考研數(shù)學(xué)二公式高數(shù)線代技巧歸納

1、文檔編碼 : CH3V10Q3P6Y1 HS10P2W8X9V2 ZX7H9O6P2G5名師舉薦細(xì)心整理學(xué)習(xí)必備高等數(shù)學(xué)公式一、常用的等價(jià)無窮小當(dāng) x 0 時(shí)xsinxtan xarcsinxarctan xln（1+ x ） e x -1 a x-1 x ln a 1+ x -1 x 為任意實(shí)數(shù),不愿定是整數(shù) 1-cosx 1 x 22 增加x-sin x 1 x 63對應(yīng)arcsinx x 1 x 63 tan x x 1 x 33 對應(yīng)x - arctan x 1 x 33 二、利用泰勒公式x e= 1 + x + x2o（2 x ）sinxxx3o（x3）2！.3cosx= 1 x2名

2、師舉薦細(xì)心整理學(xué)習(xí)必備2 x ）o（2 x ）ln（1+ x ）= x x2o（2！2導(dǎo)數(shù)公式：tgx2 secxxarcsinx1121x2ctgx2 cscarccosx 1secxsecxtgx1xcscxcscxctgxarctgx1axaxlnax2logaxx1aarcctgx1ln1x2基本積分表：tgxdxlncosxCxdxdxx2 secxdxtgxCCCcos2ctgxdxlnsinxCctgxdxxcsc2xdxsecxdxlnsecxtgxCsin2cscxdxlncscxctgxCsecxtgx dxsecxCdx1arctgxCcscxctgxdxcscxCaxd

3、xaxCa2x2aaadx1lnxaClnx2a22axax2a2shxdxchxCdx1lnaxCchxdxshxCa2x22aaxxdxa2lnxdxarcsinxCa2x2a22sinnxdx2n cosnn1In2CIn00a2a2lnx2 xa22 xa2dxxx2222 xa2dxxx2a2a2lnx2 xa2C222 ax2dxxa2x2a2arcsinxC22a三角函數(shù)的有理式積分：sinx12u2,cosx1u2,utgx,dx2duu1u221u2一些初等函數(shù)：名師舉薦細(xì)心整理學(xué)習(xí)必備兩個(gè)重要極限：雙曲正弦:shxexexexlim x 0sinxx1e2. 7182818

4、28459045.2x雙曲余弦:chxx eexlim x11x2shxx e雙曲正切:thxchxx eexarshxlnxx21）archxlnxx21arthx1ln1x21x三角函數(shù)公式： 誘導(dǎo)公式：函數(shù) 和差角公式：sinsin cos tg ctg 2cos2角 A cos-tg -ctg -sin 90-cossin ctg tg 90+cos-sin -ctg -tg 180-sin -cos-tg -ctg 180+-sin -costg ctg 270-cos-sin ctg tg 270+-cossin -ctg -tg 360-sin cos-tg -ctg 360+s

5、in costg ctg 和差化積公式：sincoscossinsinsin2sincoscoscossinsintgtgtgsinsin2cos2sin21tgtgcoscos2cos2cos2ctgctgctg1ctgctgcoscos2sinsin22 倍角公式：sin22sincos名師舉薦細(xì)心整理學(xué)習(xí)必備cos2122 cos1112 sin22 cossin2sin33 sin4sin3ctg2ctg2cos 343 cos33cos2 ctgtg33 tgtgtg22 tg13 tg2tg2 半角公式：sin21coscos221coscosuvn1sin22tg21cos1co

6、s1sinctg21cos11cossincos1cossincos 正弦定理：aAbBcC2R 余弦定理：c2ab22abcosCsinsinsinarcctgx 反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx2arccosxarctgx2高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz）公式：uv nnCkunkvk1 unkvkknk0n1 un2vnn1nunvnun1 vn 2 .k .中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f b f afba 柯西中值定理：f bfa f 拉格朗日中值定理；F bFa F當(dāng)F x x 時(shí),柯西中值定理就是曲率：弧微分公式：ds1y2dx ,其中ytg化量；s：M M弧長；平均

