2023屆新高考數(shù)學之圓錐曲線綜合講義第11講 阿基米德三角形問題含解析

1、2023屆新高考數(shù)學之圓錐曲線綜合講義第11講 阿基米德三角形問題一、解答題 1設定點F(0，1)，動點E滿足：以EF為直徑的圓與x軸相切.（1）求動點E的軌跡C的方程；（2）設A，B是曲線C上的兩點，若曲線C在A，B處的切線互相垂直，求證：A，F(xiàn)，B三點共線.2如圖，已知拋物線的焦點為F過點的直線交拋物線于A，B兩點，直線AF，BF分別與拋物線交于點M，N （）求的值；（）記直線MN的斜率為，直線AB的斜率為證明：為定值3已知拋物線C：x22py（p0），直線l交C于A，B兩點，且A，B兩點與原點不重合，點M（1，2）為線段AB的中點（1）若直線l的斜率為1，求拋物線C的方程；（2）分別過A

2、，B兩點作拋物線C的切線，若兩條切線交于點S，證明點S在一條定直線上4已知拋物線C：x22py（p0），F(xiàn)為拋物線C的焦點以F為圓心，p為半徑作圓，與拋物線C在第一象限交點的橫坐標為2（1）求拋物線C的方程；（2）直線ykx+1與拋物線C交于A，B兩點，過A，B分別作拋物線C的切線l1，l2，設切線l1，l2的交點為P，求證：PAB為直角三角形5已知拋物線的焦點為，過點的直線分別交拋物線于兩點（1）若以為直徑的圓的方程為，求拋物線的標準方程；（2）過點分別作拋物線的切線，證明：的交點在定直線上6已知動點在軸上方，且到定點距離比到軸的距離大.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點的直線與曲線交于，

3、兩點，點，分別異于原點，在曲線的，兩點處的切線分別為，且與交于點，求證：在定直線上.7已知圓C：x2y22x2y10和拋物線E：y22px(p0)，圓心C到拋物線焦點F的距離為（1）求拋物線E的方程；（2）不過原點的動直線l交拋物線E于A，B兩點，且滿足OAOB求證直線l過定點；設點M為圓C上任意一動點，求當動點M到直線l的距離最大時直線l的方程8已知拋物線的焦點為，是拋物線上的兩個動點，且，過，兩點分別作拋物線的切線，設其交點為.（1）若直線與，軸分別交于點，且的面積為，求的值；（2）記的面積為，求的最小值，并指出最小時對應的點的坐標.9已知以動點為圓心的與直線：相切，與定圓：相外切.（）求

4、動圓圓心的軌跡方程；（）過曲線上位于軸兩側的點、（不與軸垂直）分別作直線的垂線，垂足記為、，直線交軸于點，記、的面積分別為、，且，證明：直線過定點.10已知點是拋物線的頂點，是上的兩個動點，且.（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設點是的外接圓的圓心，點到軸的距離為，點，求的最大值.11已知點是拋物線的頂點，是上的兩個動點，且.（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設點是的外接圓的圓心，求點的軌跡方程.12拋物線的焦點為，過且垂直于軸的直線交拋物線于兩點，為原點，的面積為2.（1）求拋物線的方程.（2）為直線上一個動點，過點作拋物線的切線，切點分別為，過點作的垂線，垂足為，是否存在實

5、數(shù)，使點在直線上移動時，垂足恒為定點？若不存在，說明理由；若存在，求出的值，并求定點的坐標.13已知拋物線：的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準線于兩點（）若在線段上，是的中點，證明；（）若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.14如圖，設拋物線y2（）求p的值；（）若直線AF交拋物線于另一點B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，AN與x軸交于點M.求M的橫坐標的取值范圍.15如圖，已知點是軸左側（不含軸）一點，拋物線上存在不同的兩點、，滿足、的中點均在拋物線上.（1）求拋物線的焦點到準線的距離；（2）設中點為，且，證明：；（3）若是曲線（）上的動點，求面積的最

6、小值.16設拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.（1）求APB的重心G的軌跡方程.（2）證明PFA=PFB17如下圖，設拋物線方程為，M為直線上任意一點，過引拋物線的切線，切點分別為，（）設線段的中點為；（）求證：平行于軸；（）已知當點的坐標為時，求此時拋物線的方程；（）是否存在點，使得點關于直線的對稱點在拋物線上，其中，點滿足（為坐標原點）若存在，求出所有適合題意的點的坐標；若不存在，請說明理由第11講 阿基米德三角形問題一、解答題 1設定點F(0，1)，動點E滿足：以EF為直徑的圓與x軸相切.（1）求動點E的軌跡C的方

7、程；（2）設A，B是曲線C上的兩點，若曲線C在A，B處的切線互相垂直，求證：A，F(xiàn)，B三點共線.【答案】（1）x24y；（2）證明見解析.【分析】（1）設E點坐標為(x，y)，由E到x軸的距離等于即可求解.（2）設A，B兩點的坐標分別為，利用導數(shù)求出曲線在A，B處切線的斜率，從而可得x2，再求出的斜率，證出 kAFkAB，即證.【詳解】（1）設E點坐標為(x，y)，則EF中點為圓心，設為E，則E點坐標為.E到x軸的距離等于，即，化簡得x24y.點E的軌跡C的方程為x24y.（2）證明：由（1）知，曲線C是以F為焦點的拋物線，其方程可化為yx2，設A，B兩點的坐標分別為，曲線方程為yx2，yx，

