固體中電子能量結(jié)構(gòu)以及狀態(tài)

1、關(guān)于固體中電子能量結(jié)構(gòu)和狀態(tài)第1頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四金剛石和石墨第2頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四金剛石的原子結(jié)構(gòu)碳原子示意圖第3頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四石墨和晶體結(jié)構(gòu) 如此差異，原子核的狀態(tài)沒有區(qū)別，只是因?yàn)楹送獾碾娮幽軕B(tài)不同而造成的 材料的物理性能強(qiáng)烈依賴于材料原子間的鍵合、晶體結(jié)構(gòu)、電子能量結(jié)構(gòu)與狀態(tài)，這三者之中尤其以電子的能量與狀態(tài)最為重要。 因果關(guān)系體現(xiàn)在什么地方？第4頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四本章內(nèi)容 第一章為描述、分析材料的物理性能提供理論工具，后六章相對獨(dú)立，分別

2、介紹了各種不同的物理性能。 材料物理性能主要依賴于材料中的電子結(jié)構(gòu)，因此第一章的理論主要針對電子在不同情況下的能量結(jié)構(gòu)和狀態(tài)，因此第一章的關(guān)鍵詞：電子行為描述。主要內(nèi)容有：電子的波動性金屬的費(fèi)密（Fermi）-索末菲（Sommerfel） 電子理論晶體能帶理論內(nèi)容先后基本按照人類對電子行為認(rèn)識的逐漸深入第5頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四霍爾效應(yīng)(Hall effect)I+_+- - - - -EHBhb-B-ev以金屬導(dǎo)體為例：金屬中的電流就是自由電子的定向移動（與電流反向）。自由電子受洛侖茲力作用導(dǎo)致正、負(fù)電荷相對集中,產(chǎn)生Hall電場金屬的上下表面出現(xiàn)電勢差霍爾電

3、勢差。1.1 .1電子的粒子性第6頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四I+_+- - - - -EHBhb-B-ev平衡時，橫向電勢差為：Hall系數(shù)，僅與導(dǎo)體材料有關(guān)。第7頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四 Hall效應(yīng)的應(yīng)用：（1）測量載流子濃度(n)（2）測量磁感應(yīng)強(qiáng)度（3）判斷半導(dǎo)體載流子的種類半導(dǎo)體有兩種載流子： 對Hall效應(yīng)來說，正電荷的運(yùn)動與等量負(fù)電荷的反向運(yùn)動并不等效！第8頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四p型半導(dǎo)體第9頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四n型半導(dǎo)體第10頁，共44頁，2022年，5月

4、20日，5點(diǎn)4分，星期四第一節(jié)1.1 .2電子的波動性微觀粒子的波粒二象性1、光量子的波粒二象性光子理論成功的解釋了光的發(fā)射和吸收，愛因斯坦由此獲得了1921年諾貝爾物理學(xué)獎 普朗克常量 1905年，愛因斯坦（26歲）為解釋光電效應(yīng)，提出光是由一種微粒光子組成，頻率為 的光子能量2、微觀粒子的波粒二象性1924年法國物理學(xué)家德布羅意（32歲）提出物質(zhì)波的假說第11頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四一個能量為 E 、動量為P 的粒子，同時也具有波動性德布羅意波長 1927年被美國貝爾實(shí)驗(yàn)室德戴維森和革末的電子衍射實(shí)驗(yàn)所驗(yàn)證，兩人因此獲1937年的諾貝爾物理學(xué)獎。3、波粒二象性

5、是一切物質(zhì)具有的普遍屬性頻率E為相對論能量第12頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四例 計(jì)算電子經(jīng)過U1=100V和U2=10000V的電壓加速后的德布羅意波長1和2分別是 多少？解：經(jīng)過電壓U加速后，電子的動能為根據(jù)德布羅意公式，此時電子的波長為：將已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算可得：1= 0.123nm， 2= 0.0123 nm（誤差較小，未考慮相對論效應(yīng)）第13頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四第14頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四1.1.3 波函數(shù)波函數(shù)是微觀粒子運(yùn)動的數(shù)學(xué)描述形式經(jīng)典力學(xué)中斜拋運(yùn)動的數(shù)學(xué)描述為 物質(zhì)波的描述方法思想與經(jīng)典