7、曲率：Ks.:從M點(diǎn)到M點(diǎn),切線斜率的傾角變M點(diǎn)的曲率：Klim s 0sd 1yy23.ds直線：K;01 a.半徑為a 的圓：K名師舉薦細(xì)心整理學(xué)習(xí)必備定積分的近似運(yùn)算：bx x bnay 0y 1y ny n1yyn1yn24 y 1y 3yn1矩形法：fbabx na1y 0y 1梯形法：f2abfbay0yn2 y24拋物線法：3 na定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功：WFsk 為引力系數(shù)水壓力：FpA引力：Fkm 1m 2,r2函數(shù)的平均值：yb1abfx dx均方根：b1abf2aa t dt多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分：dzzdxzdyduu xdxyu ydyyudzxyz全微分的近似運(yùn)

8、算：zdzfxx ,yxfx ,y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：uzvzfu t,v tdzzdtutvtvzfu x ,y,v x ,yzzuzxuxvx當(dāng)uu x ,y,vv x ,y 時(shí),v xdxv ydyduudxudydvxy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：隱函數(shù)Fx ,yz 0,dydxFx2,d2 ydxxF xyF xdyFyFyF ydx隱函數(shù)Fx ,y ,0,zxFx,zyFyFzF z隱函數(shù)方程組：Fx ,y, u,名師舉薦J細(xì)心整理FF學(xué)習(xí)必備v 0F,GF uF vu Gv GGx ,y ,u,v 0u ,v G uG vuvu1F,Gv1F,GxJx ,v xJ u,xu1F,Gv1F

9、,GyJy ,v yJ u,y 微分法在幾何上的應(yīng)用：方向?qū)?shù)與梯度：多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè)fxx0,y0fyx0,y00,令：fxxx 0,y0A,fxyx 0,y 0B,fyyx0,y 0C0 時(shí),A0 ,x0,y0為極大值A(chǔ)CB2就：A,0 x0,y0為微小值A(chǔ)CB20 時(shí),無極值A(chǔ)CB20 時(shí),不確定重積分及其應(yīng)用：fx ,y dxdyfrcos,rsinrdrdz2dxdyx2x ,ydDD曲面zfx ,y 的面積AD1z2xy平面薄片的重心：xMxDxx ,y d,yMyDyx ,y dMx ,ydMx ,y dDD平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于x 軸Ixy2x ,y d,對于y 軸

10、IyD 0 0, ,a, a0 的引力：FDFy,Fz ,其中：平面薄片（位于xoy 平面）對z 軸上質(zhì)點(diǎn)MFx,F xfDx2x ,yxd23,FyfDx2x ,y yd23,Fzfax ,y xdy2a23y2a2y2a2Dx22名師舉薦細(xì)心整理學(xué)習(xí)必備微分方程的相關(guān)概念：一階微分方程：yfx,y或P x,ydxQx,ydy0u,可分別變量的微分方程：一階微分方程可以化為gydyfxdx 的形式,解法：gy dyfxdx得：GyFxC稱為隱式通解；齊次方程：一階微分方程可以寫成dyfx,yx,y ,即寫成y的函數(shù),解法：dxx設(shè)uy,就dyuxdu,uduu,dxduu分別變量,積分后將y

11、代替xdxdxdxxux即得齊次方程通解；一階線性微分方程：1、一階線性微分方程：dyPxyQx PxdxdxCePxdxdx當(dāng)Q x0 時(shí),為齊次方程,yCePx dx當(dāng)Q x0 時(shí),為非齊次方程,yQxe2、貝努力方程：dyPxyQxyn, n01, dx全微分方程：假如Px ,y dxQx ,y dy0 中左端是某函數(shù)的全微分方程,即：y ,uQx ,y P x,y dxQ x ,y dy0,其中：uPx ,dux ,y xyux ,yC 應(yīng)當(dāng)是該全微分方程的通解；二階微分方程：d2yP xdyQx yfx,fx 0 時(shí)為齊次dx2dxfx 0 時(shí)為非齊次二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解