8、曲線在A，B處切線的斜率分別為k1x1，k2x2，k1k21，x1x21，x2，A，B兩點連線的斜率為kABx1，A，F(xiàn)兩點連線的斜率為kAFx1kAB，A，B，F(xiàn)三點共線.【點睛】關鍵點點睛：本題考查了三點共線，可以證明直線的斜率相等，解題的關鍵是根據(jù)A，B兩點的坐標求出x2，考查了計算求解能力.2如圖，已知拋物線的焦點為F過點的直線交拋物線于A，B兩點，直線AF，BF分別與拋物線交于點M，N （）求的值；（）記直線MN的斜率為，直線AB的斜率為證明：為定值【答案】（1），；（2）【解析】試題分析：（）依題意，設直線AB的方程為x=my+2(m0)，與拋物線方程聯(lián)立消x得關于y的一元二次方程

9、，根據(jù)韋達定理即可求得y1y2；（）設M(xM，yM)，N(xN，y試題解析：證明：（）依題意，設直線AB的方程為x=my+2(m0)將其代入，消去x，整理得y2-4my-8=0從而y（）AF：y=y1x1由韋達定理得，y1yk1考點：1拋物線的簡單性質(zhì)；2直線與拋物線的性質(zhì)3已知拋物線C：x22py（p0），直線l交C于A，B兩點，且A，B兩點與原點不重合，點M（1，2）為線段AB的中點（1）若直線l的斜率為1，求拋物線C的方程；（2）分別過A，B兩點作拋物線C的切線，若兩條切線交于點S，證明點S在一條定直線上【答案】（1）x22y（2）證明見解析【分析】（1）設直線的方程為，代入拋物線方程

10、，消去，設，運用韋達定理，以及中點坐標公式，可得，即可得到所求拋物線方程；（2）求得的導數(shù)，可得拋物線在，處的切線的斜率，由點斜式方程和點，滿足拋物線方程，可得在，處的切線方程，聯(lián)立兩切線方程，相加，結合中點坐標公式，即可得到所求點所在的定直線方程【詳解】解：（1）設直線的方程為，代入拋物線，可得，設，則，點為線段的中點，可得，即，則拋物線的方程為；（2）證明：設，點為線段的中點，可得，由的導數(shù)為，可得拋物線在處的切線斜率為，切線方程為，由，可得，同理可得，可得，即為，即可得交點在一條定直線上【點睛】本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關系，考查計算能力，屬于中檔題4已知拋物

11、線C：x22py（p0），F(xiàn)為拋物線C的焦點以F為圓心，p為半徑作圓，與拋物線C在第一象限交點的橫坐標為2（1）求拋物線C的方程；（2）直線ykx+1與拋物線C交于A，B兩點，過A，B分別作拋物線C的切線l1，l2，設切線l1，l2的交點為P，求證：PAB為直角三角形【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由題意可得M點的坐標為，代入拋物線方程，即可求出p的值；（2）設，利用導數(shù)的幾何意義得到A，B兩點處的切線斜率分別為，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達定理得到k1k21，從而得到PAB為直角三角形【詳解】（1）記拋物線C與圓F在第一象限的交點為M，由圓F與拋物線C的準線相切，且M到拋物

12、線C準線的距離等于圓F的半徑，所以M點的坐標為，代入拋物線方程得：，所以，所以拋物線的方程為.（2）設，由，可得y，則，所以A，B兩點處的切線斜率分別為，由，得，所以，所以，所以，即為直角三角形【點睛】本題主要考查拋物線的標準方程的求解、及直線與拋物線的位置關系的綜合應用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與拋物線方程，應用一元二次方程根與系數(shù)的關系進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等5已知拋物線的焦點為，過點的直線分別交拋物線于兩點（1）若以為直徑的圓的方程為，求拋物線的標準方程；（2）過點分別作拋物線

13、的切線，證明：的交點在定直線上【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義可求圓心到準線的距離為，從而可求拋物線的方程（2）設，利用導數(shù)求出兩點處的切線方程，從而可求的交點的坐標，再聯(lián)立直線和拋物線的方程可得，從而可得的交點的縱坐標為定值，故的交點在定直線上【詳解】（1）設中點為，到準線的距離為，到準線的距離為，到準線的距離為，則且.由拋物線的定義可知，所以，由梯形中位線可得，所以，可得，所以拋物線的標準方程為.（2）證明：設，由，得，則，所以直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立得，解得，即直線的交點坐標為.因為過焦點，由題可知直線的斜率存在，故可設直線方程為，代入拋物線中，得

14、，所以，故，所以的交點在定直線上【點睛】關鍵點點睛：拋物線中過焦點的弦長問題要注意利用定義轉(zhuǎn)化為到準線的距離問題，對于焦點在軸上的拋物線的切線問題，可以利用導數(shù)來求切線方程，從而簡化運算6已知動點在軸上方，且到定點距離比到軸的距離大.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點的直線與曲線交于，兩點，點，分別異于原點，在曲線的，兩點處的切線分別為，且與交于點，求證：在定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）設，由到定點距離比到軸的距離大，可得，化簡可得點的軌跡的方程；（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為，設直線的方程為與聯(lián)立，設，可得，的值，又，所以，可得切線的方程，同理可得切線的方

15、程，求出交點坐標，可得其在定直線上.【詳解】解：（1）設，則有，化簡得，故軌跡的方程為.（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為，設直線的方程為與聯(lián)立得，設，則，又，所以，所以切線的方程為，即，同理切線的方程為聯(lián)立得，.兩式消去得，當時，所以交點的軌跡為直線，去掉點.因而交點在定直線上.【點睛】本題主要考查軌跡方程的求法，直線與拋物線的位置關系等知識，考查學生的綜合計算能力，屬于難題.7已知圓C：x2y22x2y10和拋物線E：y22px(p0)，圓心C到拋物線焦點F的距離為（1）求拋物線E的方程；（2）不過原點的動直線l交拋物線E于A，B兩點，且滿足OAOB求證直線l過定點；設點M為圓C上任意