6、粒子不同，物質(zhì)波是一種具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律的幾率波，設(shè)為粒子在有限空間出現(xiàn)的幾率令成為歸一化波函數(shù)則歸一性有限性第15頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四電子云示例n = 1,l = 0n = 2, l = 1n = 3, l = 2ml = 0ml = 0ml = 0ml =1ml =1ml =2含Z 軸的剖面上的電子云示意圖 “電子云” 代表微觀粒子在空間出現(xiàn)的幾率密度，若用點(diǎn)子 疏密 密程度表示粒子在空間出現(xiàn)的幾率密度，這種圖形稱為電子云（描電子波動的一個工具，定性分析，較為形象，但不是真實(shí)的圖像）第16頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四1.1.4 薛定諤（

7、Schodinger）方程 電子在不同的條件下運(yùn)動，其薛定諤方程的具體形式不同，由此得到的波函數(shù)不同 考慮方向時，K為矢量，稱波矢量，以K為自變量的三維坐標(biāo)軸成為K空間，描述電子的行為就在K空間中一維傳播的平面波可以表示為（只體現(xiàn)波動性）引入波數(shù)考慮德布羅意假設(shè)以及歸一化條件，波函數(shù)表示為電子能量第17頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四定態(tài)波函數(shù) 電子運(yùn)動所在的勢場其勢能只是坐標(biāo)的函數(shù)，則電子在其中運(yùn)動狀態(tài)總會達(dá)到一個穩(wěn)定態(tài)，可表示為電子在空間出現(xiàn)的幾率密度和時間無關(guān)薛定諤方程的建立的主要思路因（非相對論形式，E為經(jīng)典粒子動能）此為一維條件下自由電子的薛定諤方程第18頁，共

8、44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四如電子是不自由的，其總能量是勢能和動能之合三維空間中拉普拉斯算符非相對論非定態(tài)形式第19頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四 波函數(shù)的性質(zhì) 有限性：在空間任何有限體積元 V 中找到 歸一性：在空間各點(diǎn)的概率總和必須為1。根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，它應(yīng)有以下性質(zhì)：必須為有限值。粒子的概率 單值性： 連續(xù)性：度在任意時刻、任意位置都是確定的。波函數(shù)應(yīng)單值，從而保證概率密及其一階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。勢場性質(zhì)和邊界條件要求波函數(shù)第20頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四 由于進(jìn)行了量子力學(xué)的基本研究，特別是對波函數(shù)作出的統(tǒng)計(jì)解釋

9、，獲得1954年諾貝爾物理學(xué)獎。玻恩（M.Born，英籍德國人，18821970） 波函數(shù)由薛定諤方程確定，應(yīng)該體現(xiàn)粒子的波粒二象性:波指得是波動性，指粒子能發(fā)生衍射、干涉等現(xiàn)象；粒子性主要指粒子的能量是不連續(xù)的、是量子化的。 在自由狀態(tài)下，E、K都是連續(xù)的，但一般說來電子不可能處于完全自由態(tài)，電子的運(yùn)動總是受到各種限制，稱為束縛態(tài)，束縛態(tài)下的電子的能量E和波矢K都是連續(xù)的都是量子化的第21頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四1.2 金屬的費(fèi)密（Fermi）-索末菲（Sommerfel） 電子理論對固體電子能量結(jié)構(gòu)和狀態(tài)的認(rèn)識，大致分為三個階段1、經(jīng)典自由電子學(xué)說，電子能量服

10、從經(jīng)典麥克斯韋波爾茲曼分布2、量子自由電子學(xué)說，電子能量服從費(fèi)密狄拉克分布3、能帶理論，電子不是完全自由引入了周期勢場 這三個階段體現(xiàn)了人們對電子運(yùn)動認(rèn)識的逐漸深入，對電子運(yùn)動的數(shù)學(xué)描述也更加符合實(shí)際情況。 晶體中的電子與單原子周圍的電子不同，描述電子的主要物理量是能量E第22頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四1.2.1 金屬中自由電子的能級一維情況，建立一維勢阱模型邊界條件0L電子能量代入一維薛定諤方程解得第23頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四由邊界條件則由歸一化條件得由邊界條件得自由電子能量金屬絲中自由電子的能量不是連續(xù)的，是量子化的.波粒二象性中