12、法：*yp yqy0,其中p,q 為常數(shù)；求解步驟：1、寫出特點(diǎn)方程：r2prq0,其中r2,r的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是*式中y,y,y 的系數(shù)；2、求出式的兩個(gè)根r1,r2出 *式的通解：3、依據(jù)r 1r2 的不同情形,按下表寫r 1, 2 的形式* 式的通解兩個(gè)不相等實(shí)根p24 q0 yc 1e r 1xc 2e r 2x兩個(gè)相等實(shí)根p24 q0 名師舉薦細(xì)心整理x re 1x學(xué)習(xí)必備y c 1c 2一對共軛復(fù)根p2r 24 q0 p2yexc 1cosxc2sinx r 1i,ip,4 q22二階常系數(shù)非齊次線性微分方程yxpyxqyfx ,p,q為常數(shù)x 型feP mx 型,為常數(shù)；fxe

13、xPx cosxP nxsin1、 行 列 式1. 2.3.4.5.n行列式共有2 n 個(gè)元素,開放后有n 項(xiàng),可分解為2n 行列式；代數(shù)余子式的性質(zhì)：、A 和a 的大小無關(guān)；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為A ；代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Miji 1jA ijA iji 1jMij設(shè) n行列式 D ：將 D 上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn),所得行列式為D ,就D 1 1n n1D ；2n n1將 D 順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 ,所得行列式為D ,就D2 12D ；將 D 主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置）,所得行列式為D ,就D 3D ；將

14、D 主副角線翻轉(zhuǎn)后,所得行列式為D ,就D4D ；行列式的重要公式：、主對角行列式：主對角元素的乘積；、副對角行列式：副對角元素的乘積n n1A 1m nA B 12；、上、下三角行列式（）：主對角元素的乘積；、 和 ：副對角元素的乘積n n1 12；、拉普拉斯開放式：AOACA B、CAOCBOBBOBC、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積；、特點(diǎn)值；6.對于 n 階行列式名師舉薦nk細(xì)心整理nk學(xué)習(xí)必備A ,恒有：EAnk 1S k,其中S 為 k 階主子式；17.證明A0的方法：、 AA ；、反證法；、構(gòu)造齊次方程組Ax0,證明其有非零解；、利用秩,證明r An ；、證明 0 是其特點(diǎn)

15、值；2 、 矩 陣1. A是 n 階可逆矩陣：A 0（是非奇妙矩陣）；r A n （是滿秩矩陣）A 的行（列）向量組線性無關(guān)；齊次方程組 Ax 0 有非零解；b R , Ax b 總有唯獨(dú)解；A 與 E 等價(jià)；A 可表示成如干個(gè)初等矩陣的乘積；A 的特點(diǎn)值全不為 0；TA A 是正定矩陣；2. 3.4. 5.A 的行（列）向量組是n R 的一組基；A 是n R 中某兩組基的過渡矩陣；對于 n 階矩陣 A ：* AA* A AA E 無條件恒 成立；A1*A*1A1TT A1* ATT A*ABTT B ATAB* *B AAB1B1A1矩陣是表格,推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值,可求代數(shù)

16、和；關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論,其中均A 、 B 可逆：A 1如AA 2,就：A s、AA 1A 2A ；1；、A1A 11A 21、AO1A1OA s1；（主對角分塊）OBOB、OA1O1名師舉薦細(xì)心整理學(xué)習(xí)必備B1；（副對角分塊）BOAO、AC1A11 A CB1；（拉普拉斯）OBOB1、AO11；（拉普拉斯）A1OCB1 B CA1B3、 矩 陣 的 初 等 變 換 與 線 性 方 程 組1.一 個(gè) mn 矩 陣 A , 總 可 經(jīng) 過 初 等 變 換 化 為 標(biāo) 準(zhǔn) 形 , 其 標(biāo) 準(zhǔn) 形 是 唯 一 確 定 的：FErOmn；OO等價(jià)類： 全部與 A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合,單的矩陣；稱

