 設(shè)函數(shù)f (x,

4、y)滿足條件： (1)在點(diǎn)(x0, y0)的某鄰域內(nèi)有定義；則稱函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)連續(xù)，否則稱點(diǎn)(x0, y0)是函數(shù) f(x, y)的間斷點(diǎn)。 例如 函數(shù)f(x, y)=3x+y在(1, 2)的鄰域內(nèi)有定義，且所以函數(shù)在點(diǎn)(1, 2)連續(xù)。 四、二元函數(shù)的連續(xù)性下一頁(yè) 定義3 設(shè)函數(shù)f (x, y)滿足條件 如果函數(shù)f(x, y)在平面區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)f(x, y)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)。 函數(shù)f(x, y)=3x+y在整個(gè)xOy面內(nèi)是連續(xù)的。DOxyz y=f(x, y)DOxyz y=f(x, y)提問：連續(xù)函數(shù)f(x, y)在幾何上有什么特點(diǎn)？ 四、二元函數(shù)的

5、連續(xù)性下一頁(yè) 如果函數(shù)f(x, y)在平面區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。 由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子表示的多元函數(shù)稱為多元初等函數(shù)。哪些多元函數(shù)是連續(xù)的？所以函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)(1, 2)是連續(xù)的，因此 例3下一頁(yè) 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理（2）介值定理下一頁(yè)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)