真題答案07南開固體試題

1、南開大學(xué)固體物理(基礎(chǔ)部分)2007年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題專業(yè):凝聚態(tài)物理物理系、光學(xué)(光子學(xué)中心)一、簡答題 (每題5分,共30分) 1.晶體中可以存在哪些對稱元素? 討論對稱性有何意義?2.討論晶格振動(dòng)時(shí)引入了聲子的概念，聲子與晶體哪些物理性質(zhì)有關(guān)?3. 寫出布拉格反射公式,并說明各符號的意義. 4.給出晶體中缺陷的基本類型,舉例說明缺陷如何影響晶體的性質(zhì).6.解釋倒易空間、倒易格矢、倒易矢量.5.金屬銫是體心立方結(jié)構(gòu),每個(gè)單胞中有兩個(gè)單價(jià)原子,為什么銫是金屬?宏觀對稱素包括：（1）反映（或?qū)ΨQ）面, 國際符號m ;（2）旋轉(zhuǎn)（對稱）軸, 國際符號l,2,3,4,6; 對稱素

2、就是一個(gè)物體借以進(jìn)行對稱操作的一根軸、一個(gè)平面或一個(gè)點(diǎn).包括宏觀對稱素和微觀對稱素。1.晶體中可以存在哪些對稱元素? 討論對稱性有何意義?（3）對稱中心, 國際符號i;（4）對稱反軸 , 國際符號 、 、 、 、 獨(dú)立的宏觀基本對稱要素只有8種，即1、2、3、4、6、i、m、 。 所謂對稱性是指在一定的幾何操作下，物體保持不變的特性。 對稱性在物理學(xué)中是一個(gè)非常重要的概念，它可使復(fù)雜物理現(xiàn)象的描述變得簡單、明了。因?yàn)閷ΨQ性的本質(zhì)是指系統(tǒng)中的一些要素是等價(jià)的。對稱性越高的系統(tǒng)，需要獨(dú)立表征的系統(tǒng)要素就越少，因而描述起來就越簡單。 微觀對稱素主要有三類：平移軸 、螺旋軸和滑移反映面.2.討論晶格振

3、動(dòng)時(shí)引入了聲子的概念，聲子與晶體哪些物理性質(zhì)有關(guān)? 聲子與晶體的熱學(xué)性質(zhì)(熱容、熱傳導(dǎo)和熱膨脹等)、光學(xué)性質(zhì)(晶體的光吸收和光發(fā)射等)、電學(xué)性質(zhì)(電導(dǎo)、霍爾效應(yīng)和超導(dǎo)等)等物理性質(zhì)有關(guān). 聲子是描述晶格振動(dòng)的能量量子,模的角頻率為 的聲子能量為 ,波矢為q的聲子“準(zhǔn)動(dòng)量”(或稱晶體動(dòng)量) 為 。3. 寫出布拉格反射公式,并說明各符號的意義. n稱為X射線衍射的級數(shù), 為布拉格角,d為布拉格平面之間的面間距, 為X射線波長. 英國物理學(xué)家布拉格提出晶體中整齊排列的原子可看成為一組相互平行等距的原子平面,不管這些原子在平面上如何分布,如果衍射光束服從反射定律(反射光線在入射平面中,反射角等于入射角

4、),則這組晶面所反射的x射線,只有當(dāng)光程差是x射線波長的整數(shù)倍時(shí)才相互加強(qiáng),出現(xiàn)衍射. 并推導(dǎo)出了著名的布喇格反射公式:4.給出晶體中缺陷的基本類型,舉例說明缺陷如何影響晶體的性質(zhì). 所謂缺陷就是表征對晶體理想的周期結(jié)構(gòu)的任何形式的偏離.按其維度,可分為:零維點(diǎn)缺陷,一維線缺陷,二維面缺陷. 晶體中的零維缺陷點(diǎn)缺陷(point defect)是原子尺度的缺陷.亦即定域在格點(diǎn)附近一個(gè)或幾個(gè)晶格常數(shù)范圍內(nèi)偏離周期性的結(jié)構(gòu)稱為點(diǎn)缺陷.點(diǎn)缺陷主要有3種：空位或肖脫基缺陷、填隙原子(弗侖克爾缺陷)和雜質(zhì),還有所謂的色心和極化子等. 當(dāng)晶格周期性的破壞是發(fā)生在晶體內(nèi)部一條線的周圍近鄰，這種缺陷稱為線缺陷。