16、一動點，求當動點M到直線l的距離最大時直線l的方程【答案】（1）y212x；（2）證明見解析；13xy1560【分析】(1) 根據(jù)題意圓心到拋物線焦點距離，利用兩點之間距離公式計算可得結果（2）設直線方程，聯(lián)立拋物線，結合條件求得兩根之和與兩根之積，解得得到定點，再得出點到線距離最大時的直線方程【詳解】(1)圓C：x2y22x2y10，可得圓心C(1，1)，半徑r1，拋物線E：y22px(p0)的焦點，準線方程為，圓心C到拋物線焦點F的距離為,即有解得p6，即拋物線方程為y212x.(2)證明：設直線l的方程為xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 整理得：y212my12t0，所以

17、y1y212m，y1y212t由于OAOB則x1x2y1y20即(m21)y1y2mt(y1y2)t20整理得t212t0，由于t0，解得t12故直線的方程為xmy12，直線經(jīng)過定點P(12，0)當CPl且動點M經(jīng)過PC的延長線時，動點M到動直線l的距離取得最大值 ，則此時直線l的方程為：，即13xy1560【點睛】本題在解答直線與拋物線位置關系時需設出直線方程，這里給出形式的直線方程，方便計算，根據(jù)題目意思解得直線恒過定點，再結合題意，求得當與直線垂直時的直線方程即可.8已知拋物線的焦點為，是拋物線上的兩個動點，且，過，兩點分別作拋物線的切線，設其交點為.（1）若直線與，軸分別交于點，且的面

18、積為，求的值；（2）記的面積為，求的最小值，并指出最小時對應的點的坐標.【答案】(1)2;(2)有最小值4，此時.【分析】（1）先求出以點為切點的拋物線的切線方程，得出，利用面積求出點的縱坐標，然后求出（2）先分別寫出直線PA，PB方程，利用都過點P寫出直線，代入拋物線方程利用弦長公式求出，及點到直線的距離，寫出表達式及最值【詳解】（1）設，則，拋物線方程寫成，則以點為切點的拋物線的切線的方程為：，又，即， ，故 ，從而. （2）由（1）知，即：，同理，由直線，都過點，即，則點，的坐標都滿足方程，即直線的方程為：，又由直線過點， 聯(lián)立得， ，點到直線的距離， ， 當且僅當時，有最小值4，此時.

19、【點睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，考查導數(shù)知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題9已知以動點為圓心的與直線：相切，與定圓：相外切.（）求動圓圓心的軌跡方程；（）過曲線上位于軸兩側的點、（不與軸垂直）分別作直線的垂線，垂足記為、，直線交軸于點，記、的面積分別為、，且，證明：直線過定點.【答案】（）；（）詳見解析.【分析】（）根據(jù)題意，點到直線的距離與到的距離相等，由拋物線的定義可得解；（）設、，用坐標表示、，利用韋達定理，代入即得解.【詳解】（）設，半徑為，則，所以點到直線的距離與到的距離相等，故點的軌跡方程為.（）設，則、設直線：（）代入中得，、又直線恒過【點睛

20、】本題考查了直線和拋物線綜合，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.10已知點是拋物線的頂點，是上的兩個動點，且.（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設點是的外接圓的圓心，點到軸的距離為，點，求的最大值.【答案】（1）不在，證明見詳解；（2）【分析】（1）假設直線方程，并于拋物線方程聯(lián)立，結合韋達定理，計算，可得，然后驗證可得結果.（2）分別計算線段中垂線的方程，然后聯(lián)立，根據(jù)（1）的條件可得點的軌跡方程，然后可得焦點，結合拋物線定義可得，計算可得結果.【詳解】（1）設直線方程，根據(jù)題意可知直線斜率一定存在，則則由所以將代入上式化簡可得，所以則直線方程為，所以直線過定

21、點，所以可知點不在直線上.（2）設線段的中點為線段的中點為則直線的斜率為，直線的斜率為可知線段的中垂線的方程為由，所以上式化簡為即線段的中垂線的方程為同理可得：線段的中垂線的方程為則由（1）可知：所以即，所以點軌跡方程為焦點為，所以當三點共線時，有最大所以【點睛】本題考查直線于拋物線的綜合應用，第（1）問中難點在于計算處，第（2）問中關鍵在于得到點的軌跡方程，直線與圓錐曲線的綜合常常要聯(lián)立方程，結合韋達定理，屬難題.11已知點是拋物線的頂點，是上的兩個動點，且.（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設點是的外接圓的圓心，求點的軌跡方程.【答案】（1）點在直線上，理由見解析（2）【分析】（1

22、）由拋物線的方程可得頂點的坐標，設直線的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出數(shù)量積，再由題意可得直線恒過，即得在直線上；（2）設，的坐標，可得直線，的斜率及線段，的中點坐標，進而求出線段，的中垂線的方程，兩個方程聯(lián)立求出外接圓的圓心的坐標，由（1）可得的橫縱坐標關于參數(shù)的表達式，消參數(shù)可得的軌跡方程【詳解】(1) 點在直線上.理由如下，由題意, 拋物線的頂點為因為直線與拋物線有2個交點，所以設直線AB的方程為聯(lián)立得到，其中，所以，因為所以，所以，解得，經(jīng)檢驗，滿足，所以直線AB的方程為，恒過定點.（2）因為點是的外接圓的圓心，所以點是三角形三條邊的中垂線的交點，設線段的中點為，線段的