11、的粒子性主要就是體現(xiàn)在能量量子化第24頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四三維情況類似 區(qū)分電子，以量子數(shù)為量度。若幾個狀態(tài)對應(yīng)同一能級，則稱之為簡并?？紤]到自旋（兩個電子能量相同，自旋角動量大小相同，但方向可以相反，），金屬中的自由電子至少是二重簡并。能級之間能量差很小，稱為準(zhǔn)連續(xù)能譜例如量子數(shù)和波函數(shù)第25頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四1.2.2自由電子能級密度考慮波恩卡曼周期性邊界條件由測不準(zhǔn)關(guān)系 為了計(jì)算金屬中自由電子的能量分布，需要了解電子的能級密度,定義 ，其中Z（E）為E到EdE范圍內(nèi)的總狀態(tài)數(shù)，其意義是單位能量范圍內(nèi)所能容納的電子數(shù)。每

12、個點(diǎn)所占據(jù)K空間體積為單位體積所含電子數(shù)第26頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四考慮電子自旋，能量為E其以下低能級的狀態(tài)總數(shù)為 對E微分自由電子體系只是一個簡單模型，實(shí)際情況更為復(fù)雜二維情況一維情況三維情況第27頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四1.2.3 自由電子按能級分布具有能量為E的狀態(tài)被電子占有的幾率為自由電子分布服從費(fèi)密狄拉克分布為費(fèi)密能，是一個參照能量能量在E和EdE之間的電子數(shù)第28頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四溫度對電子分布的影響 在0K時，能量等于和小于費(fèi)密能的能級全被占滿，而能量大于費(fèi)密能的能級全部空著。0K時

13、的費(fèi)密能是一個重要的物理量于是0K時系統(tǒng)的自由電子數(shù)為n是單位自由體積電子數(shù)第29頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四0K時自由電子平均能量0K時自由電子的能量不為0，與經(jīng)典結(jié)果不同。 這是由于0K時，電子不能都集中到最低能級去，否則違反泡利不相容原理泡利不相容原理類似于一個座位不能坐兩個人第30頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四溫度高于0K條件下可得 只有能量在費(fèi)密能級左右kT范圍內(nèi)的電子，其占有幾率較高，能占據(jù)較高能級。能量很高的電子占有幾率極低1.0第31頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四在溫度高于0K條件下 電子平均能量略有提高

14、，費(fèi)密能略有下降，可以認(rèn)為費(fèi)密能不隨溫度變化 溫度變化時，只有一小部分的電子受到溫度影響。所以量子自由電子學(xué)說正確解釋了金屬電子比熱容較小的原因，其值只有德魯特理論值的百分之一。第32頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四1.3 晶體能帶理論基本知識概述 量子自由電子學(xué)說比較經(jīng)典電子理論有巨大的進(jìn)步，但模型過于簡化，解釋和預(yù)測的實(shí)際問題仍遇到不少困難。鎂是二價金屬，但導(dǎo)電性比銅差隧道效應(yīng)：電子動能小于位壘高度也能穿過固體的導(dǎo)電性有很大差別 能帶理論在量子自由學(xué)說的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步，考慮了晶體原子的周期勢場對電子運(yùn)動的影響，建立的物理模型更加接近事實(shí)，但數(shù)學(xué)描述也更加復(fù)雜。第33頁

15、，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四1.3.1周期勢場中的傳導(dǎo)電子為了簡化數(shù)學(xué)描述，能帶理論假設(shè)：1、點(diǎn)陣是完整的2、晶體無窮大，不考慮表面效應(yīng)3、不考慮離子熱運(yùn)動4、不考慮電子間的相互作用第34頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四Vr+aE1E2周期勢場，對電子的作用準(zhǔn)自由電子第35頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四代入薛定諤方程 得到準(zhǔn)自由電子的波函數(shù)，在勢阱內(nèi)，U=0，電子能級狀態(tài)不受影響，但是在勢阱臨界狀態(tài)，其能級不同于自由電子，出現(xiàn)斷層。P19 圖1.10周期勢場的數(shù)學(xué)描述第36頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期