17、為一個(gè)等價(jià)類； 標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡2.對于同型矩陣A 、 B ,如r Ar BAB ；行最簡形矩陣：、只能通過初等行變換獲得；3.x、每行首個(gè)非0 元素必需為1；、每行首個(gè)非0 元素所在列的其他元素必需為0；初等行變換的應(yīng)用： （初等列變換類似,或轉(zhuǎn)置后接受初等行變換）且、如 A ErE,X ,就 A可逆,且XA1；、對矩陣 A B 做初等行變化, 當(dāng) A變?yōu)?E 時(shí),B 就變成A1B ,即：A Bc1 E A B ；、求解線形方程組：對于 n 個(gè)未知數(shù) n個(gè)方程 Axb ,假如A b , rE x ,就 A可逆,A b ；4.初等矩陣和對角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換仍是列變換,由其位置準(zhǔn)

18、備：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；1、2,左乘矩陣A ,i乘 A 的各行元素；右乘,i乘 A 的各列元n素；、對調(diào)兩行或兩列, 符號E i j ,且E i j , i1E i j , ,例如：111 i111；1 、 倍 乘 某 行 或 某 列 , 符 號Ek , 且Eik1 E 1k, 例 如 ：1k11111k名師舉薦細(xì)心整理學(xué)習(xí)必備0；k15.6. 、 倍 加 某 行 或 某 列 , 符 號E ij k, 且E ij k 1E ijk, 如 ：k11k11k0；11矩陣秩的基本性質(zhì)：、 0r A mnminm n ；、T r Ar A ；、如 AB ,就r A r B ；、如 P

19、、 Q 可逆,就r Ar PAr AQr PAQ ；（ 可逆矩陣不影響矩陣的秩）、 max r A , r B r A Br A r B ；（ ）、r ABr Ar B ；（ ）、r ABminr A, r B ；（ ）、假如 A是 mn矩陣, B 是 ns 矩陣,且AB0,就：（ ）、 B 的 列向量全部是齊次方程組AX0解（轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論）；、r Ar Bn、如 A 、 B 均為 n 階方陣,就r ABr A r Bn ；三種特殊矩陣的方冪：、秩為 1 的矩陣：確定可以分解為列矩陣（向量）行矩陣（向量） 的形式,再接受結(jié)合律；a1ac1開n0m m nC a b式；rCrnCr：、型如0

20、1b的矩陣：利用二項(xiàng)開放式；001二項(xiàng)展b n0 C an1 nC a11 bm C anmm bCn1 1 na bn nC bmnm注：、 ab n開放后有n1項(xiàng)；Cn n1、Cmn n1nmm1n.m.C0nnn0Cr2n1 1；1 2 3m n1、組合的性質(zhì)：CmCnmCm1CmCmnnnnnrnnn、利用特點(diǎn)值和相像對角化：7.相伴矩陣：r A*nr An1；、相伴矩陣的秩：1r An0r An1、相伴矩陣的特點(diǎn)值：名師舉薦* X A細(xì)心整理* A XA學(xué)習(xí)必備AAXA A1X ；、A *A A 1、A *A n 18. 關(guān)于 A 矩陣秩的描述：、r A n , A中有 n階子式不為

21、 0,n 1 階子式全部為 0；（兩句話）、r A n , A中有 n階子式全部為 0；、r A n , A中有 n階子式不為 0；9. 線性方程組：Ax b,其中 A為 m n 矩陣,就：、 m 與方程的個(gè)數(shù)相同,即方程組 Ax b 有 m 個(gè)方程；、 n 與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同,方程組 Ax b 為 n 元方程；10. 線性方程組 Ax b 的求解：、對增廣矩陣 B 進(jìn)行初等行變換（只能使用初等行變換）；、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；11.由 n個(gè)未知數(shù) m 個(gè)方程的方程組構(gòu)成n 元線性方程：A為 mn 矩陣, m 個(gè)方程,a x 1a x2a xnb 1A

22、xb（向量方程,、a x 1a x2a xnb 2；a m1x 1am2x 2a nmxnb na 11a 12a 1 nx 1b 1、a21a 22a2nx2b 2a m 1a m2amnxmb mn 個(gè)未知數(shù)）x 1b 1、a 1a2anx 2（全部按列分塊,其中b 2）；x nb n、a x 1 1a x 2 2a x nn（線性表出）、有解的充要條件：r Ar A,n （ n 為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)）4、 向 量 組 的 線 性 相 關(guān) 性1.m 個(gè) n維列向量所組成的向量組A：1,2,m構(gòu)成 n m 矩陣A1,2,m；T1m 個(gè) n維行向量所組成的向量組B ：T,T,T m構(gòu)成 mn

