自招競(jìng)賽課程數(shù)學(xué)講義：競(jìng)賽中遞推型數(shù)列不等式問題的求解策略 2

1、文檔編碼 : CB9D5V5I3W9 HX4O4M1I6Y2 ZD3J7O9V1T10自招競(jìng)賽 數(shù)學(xué)“ 競(jìng)賽中遞推型數(shù)列不等式問題的求解策略”講義編號(hào)：學(xué)員：年級(jí)：授課日期：講師：授課方式（在線或線下） ：（線下填）授課教學(xué)點(diǎn)：學(xué)問定位遞推公式背景下的數(shù)列型不等式始終是高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考考查的重點(diǎn)；由于此類問題融函數(shù)、三角和不等式等學(xué)問模塊于一體, 自然滲透著重要的數(shù)學(xué)思想和方法,因此,始終備受命題者的青睞；講義以試題為例,就競(jìng)賽中的遞推型數(shù)列不等式問題的求解策略作一探究；學(xué)問診斷1.（2022 華約）1學(xué)問梳理 回憶數(shù)列中不動(dòng)點(diǎn)法的學(xué)問點(diǎn)；常見題型和方法解析 1 以數(shù)列的通項(xiàng)公式為切入點(diǎn)數(shù)列

2、的通項(xiàng)公式可以分析數(shù)列的基本性質(zhì)（單調(diào)性,有界性等）,為解決數(shù)列型不等式問題供應(yīng)了科學(xué)的決策依據(jù)；因此,求解通項(xiàng)公式就成為解決遞推型數(shù)列不等式問題首選的突破口；例 1設(shè)數(shù)列a nn0中意ma 2n,其中,m、nN mn；證明：a 12,am na mnmn1a 22（1）對(duì)一切 nN ,有1.a n22 a n1a n2;（2）11.a1a 1a 22022（2022,全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽）2例 2設(shè)數(shù)列a n定義為1nN.a 11,an+1=2a n+ 3an2證明：（1）當(dāng)n1時(shí),a n1a n134 a ；（2）1 a 11.112；a 2a n（2022,全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津賽區(qū)

3、預(yù)賽）3例 3已知數(shù)列a n1中意a 11,an112 a n1n1,2,.,S n 為其前n項(xiàng)和；an證明：S n32n12n2 以數(shù)列的遞推公式為切入點(diǎn)盡管數(shù)列的通項(xiàng)公式是刻畫數(shù)列正確的手段,但在處理實(shí)際問題中會(huì)發(fā)覺許多遞推型數(shù)列通項(xiàng)公式的求解過程繁瑣,或遞推公式本身復(fù)雜,有時(shí)甚至無法求解；面對(duì)如此困境時(shí),只能轉(zhuǎn)向遞推公式本 身,寄期望于在遞推公式的適當(dāng)恒等變換中尋求求解思路；例 4已知數(shù)列a n中意N.1.a 11, a n12 a na n1 n證明：當(dāng)n4 時(shí) ,11n1n 21k1a k4例 5設(shè)數(shù)列a n中意a 11, a 22,a na n22 a n11n1.2 a n11

4、求a n1 與a n之間的遞推關(guān)系式a n1f a n;2證明：63a 202278.（2022,全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽）例 6 已知數(shù)列a n中意a 11,a a n1n1 nN.n112n1 1證明：a kk5例 7 已知數(shù)列a n中意a 11 , 3an1an+2 a nnN.n2證明：對(duì)一切nN,有1 a na n11;2an11.24n（2022,全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北賽區(qū)預(yù)賽）63 以數(shù)列的性質(zhì)為切入點(diǎn)例 8已知函數(shù)f x 16x7,數(shù)列a n、b n中意1a ；n4x4a 10,b 10,a nf a n1,b nf b n1n2,3,.（1）求a 的取值范疇,使得對(duì)任意的正整

5、數(shù) 1n ,都有a n（2）如a 13, b 14,證明：0bna n811n1,2,.n（2022,全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西省預(yù)賽）7試題演練1 已知數(shù)列a n中意a 11,a 21,a n1n1 ann2,3,.4nan（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)一切nN,有kn1a k2n7；nN,S n是其前 n 項(xiàng)和；62. 已知數(shù)列a n中意a 11,a n11a42a n證明：當(dāng)n2時(shí),2 n1S n2n1；4（2022,全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽）83. 已知數(shù)列a n中意a 1a 12,a n1n2n42 a nn1,2,.,Sn為其前 n 項(xiàng)和；證明：S n13 4；1 , 2 na

6、223an1n2；a n中意4. 已知數(shù)列證明：對(duì)一切nN ,有kn1ak1；95. 已知數(shù)列a n1中意a 121,an111n;n21nan1nN；2n證明：（ 1）an1n1a2nn（2）a ne 2.講師評(píng)判學(xué)問點(diǎn)課后把握情形所需習(xí)題編號(hào)是否需要課時(shí)加強(qiáng)課后把握情形評(píng)分：1 對(duì)本學(xué)問點(diǎn)毫無所知,聞所未聞；2 明白該學(xué)問點(diǎn),能完成簡(jiǎn)潔的識(shí)記題；3 懂得該學(xué)問點(diǎn),能運(yùn)用其分析解答簡(jiǎn)潔問題；4 把握學(xué)問的意義,但缺乏練習(xí)與手感,解答稍難的題目速度慢；5 深刻明白學(xué)問內(nèi)核,能完成相應(yīng)試題,但有確定的錯(cuò)誤率；6 能夠較嫻熟利用該學(xué)問點(diǎn)解決相關(guān)試題,但題目稍加變形就難以入手；7 熟識(shí)該學(xué)問點(diǎn)各要素,能