23、中點為為，因為，設，所以，所以線段的中垂線的方程為：，因為在拋物線上，所以，的中垂線的方程為：，即，同理可得線段的中垂線的方程為：，聯(lián)立兩個方程，解得，由（1）可得，所以，即點，所以，即點的軌跡方程為：【點睛】本題考查求直線恒過定點的方程及直三角形外接圓的性質(zhì)，和直線與橢圓的綜合應用，屬于難題12拋物線的焦點為，過且垂直于軸的直線交拋物線于兩點，為原點，的面積為2.（1）求拋物線的方程.（2）為直線上一個動點，過點作拋物線的切線，切點分別為，過點作的垂線，垂足為，是否存在實數(shù)，使點在直線上移動時，垂足恒為定點？若不存在，說明理由；若存在，求出的值，并求定點的坐標.【答案】（1）；（2）存在這樣

24、的，當時，坐標為.【分析】（1）先根據(jù)拋物線的性質(zhì)，結合題中條件，得到，由三角形面積列出方程求出，即可得出拋物線方程；（2）先設，直線的方程為，根據(jù)直線與拋物線相切，得到，進而推出的方程為，根據(jù)，得到方程，由兩直線方程，即可求出，確定出結果.【詳解】（1）由題意得，點的縱坐標均為，由，解得，則，由，解得，故拋物線的方程為.（2）假設存在實數(shù)，使點在直線上移動時，垂足恒為定點，設，直線的方程為，將拋物線方程變形為，則，所以，所以的方程為.因為，所以直線的方程為.把代入的方程得.同理可得構造直線方程為，易知兩點均在該直線上，所以直線的方程為.故恒過點.因為，所以可設方程為，化簡得所以恒過點.當，即

25、時，與均恒過，故存在這樣的，當時，坐標為.【點睛】關鍵點點睛：求解本題第二問的關鍵在于用分別表示出直線和的方程；根據(jù)題中條件，先設點的坐標，以及直線的方程，由直線與拋物線相切，得出直線方程，推出的方程，進而確定的方程，即可求解.13已知拋物線：的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準線于兩點（）若在線段上，是的中點，證明；（）若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.【答案】（）見解析；（）【分析】設的方程為（）由在線段上，又；（）設與軸的交點為（舍去），設滿足條件的的中點為當與軸不垂直時當與軸垂直時與重合所求軌跡方程為【詳解】由題設，設，則，且記過兩點的直線為，則的方程為 （）由于在

26、線段上，故，記的斜率為的斜率為，則，所以 （）設與軸的交點為，則，由題設可得，所以（舍去），設滿足條件的的中點為當與軸不垂直時，由可得而，所以當與軸垂直時，與重合，所以，所求軌跡方程為【點睛】本題考查了1.拋物線定義與幾何性質(zhì)；2.直線與拋物線位置關系；3.軌跡求法14如圖，設拋物線y2（）求p的值；（）若直線AF交拋物線于另一點B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，AN與x軸交于點M.求M的橫坐標的取值范圍.【答案】（）p=2；（）(-,0)(2，+).【解析】試題分析：本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題

27、能力.試題解析：（）由題意可得，拋物線上點A到焦點F的距離等于點A到直線x=1的距離，由拋物線的定義得p2（）由（）得，拋物線的方程為y2=4x,F(1,0)，可設因為AF不垂直于y軸，可設直線AF: x=sy+1，(s0)，由y2=4x，x=sy+1故y1y2又直線AB的斜率為2tt2-1從而得直線FN:y=-t2-12t(x-1)設M(m,0)，由A，M，N三點共線得2tt于是m=2所以m0或m2.經(jīng)檢驗，m0或m2滿足題意.綜上，點M的橫坐標的取值范圍是(-,0)(2,+).【考點】拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關系.【思路點睛】（）當題目中出現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離時，一般會想

28、到轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到準線的距離解答本題時轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到準線的距離，進而可得點到y(tǒng)軸的距離；（）通過聯(lián)立方程組可得點的坐標，進而可得點的坐標，再利用，三點共線可得m用含有t的式子表示，進而可得的橫坐標的取值范圍.15如圖，已知點是軸左側（不含軸）一點，拋物線上存在不同的兩點、，滿足、的中點均在拋物線上.（1）求拋物線的焦點到準線的距離；（2）設中點為，且，證明：；（3）若是曲線（）上的動點，求面積的最小值.【答案】（1）2；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）直接利用拋物線定義得到答案.（2）設，根據(jù)中點在拋物線上得到，同理得到是二次方程的兩不等實根，計算得到答案.（3）設，代換得到

29、計算得到答案.【詳解】（1）焦點坐標為（1,0），準線方程為x1，所以，焦點到準線的距離為2.（2）設，則中點為，由中點在拋物線上可得，化簡得，顯然，且對也有，所以是二次方程的兩不等實根，所以，.（3），由（1）可得，此時在半橢圓上，所以，所以，即的面積的最小值是.【點睛】本題考查了面積的最值問題，證明坐標關系，綜合性強，計算量大，意在考查學生的綜合應用能力和計算能力.16設拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.（1）求APB的重心G的軌跡方程.（2）證明PFA=PFB【答案】(1)(2)見解析【解析】本試題主要考查了軌跡方

