函數(shù)單調(diào)性的判定解讀課件

1、一、函數(shù)單調(diào)性的判定第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)函數(shù)單調(diào)性的判定 函數(shù)的極值二、函數(shù)的極值一、函數(shù)單調(diào)性的判定第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)函數(shù)單調(diào)性的判 定理 1設(shè)函數(shù) y = f (x) 在a, b上連續(xù)，在 (a, b)內(nèi)可導(dǎo)， (1)若 x (a, b)時(shí),f (x) 0， 則 f (x) 在a, b上單調(diào)遞增； 一、函數(shù)單調(diào)性的判定 (2)若 x (a, b)時(shí),f (x) 0， 則 f (x) 在a, b上單調(diào)遞減; (3)若 x (a, b)時(shí),f (x) = 0， 則 f (x) 在a, b上為常數(shù). 定理 1設(shè)函數(shù) y = f (x) 在a, b證 (1)在a, b上任取兩點(diǎn)x1、x2 ，

2、且 x1 x2，由拉格朗日中值定理有其中 x (x1,x2 ).由于 f(x)在(a, b)內(nèi)可導(dǎo),從而 f(x)在x1,x2 上連續(xù),在(x1,x2 )內(nèi)可導(dǎo),證 (1)在a, b上任取兩點(diǎn)x1、x2 ，且 x1 0，故 f (x1) 0， x2 x1 0, 因此 定理中的閉區(qū)間改為其他各種區(qū)間結(jié)論也成立. f (x2) f (x1) 0，故 求函數(shù) y = f (x) 的單調(diào)區(qū)間的一般步驟是：(1)確定函數(shù) f (x) 的定義域； 并用這些點(diǎn)把定義區(qū)間分成若干個(gè)部分區(qū)間；(3)列表討論函數(shù)在各個(gè)部分區(qū)間的單調(diào)性. (2)求出 f (x) 的全部駐點(diǎn)(即使 f (x) = 0的點(diǎn))和導(dǎo)數(shù) f

3、 (x) 不存在的點(diǎn)，注意求函數(shù) y = f (x) 的單調(diào)區(qū)間的一般步驟是：(1)確例 1求函數(shù) f (x) = x2 的單調(diào)區(qū)間解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)? , )；(2) f (x) = 2x， 令 f (x) = 0，得 x = 0;(3) x = 0 把( , )分成兩個(gè)部分區(qū)間：( , 0)， (0, ),列表討論 f (x) 的符號(hào): x( , 0) 0 (0, ) f (x) 0 f (x) 0 箭頭 ， 分別表示函數(shù)在指定區(qū)間遞增和遞減.所以,函數(shù)在( , 0內(nèi)單調(diào)遞減;0,+)內(nèi)單調(diào)遞增. 例 1求函數(shù) f (x) = x2 的單調(diào)區(qū)間解 (1)解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?(

4、， )；例 2令 y = 0,得 x = 1; 當(dāng) x = 0時(shí), y 不存在.(3)列表討論 f (x) 的符號(hào):(2)x( , 0) (0,1)(1, ) f (x) -f (x) 0 不存在 0 1 0 0.5由定理知:函數(shù)在( , 0和1,+)內(nèi)單調(diào)遞增;在0,1內(nèi)單調(diào)遞減.解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?( ， )；例 2令 y 證 設(shè) f (x) = e x ex , 則 f (x) 在 1, )內(nèi)連續(xù),例 3 證明當(dāng) x 1時(shí), e x ex .f (x) = e x e 0由定理知: f (x) 在1, )內(nèi)單調(diào)遞增,且 f (1) = 0. 在 (1, )內(nèi),故 x 1 時(shí), f

5、(x) f (1) , 從而e x ex 0即 e x ex .證 設(shè) f (x) = e x ex , 則 f (x) 定義 設(shè)函數(shù) y = f (x) 在點(diǎn) x0 及其附近的點(diǎn)有定義，若對(duì)點(diǎn) x0 附近任一點(diǎn) ( x x0 ), 均有(1) f (x) f (x0), 則稱 f (x0) 為 f (x) 的極大值，稱點(diǎn) x0 為 f (x) 的極大點(diǎn)；(2) f (x0) 0, 在 x0 的右側(cè), f (x) 0,則 f (x0) 是 f (x) 的極大值； (2)如果在點(diǎn) x0 的左側(cè), f (x) 0,則 f (x0) 是 f (x) 的極小值； (3)如果在點(diǎn) x0 的左、右兩側(cè)(點(diǎn)

6、 x0 除外) f (x) 同號(hào), 則 f (x) 在 x0 處沒(méi)有極值. 定理 3 (極值的第一充分條件) 設(shè)函數(shù) f (x) 求函數(shù)極值的一般步驟是：(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 確定駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；(4)由定理3, 判定函數(shù)的極值點(diǎn)并求出極值.(3)列表討論 f (x) 在上述各點(diǎn)左右近旁的符號(hào)；注意求函數(shù)極值的一般步驟是：(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求函數(shù)解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?( ， )；例 4 求函數(shù) 的極值.(3)列表討論 f (x) 的符號(hào):x( , 1)(1,3)(3, ) f (x)-f (x) 1 0 極大值 3 0 極小值令 y = 0,得(2

7、)(4)極大點(diǎn)為 x = 1, 極大值為 極小點(diǎn)為 x = 3, 極小值為 f (3)= 12.解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?( ， )；例 4 求解 由例2知, 函數(shù)的駐點(diǎn)是 x = 1, x = 0 是使例 5 y 不存在的點(diǎn).列表討論 f (x) 的符號(hào):x( , 0) (0,1)(1, ) f (x) -f (x) 0 不存在 1 0 極小值 極大值 因此,極大點(diǎn)為 x = 0, 極大值為 f (0)= 0; 極小點(diǎn)為 x = 1, 極小值為 f (1)= 0.5.解 由例2知, 函數(shù)的駐點(diǎn)是 x = 1, x = 0定理 4( 極值的第二充分條件 )(1)如果 f (x0) 0，則 f

8、(x) 在 x0 處有極小值 f (x0)； 且 f (x0) = 0， f (x0) 0.設(shè)函數(shù) y = f (x) 在點(diǎn) x0 處二階導(dǎo)數(shù)存在，(2)如果 f (x0) 0，則 f (x) 在 x0 處有極大值 f (x0).定理 4( 極值的第二充分條件 )(1)如果 f 例 6 求函數(shù) f (x) = 2x3 3x2 12x +14 的極值.解定義域?yàn)?( , + ). f (x) = 6x2 6x 12 = 6(x+1)(x -2)，令 f (x) = 0 得駐點(diǎn) x = 1, x = 2, f (x) = 12x 6 = 6(2x -1)， 因?yàn)?f (1) = 18 0, 故 x = 2 為極小點(diǎn), f (2) = 6 為極小值.例 6 求函數(shù) f (x) = 2x3 3x2 12x例 7 求函數(shù) f (x) = x4 的極值.解定義域?yàn)?( , + ). f (x) = 4x3，令 f (x) = 0, 得駐點(diǎn) x = 0, 代入得 f (0) = 0. f (x) = 12x2， 因?yàn)橛玫诙浞謼l件無(wú)法判定 f (x) 在 x = 0 處有無(wú)極值