23、矩陣BT；212Tm含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)；2.、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)Ax0有、無非零解； （齊次線性方程組）、向量的線性表出Axb是否有解；（線性方程組）、向量組的相互線性表示AXB 是否有解；（矩陣方程）3.矩陣A m n與B ln名師舉薦細(xì)心整理學(xué)習(xí)必備Bx0同解；行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程組Ax0和4.P 101例 14 10 ；T r A Ar A ；P 101例 15 5.n維向量線性相關(guān)的幾何意義：、線性相關(guān)6.、,線性相關(guān),坐標(biāo)成比例或共線（平行）；、,線性相關(guān),共面；線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：如1,2,s線性相關(guān),就,2,s,s必線性相關(guān)；如1

24、,2,s線性無關(guān),就1,2,s1必線性無關(guān)；（向量的個(gè)數(shù)加加減減,二者為對偶）如 r 維向量組 A 的每個(gè)向量上添上 n r 個(gè)重量,構(gòu)成 n維向量組 B ：如 A線性無關(guān),就 B 也線性無關(guān)；反之如 B 線性相關(guān),就 A 也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān),反之,不確定；7.8.9.向量組 A（個(gè)數(shù)為 r ）能由向量組B（個(gè)數(shù)為 s）線性表示, 且 A 線性無關(guān), 就 rs二版P 定理 7；74向量組 A 能由向量組B 線性表示,就r Ar B ；（P 定理 3）向量組 A 能由向量組B線性表示AXB 有解；r Ar A B （P 定理 2）向量組 A 能由向量組

25、B 等價(jià)r Ar Br A B （P 定理 2 推論 ）方陣 A 可逆存在有限個(gè)初等矩陣P P 2,P ,使AP P 2P ；、矩陣行等價(jià)：Ar BPAB （左乘, P 可逆）Ax0與Bx0同解、矩陣列等價(jià)：Ac BAQB （右乘, Q 可逆）；、矩陣等價(jià)：ABPAQB （ P 、 Q 可逆）；對于矩陣A m n與Bln：、如 A 與 B 行等價(jià),就A與 B 的行秩相等；、如 A與 B 行等價(jià),就Ax0與Bx0同解,且A與 B 的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；、矩陣的初等變換不轉(zhuǎn)變矩陣的秩；、矩陣 A的行秩等于列秩；10.如A m sBs nCmn,就：A 的列向量組線性表示,B 為

26、系數(shù)矩陣；、 C 的列向量組能由、 C 的行向量組能由B 的行向量組線性表示,T A 為系數(shù)矩陣； （轉(zhuǎn)置）11.齊次方程組Bx0名師舉薦0細(xì)心整理學(xué)習(xí)必備而無需證的解確定是ABx的解, 考試中可以直接作為定理使用,明；、ABx 0 只有零解 Bx 0 只有零解；、Bx 0 有非零解 ABx 0 確定存在非零解；12. 設(shè)向量組 B n r : b b 1 2 , , b 可由向量組 r A n s : a 1 , a 2 , , a 線性表示為： （s P 110 題 19 結(jié)論 ） b b 2 , , b r a a 2 , , a s K （ B AK ）其中 K 為 s r ,且 A線性無關(guān), 就 B 組線性無關(guān) r K r ；（ B 與 K 的列向量組具有相同線性相關(guān)性）（必要性：r r B r AK r K , r K r , r K r ；充分性：反證法）注：當(dāng) r s時(shí), K 為方陣,可當(dāng)作定理使用；13. 、對矩陣 A m n,存在 Q n m,AQ E m r A m 、 Q 的列向量線性無關(guān)； （P ）87、對矩陣 A m n,存在 P n m,PA E n r A n 、 P 的行向量線性無關(guān)；14. 1 , 2 , , s線性相關(guān)存在一組不全為 0 的數(shù) k k 1 2 , , k