30、程的求解和證明角的相等問題解：（1）設切點，坐標分別為和，切線的方程為：；切線的方程為：；由于既在又在上，所以解得，所以的重心的坐標為，所以，由點在直線上運動，從而得到重心的軌跡方程為：，即（2）方法1：因為，由于點在拋物線外，則，同理有，方法2：當時，由于，不妨設，則，所以P點坐標為，則P點到直線AF的距離為：；而直線的方程：，即所以P點到直線BF的距離為：所以，即得當時，直線AF的方程：，即，直線的方程：，即，所以P點到直線AF的距離為：，同理可得到P點到直線BF的距離，因此由，可得到17如下圖，設拋物線方程為，M為直線上任意一點，過引拋物線的切線，切點分別為，（）設線段的中點為；（）求證

31、：平行于軸；（）已知當點的坐標為時，求此時拋物線的方程；（）是否存在點，使得點關于直線的對稱點在拋物線上，其中，點滿足（為坐標原點）若存在，求出所有適合題意的點的坐標；若不存在，請說明理由【答案】（）（）證明見解析；（）或；（）僅存在一點適合題意.【分析】（）（）設出的坐標，利用導數(shù)求得切線的方程，結合是線段的中點進行化簡，得到兩點的橫坐標相等，由此證得平行于軸.（）利用列方程，解方程求得，進而求得拋物線方程.（）設出點坐標，由點坐標求得線段中點的坐標，由直線的方程和拋物線的方程，求得點的坐標，由此進行分類討論求得點的坐標.【詳解】（）（）證明：由題意設，由得，則，所以，因此直線的方程為，直線

32、的方程為所以，由、得，因此，即，也即.所以平行于軸（）解：由（）知，當時，將其代入、并整理得：，所以，是方程的兩根，因此，又，所以由弦長公式的又，所以或，因此所求拋物線方程為或（）解：設，由題意得，則的中點坐標為，設直線的方程為，由點在直線上，并注意到點也在直線上，代入得若在拋物線上，則，因此或即或（1）當時，則，此時，點適合題意（2）當，對于，此時，又，所以，即，矛盾對于，因為，此時直線平行于軸，又，所以直線與直線不垂直，與題設矛盾，所以時，不存在符合題意得點綜上所述，僅存在一點適合題意【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系，考查運算求解能力，屬于難題.第12講 定點問題一、解答題 1

33、設橢圓經(jīng)過點，且離心率等于.（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于兩點，且滿足，試判斷直線是否過定點，若過定點求出點坐標，若不過定點請說明理由.2已知橢圓的離心率為，M是橢圓C的上頂點，F(xiàn)2是橢圓C的焦點，的周長是6（）求橢圓C的標準方程；（）過動點P（1，t）作直線交橢圓C于A，B兩點，且|PA|=|PB|，過P作直線l，使l與直線AB垂直，證明：直線l恒過定點，并求此定點的坐標3已知橢圓C：（ab0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上.（）求C的方程；（）設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為

34、1，證明：l過定點.4已知點P是橢圓C:上一點，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，（1）求橢圓C的標準方程;（2）設直線l不經(jīng)過P點且與橢圓C相交于A，B兩點.若直線PA與直線PB的斜率之和為1，問:直線l是否過定點?證明你的結論5已知橢圓C：1（ab0）的左、右焦點分別為F1、F2，點A為橢圓的左頂點，點B為上頂點，|AB|且|AF1|+|AF2|4.（1）求橢圓C的方程；（2）過點F2作直線l交橢圓C于M、N兩點，記AM、AN的斜率分別為k1、k2，若k1+k23，求直線l的方程.6已知M過點，且與N：內(nèi)切，設M的圓心M的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程：（2）設直線l不經(jīng)過點且與曲線C相

35、交于P，Q兩點若直線PB與直線QB的斜率之積為，判斷直線l是否過定點，若過定點，求出此定點坐標；若不過定點，請說明理由7已知橢圓C：，直線l：ykx+b與橢圓C相交于A、B兩點（1）如果k+b，求動直線l所過的定點；（2）記橢圓C的上頂點為D，如果ADB，證明動直線l過定點P（0，）；（3）如果b，點B關于y軸的對稱點為B，向直線AB是過定點？如果是，求出定點的坐標；如果不是，請說明理由8已知橢圓C：，若直線l：ykxm與橢圓C相交于A，B兩點(A，B不是左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標9已知點為橢圓C：上一點，且直線過橢圓C的一個焦點（1）

36、求橢圓C的方程（2）不經(jīng)過點的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，記直線的斜率分別為，若，直線l是否過定點？若過定點，求出該定點坐標；若不過定點，說明理由10橢圓C的焦點為，橢圓上一點.直線l的斜率存在，且不經(jīng)過點，l與橢圓C交于A，B兩點，且.（1）求橢圓C的方程；（2）求證：直線l過定點.11已知橢圓的一個頂點為，離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l與橢圓C交于M、N兩點，直線BM與直線BN的斜率之積為，證明直線l過定點并求出該定點坐標12已知橢圓：的離心率為，且過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若不過點的動直線與橢圓交于，兩點，且，求證：直線過定點，并求該定點的坐標.13如圖，已知

37、橢圓上頂點為A，右焦點為F，直線與圓相切，其中.（1）求橢圓的方程；（2）不過點A的動直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，且，證明：動直線l過定點，并且求出該定點坐標.14已知橢圓的右焦點為F，過點的直線l與E交于A，B兩點.當l過點F時，直線l的斜率為，當l的斜率不存在時，.（1）求橢圓E的方程.（2）以AB為直徑的圓是否過定點？若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由.15已知橢圓：（），與軸負半軸交于，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設直線：與橢圓交于，兩點，連接，并延長交直線于，兩點，已知，求證：直線恒過定點，并求出定點坐標.16在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓，如圖所示，斜率