16、四禁帶起因 周期場的效應(yīng)，在每一個臨界K處，自由電子的能級分裂成兩個不同的能級，即能隙。在兩個能級之間的能量范圍是不允許的，薛定諤方程無類波解。（能帶的分界就是禁帶）電子共有化：由于晶體中原子的周期性排列，價電子不再為單個原子所有的現(xiàn)象。共有化的電子可以在不同原子中的相似軌道上轉(zhuǎn)移，可以在整個固體中運(yùn)動。 能帶 量子子力學(xué)證明，由于晶體中各原子間的相互影響，原來各原子中能量相近的能級將分裂成一系列和原能級接近的新能級。這些新能級基本上連成一片，形成能帶 第37頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四禁帶和允帶：允許被電子占據(jù)的能帶稱為允帶，允許帶之間的范圍是不允許電子占據(jù)的，此范

17、圍稱為禁帶。原子殼層中的內(nèi)層允帶總是被電子先占滿，然后再占據(jù)能量更高的外面一層的允帶。被電子占滿的允許帶稱為滿帶，每一個能級上都沒有電子的能帶稱為空帶。價帶：原子中最外層的電子稱為價電子，與價電子能級相對應(yīng)的能帶稱為價帶。導(dǎo)帶：價帶以上能量最低的允許帶稱為導(dǎo)帶。能帶理論的基本概念 電子進(jìn)入導(dǎo)帶才能進(jìn)行遷移，參與導(dǎo)電。因此固體的導(dǎo)電能力就依賴于導(dǎo)帶中是否有電子占據(jù)，或是導(dǎo)帶下的電子是否能進(jìn)入導(dǎo)帶參與導(dǎo)電滿帶、空帶、價帶、導(dǎo)帶都是允帶第38頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四金屬鎂（12個核外電子）的能帶結(jié)構(gòu) 最上面滿帶和一個空帶重疊1s2s2p3s鎂 (1s2 2s2 2p6

18、3s2 ) 晶體能帶3s 電子可分布在 3p 能帶中滿 帶滿帶未滿帶3p能帶重疊第39頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四E某些一價金屬，如:Li , Na, K, Cu, Al, Ag 最外層導(dǎo)帶 某些二價金屬，如:Be, Ca, Mg, Zn, Ba 滿帶 導(dǎo)帶E 能帶理論應(yīng)用：導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體導(dǎo)電性的巨大差別 在外電場的作用下，電子容易從低能級躍遷到高能級，形成集體的定向流動(電流)，顯出很強(qiáng)的導(dǎo)電能力。 (1)價帶半滿，沒有滿帶，最外層電子就處于導(dǎo)帶 (2)有滿帶，但滿帶和空帶(或?qū)?重疊，電子很容易進(jìn)入導(dǎo)帶導(dǎo)體第40頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4

19、分，星期四E 導(dǎo)帶 滿帶Eg=0.12eV禁帶本征(純凈)半導(dǎo)體半導(dǎo)體本征半導(dǎo)體(intrinsic semiconductor)是指純凈的半導(dǎo)體，導(dǎo)電性能介于導(dǎo)體與絕緣體之間。 能帶結(jié)構(gòu)半導(dǎo)體的禁帶寬度很小(Eg= 0.12eV)，加熱、光照、加電場都能把電子從滿帶激發(fā)到空帶中去，同時在滿帶中形成“空穴”(hole)。(2)導(dǎo)電機(jī)制 在電場作用下，電子和空穴均可導(dǎo)電，它們稱作本征載流子；它們的導(dǎo)電形成半導(dǎo)體的本征導(dǎo)電性。 第41頁，共44頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)4分，星期四E 空帶 導(dǎo)帶 滿帶禁帶Eg=36eV絕緣體禁帶較寬(相對于半導(dǎo)體)，禁帶寬度 Eg = 36 eV 一般的熱激發(fā)、光激發(fā)或外加電場不太強(qiáng)時，滿帶中的電子很難能越過禁帶而被激發(fā)到空帶上去。當(dāng)外電場非