38、為k（k0）且不過原點的直線l交橢圓C于兩點A，B，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線x3于點D（3，m）（1）求m2+k2的最小值；（2）若|OG|2|OD|OE|，求證：直線l過定點17已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為、，且過點（1）求C的方程；（2）設點M為C上的動點，求的取值范圍；（3）設橢圓C的左頂點為A，不過點A的直線（，）與C交于P，Q兩點，PQ的中點為E，若，求證：直線l經(jīng)過定點，并求出定點坐標18已知橢圓過、兩點.（1）求橢圓的離心率；（2）設橢圓的右頂點為，點在橢圓上（不與橢圓的頂點重合），直線與直線交于點，直線交軸于點，求證：直線過定點.19已知橢圓，

39、點在橢圓上，橢圓上存在點與左焦點關于直線對稱（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓的左右頂點，過點的直線，與橢圓相交于點兩點，求證：直線過定點，并求出定點坐標.第12講 定點問題一、解答題 1設橢圓經(jīng)過點，且離心率等于.（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于兩點，且滿足，試判斷直線是否過定點，若過定點求出點坐標，若不過定點請說明理由.【答案】（）；（）【解析】試題分析：（1）將點代入橢圓標準方程，結合列方程組，解這個方程組求得，橢圓方程為；（2）設直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，寫出韋達定理，利用，解得，此直線過定點.試題解析：（1）（2）設直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程得，由得，（舍去），所以過定

40、點12分考點：直線與圓錐曲線位置關系.【方法點晴】本題主要考查直線和圓錐曲線的位置關系，考查利用向量作為工具解題的方法.第一問求橢圓的標準方程，除了這一條件，題目還給了橢圓上的一點和橢圓的離心率，根據(jù)這三個條件列方程組，解這個方程組求得橢圓的方程.第二問建立的兩條直線是垂直的，所以考慮轉(zhuǎn)化為兩個向量的數(shù)量積等于零來求解.2已知橢圓的離心率為，M是橢圓C的上頂點，F(xiàn)2是橢圓C的焦點，的周長是6（）求橢圓C的標準方程；（）過動點P（1，t）作直線交橢圓C于A，B兩點，且|PA|=|PB|，過P作直線l，使l與直線AB垂直，證明：直線l恒過定點，并求此定點的坐標【答案】（）；（）詳見解析.【分析】（

41、）由題得到關于a,b,c的方程組，解方程組即得橢圓C的標準方程；（）當直線AB斜率存在，設AB的直線方程為，進一步求出直線的方程為，所以直線恒過定點.當直線斜率不存在時，直線的方程為，此時直線為軸，也過.綜上所述直線恒過點.【詳解】解：（）由于是橢圓的上頂點，由題意得，又橢圓離心率為，即，解得，又，所以橢圓的標準方程（）當直線AB斜率存在，設AB的直線方程為，聯(lián)立，得，由題意，設，則，因為，所以是的中點即，得， 又，l的斜率為，直線的方程為 把代入可得：所以直線恒過定點.當直線斜率不存在時，直線的方程為，此時直線為軸，也過.綜上所述直線恒過點.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程的求法，考查橢圓

42、中直線的定點問題，考查直線和橢圓的位置關系，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.3已知橢圓C：（ab0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上.（）求C的方程；（）設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點.【答案】(1) .(2)證明見解析.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)，兩點關于y軸對稱，由橢圓的對稱性可知C經(jīng)過，兩點.另外由知，C不經(jīng)過點P1，所以點P2在C上.因此在橢圓上，代入其標準方程，即可求出C的方程；（2）先設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，再設直線l

43、的方程，當l與x軸垂直時，通過計算，不滿足題意，再設l：（），將代入，寫出判別式，利用根與系數(shù)的關系表示出x1+x2，x1x2，進而表示出，根據(jù)列出等式表示出和的關系，從而判斷出直線恒過定點.試題解析：（1）由于，兩點關于y軸對稱，故由題設知C經(jīng)過，兩點.又由知，C不經(jīng)過點P1，所以點P2在C上.因此，解得.故C的方程為.（2）設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設l：x=t，由題設知，且，可得A，B的坐標分別為（t，），（t，）.則，得，不符合題設.從而可設l：（）.將代入得由題設可知.設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.而.由題設

44、，故.即.解得.當且僅當時，欲使l：，即，所以l過定點（2，）點睛:橢圓的對稱性是橢圓的一個重要性質(zhì)，判斷點是否在橢圓上，可以通過這一方法進行判斷；證明直線過定點的關鍵是設出直線方程，通過一定關系轉(zhuǎn)化，找出兩個參數(shù)之間的關系式，從而可以判斷過定點情況.另外，在設直線方程之前，若題設中未告知，則一定要討論直線斜率不存在和存在兩種情況，其通法是聯(lián)立方程，求判別式，利用根與系數(shù)的關系，再根據(jù)題設關系進行化簡.4已知點P是橢圓C:上一點，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，（1）求橢圓C的標準方程;（2）設直線l不經(jīng)過P點且與橢圓C相交于A，B兩點.若直線PA與直線PB的斜率之和為1，問:直線l是否過定

45、點?證明你的結論【答案】（1）；（2）直線l過定點證明見解析.【分析】（1）由橢圓定義可知，再代入P即可求出，寫出橢圓方程；（2）設直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，求出和之間的關系，即可求出定點.【詳解】（1）由，得，又在橢圓上，代入橢圓方程有，解得，所以橢圓C的標準方程為（2）證明：當直線l的斜率不存在時，解得，不符合題意；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程，由，整理得，由，整理得，即當時，此時，直線l過P點，不符合題意；當時， 有解，此時直線l：過定點【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓中直線過定點問題，屬于中檔題.5已知橢圓C：1（ab0）的左、右焦點分別為F1、F2，點A為橢圓的左頂

46、點，點B為上頂點，|AB|且|AF1|+|AF2|4.（1）求橢圓C的方程；（2）過點F2作直線l交橢圓C于M、N兩點，記AM、AN的斜率分別為k1、k2，若k1+k23，求直線l的方程.【答案】（1）；（2）【分析】（1）依題意得到關于、的方程組，解得即可；（2）設，設直線的方程為，聯(lián)立直線與曲線方程消元，列出韋達定理，由，即，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：（1）依題意可得解得，所以橢圓方程為（2）由（1）設，設直線的方程為，聯(lián)立方程得，消去整理得，所以，因為，所以，因為，即，所以代入得解得即：【點睛】本題考查待定系數(shù)法求橢圓方程，直線與橢圓的綜合應用，屬于中檔題.6已知M過點，且與N

47、：內(nèi)切，設M的圓心M的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程：（2）設直線l不經(jīng)過點且與曲線C相交于P，Q兩點若直線PB與直線QB的斜率之積為，判斷直線l是否過定點，若過定點，求出此定點坐標；若不過定點，請說明理由【答案】（1）；（2）存在，直線l過定點【分析】（1）由兩圓相內(nèi)切的條件和橢圓的定義，可得曲線C的軌跡方程；（2）設直線BP的斜率為，則BP的方程為，聯(lián)立橢圓方程，解得交點P，同理可得Q的坐標，考慮P，Q的關系，運用對稱性可得定點【詳解】解：（1）設M的半徑為R，因為圓M過，且與圓N相切所以，即，由，所以M的軌跡為以N，A為焦點的橢圓設橢圓的方程為1（ab0），則2a4，且c，所以a2，b

48、1，所以曲線C的方程為y21；（2）由題意可得直線BP，BQ的斜率均存在且不為0，設直線BP的斜率為，則BP的方程為ykx+1，聯(lián)立橢圓方程，可得，解得則，因為直線BQ的斜率為，所以同理可得，因為P，Q關于原點對稱，（或求得直線l的方程為）所以直線l過定點【點睛】本題主要考查了求橢圓的方程，橢圓中直線過定點問題，考查化簡運算能力，屬于中檔題7已知橢圓C：，直線l：ykx+b與橢圓C相交于A、B兩點（1）如果k+b，求動直線l所過的定點；（2）記橢圓C的上頂點為D，如果ADB，證明動直線l過定點P（0，）；（3）如果b，點B關于y軸的對稱點為B，向直線AB是過定點？如果是，求出定點的坐標；如果不

49、是，請說明理由【答案】（1）定點（1，）；（2）見解析；（3）定點（0，2）【分析】（1）把bk代入直線方程可得定點坐標；（2）根據(jù)ADB，可得,結合韋達定理可得關系；（3）結合對稱性求出直線AB的方程，結合韋達定理，從而可得定點坐標.【詳解】（1）k+b，bk，ykxkk（x1），所以動直線l過定點（1，）（2）聯(lián)立消去y得（1+2k2）x2+4kbx+2b220，設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2 ，ADB，又D（0，1），（x1，y11）（x2，y21）x1x2+（y11）（y21）x1x2+（kx1+b1）（kx2+b1）x1x2+k2x1x2+（b1）2+k（b1）（

50、x1+x2）（1+k2）x1x2+k（b1）（x1+x2）+（b1）2（1+k2）+k（b1）+（b1）2（b1），（b1）0，又b1（否則直線l過D），b，所以動直線l過定點（0，）.（3）b，直線l為：ykx，由（2）知x1+x2，經(jīng)過A（x1，y1），B（x2，y2）的直線方程為： ， ，令x0得y ，ykx1 ，所以直線AB是過定點（0，2）【點睛】本題主要考查直線和橢圓的位置關系，直線恒過定點問題，一般是求解直線的方程中關系式，從而得到定點，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).8已知橢圓C：，若直線l：ykxm與橢圓C相交于A，B兩點(A，B不是左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點

51、求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標【答案】證明見解析；【分析】設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消元，然后韋達定理可得x1x2，x1x2，然后算出，然后由條件可得，即y1y2x1x22(x1x2)40，代入化簡可得和的關系，然后可得答案.【詳解】由 ，消去y并整理得：(34k2)x28mkx4(m23)0，由64m2k216(34k2)(m23)0，得34k2m20.設A(x1，y1)，B(x2，y2)x1x2，x1x2y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D(2，0)，即，即y1y2x1x22(x1x2)40，所以40，整理

52、得：7m216mk4k20，解得m12k，m2，且滿足34k2m20.當m2k時，l：yk(x2)，直線過定點(2，0)，與已知矛盾；當m時，l：yk(x)，直線過定點(，0)綜上可知，直線l過定點，定點坐標為(，0)【點睛】方法點睛：定點問題的常見解法：假設定點坐標，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關，故得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即所求定點；從特殊位置入手，找出定點，再證明該點適合題意.9已知點為橢圓C：上一點，且直線過橢圓C的一個焦點（1）求橢圓C的方程（2）不經(jīng)過點的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，記直線的斜率分別為，若，直線l

53、是否過定點？若過定點，求出該定點坐標；若不過定點，說明理由【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)題意，可得，再將點代入橢圓方程可得，結合即可求解. （2）討論直線的斜率是否存在，設出直線方程，將直線與橢圓方程聯(lián)立，消 可得，由題意利用韋達定理整理可得，進而可求解.【詳解】（1）點為橢圓C：上一點，則，解得， 直線過橢圓C的一個焦點，令，可得，即，所以，所以橢圓C的方程為.（2）當直線的斜率不存在時，設，（且），則，解得，直線恒過點；當直線的斜率存在時，設直線方程為，直線與橢圓的交點，聯(lián)立方程，消 可得，則，所以，整理可得，所以，即，因為直線不過點，所以，所以，即，直線，當時，則，所以直線恒過

54、定點【點睛】本題考查了求圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系中的定點問題，考查了分類討論思想以及運算求解能力，屬于難題.10橢圓C的焦點為，橢圓上一點.直線l的斜率存在，且不經(jīng)過點，l與橢圓C交于A，B兩點，且.（1）求橢圓C的方程；（2）求證：直線l過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由橢圓的定義及兩點間距離公式可得,即可求得,由焦點可得,進而求解；（2）設直線l方程為,與橢圓方程聯(lián)立可得,即可得到,且,再由可得,利用斜率公式可得,即可得證.【詳解】（1）解:由題,所以,則,所以橢圓方程為.（2）證明:設直線l方程為,直線l與橢圓C交于A,B兩點,聯(lián)立,可得,即,設,則,因

55、為,所以,則,得,即,代入可得,把代入,解得，又直線不過點,所以,即且,所以直線過定點【點睛】本題考查求橢圓的標準方程,考查直線恒過定點問題,考查運算能力.11已知橢圓的一個頂點為，離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l與橢圓C交于M、N兩點，直線BM與直線BN的斜率之積為，證明直線l過定點并求出該定點坐標【答案】（1）；（2）答案見解析，直線過定點.【分析】（1）首先根據(jù)頂點為得到，再根據(jù)離心率為得到，從而得到橢圓C的方程.（2）設，與橢圓聯(lián)立得到，利用直線BM與直線BN的斜率之積為和根系關系得到，從而得到直線恒過的定點.【詳解】（1）一個頂點為，故，又，即，所以故橢圓的方程為（2）若

56、直線l的斜率不存在，設，此時，與題設矛盾，故直線l斜率必存在設，聯(lián)立得，即，化為，解得或（舍去），即直線過定點【點睛】方法點睛：定點問題，一般從三個方法把握：（1）從特殊情況開始，求出定點，再證明定點、定值與變量無關；（2）直接推理，計算，在整個過程找到參數(shù)之間的關系，代入直線，得到定點.12已知橢圓：的離心率為，且過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若不過點的動直線與橢圓交于，兩點，且，求證：直線過定點，并求該定點的坐標.【答案】（1）；（2）證明見解析；定點.【分析】（1）運用離心率公式和基本量，的關系，以及點滿足橢圓方程，解方程可得橢圓方程；（2）由已知可得直線的斜率存在，設直線的方程為

57、，與橢圓方程聯(lián)立，整理得.由，利用根與系數(shù)的關系求得值，從而可證明直線過定點.【詳解】（1）解：橢圓：的離心率為，且過點，可得，且，解得，則橢圓方程為.（2）證明：由，可知，從而直線與軸不垂直，故可設直線的方程為，聯(lián)立，整理得.設，則，由，得，由，得，將代入，得，所以直線過定點.【點睛】本題主要考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的綜合，及定點問題，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用. (1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直

58、線斜率為0或不存在等特殊情形13如圖，已知橢圓上頂點為A，右焦點為F，直線與圓相切，其中.（1）求橢圓的方程；（2）不過點A的動直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，且，證明：動直線l過定點，并且求出該定點坐標.【答案】（1）；（2）【分析】（1）確定圓M的圓心與半徑，利用直線AF與圓M相切關系，根據(jù)點到直線的距離公式構建方程，求得a，即可表示方程；（2）設直線AP的方程為，則直線AQ的方程為，分別于橢圓聯(lián)立方程求得交點P、Q的坐標，即可表示直線l的方程，得答案.【詳解】（1）由題可知，則直線的方程為，即因為直線與圓相切，該圓的圓心為則故橢圓的標準方程為（2）因為不過點A的動直線l與橢圓C相交于P，

59、Q兩點，且，即直線AP與坐標軸不垂直也不平行由可設直線AP的方程為，則直線AQ的方程為聯(lián)立，消去y并整理得，解得或，因此點P的坐標為，即將上式中的k換成，得點Q所以直線l的斜率為，即直線l的方程為，化簡并整理得，故直線l恒過定點【點睛】本題考查橢圓中的過定點問題，還考查了求橢圓的標準方程，屬于較難題.14已知橢圓的右焦點為F，過點的直線l與E交于A，B兩點.當l過點F時，直線l的斜率為，當l的斜率不存在時，.（1）求橢圓E的方程.（2）以AB為直徑的圓是否過定點？若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由.【答案】（1）.（2）以AB為直徑的圓恒過定點.【分析】（1）根據(jù)直線的斜率公式求

60、得的值，由，即可求得的值，求得橢圓方程；（2）當直線的斜率存在，設直線的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及以直徑的圓的方程，令，即可求得，即可判斷以為直徑的圓過定點【詳解】（1）設橢圓半焦距為c，由題意，所以.l的斜率不存在時，所以，.所以橢圓E的方程為.（2）以AB為直徑的圓過定點.理由如下：當直線的斜率存在時，設的方程，聯(lián)立方程組，消去，整理得，所以，所以，以為直徑的圓的方程：，即，令，則，解得或，所以為直徑的圓過定點當直線l的斜率不存在時，此時以AB為直徑的圓的方程為.顯然過點綜上可知，以為直徑的圓過定點【點睛】本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理及圓的標準方程，考