5、位錯(cuò)就是線缺陷。位錯(cuò)：刃型位錯(cuò)，螺旋位錯(cuò) 當(dāng)晶格周期性的破壞是發(fā)生在晶體內(nèi)部一個(gè)面的近鄰，這種缺陷稱為面缺陷，如晶粒間界、堆垛間界。 比如金屬淬火后會(huì)產(chǎn)生由大量的點(diǎn)缺陷引起的位錯(cuò), 數(shù)目眾多的位錯(cuò)相互交織在一起, 某一方向的位錯(cuò)的滑移, 會(huì)受到其它方向位錯(cuò)的牽制, 使位錯(cuò)滑移的阻力大大增加, 從而使得金屬變硬. 點(diǎn)缺陷尤其是雜質(zhì)原子可以改變半導(dǎo)體的導(dǎo)電性, P型半導(dǎo)體也好、N型半導(dǎo)體也好,都離不開點(diǎn)缺陷5.金屬銫是體心立方結(jié)構(gòu),每個(gè)單胞中有兩個(gè)單價(jià)原子,為什么銫是金屬? 金屬銫是體心立方結(jié)構(gòu),雖然每個(gè)單胞中有兩個(gè)單價(jià)原子,但是一個(gè)能帶中的波矢數(shù)目是與原胞對應(yīng)的, N個(gè)原胞的滿帶需要2N個(gè)電子.

6、假如固體銫有N個(gè)原胞,每個(gè)原胞中只是含有一個(gè)s電子,則形成固體銫時(shí)s態(tài)展寬成能帶,屬于半滿占據(jù),所以銫是金屬。6.解釋倒易空間、倒易格矢、倒易矢量. 對布拉維格子中所有格矢 ，滿足或 (m為整數(shù))的全部 端點(diǎn)的集合，構(gòu)成該布拉維格子，稱為正格子的倒易格子(reciprocal lattice).倒易格子所在的空間就稱為倒易空間; 正、倒格子原胞基矢滿足： 其中描述倒格點(diǎn)位置的矢量 稱為倒易格矢, h1,h2,h3為整數(shù) , 為倒易空間中三個(gè)不共面的矢量,稱為倒易空間的基矢. 在倒易空間中具有大小和方向的矢量就是倒易矢量,如描述晶格振動(dòng)的格波、x射線被晶體衍射的電磁波以及電子在晶體中運(yùn)動(dòng)的電子幾

7、率波,它們的狀態(tài)均用波矢來表征,而波矢就屬于倒易矢量。二、計(jì)算題 (每題20分,共120分) 1. 一維單原子鏈,原子質(zhì)量為m，原子間距為a，最近鄰和次近鄰原子間的相互作用力常數(shù)分別為和，計(jì)算聲子的色散關(guān)系以及模式密度. 此題已經(jīng)暗示要考慮到次近鄰近似 解: 依題意可寫出運(yùn)動(dòng)方程：選取簡正模式解： 即： nn+1n+2n-1n-2代入方程整理得到:這就是本問題的色散關(guān)系。一維單原子鏈情況聲子態(tài)密度:C. 平均壓縮模量 2. 對N個(gè)惰性氣體原子組成的線性布拉菲點(diǎn)陣,設(shè)平均兩個(gè)原子間的勢為： 其中 和 是兩個(gè)常數(shù), x是原子間的最近距離.求：A.原子間的平衡距離B.每個(gè)原子的平均點(diǎn)陣能 解:A.原

8、子間的平衡距離B.每個(gè)原子的平均點(diǎn)陣能 注:每個(gè)原子的平均點(diǎn)陣能也有認(rèn)為是 u(x0)的. 從而：C. 平均壓縮模量 一維線彈性模量 3. CuCI 為閃鋅礦結(jié)構(gòu),其密度 從(111)面反射來的布拉格角是 ,求入射x射線的波長.(銅和氯的原子量分別為63.55和35.45). 解: CuCI 為閃鋅礦結(jié)構(gòu),一個(gè)晶胞內(nèi)有4個(gè)CuCI,設(shè)一個(gè)CuCI質(zhì)量為m,晶格常數(shù)為a,則質(zhì)量密度為：一個(gè)CuCI質(zhì)量m為：由布拉格條件:閃鋅礦結(jié)構(gòu)：4.金屬鈉是體心立方結(jié)構(gòu)，其費(fèi)米面形狀如何，根據(jù)是什么？如果其點(diǎn)陣常數(shù)a=0.428nm,用自由電子模型計(jì)算霍爾系數(shù). 金屬鈉費(fèi)米面形狀近似為球形,原因是N個(gè)原胞構(gòu)成

9、的固體鈉,每個(gè)原胞中只是含有一個(gè)s電子,則形成固體鈉時(shí)s態(tài)展寬成能帶,屬于半滿占據(jù).金屬鈉是體心立方結(jié)構(gòu),其倒格子是邊長為 面心立方結(jié)構(gòu).其第一布里淵區(qū)為正12面體,其中心到面的最短距離為：所以費(fèi)米波矢遠(yuǎn)小于其中心到第一布里淵區(qū)邊界的最短距離 ，所以費(fèi)米面形狀近似為球形.又因?yàn)榘凑兆杂呻娮幽Ｐ?其費(fèi)米波矢為：體心立方結(jié)構(gòu)的金屬鈉,其點(diǎn)陣常數(shù)為a=0.428nm, 用自由電子模型計(jì)算霍爾系數(shù).體心立方結(jié)構(gòu)的金屬鈉電子密度n為：所以用自由電子模型,其霍爾系數(shù)為：5. 考慮一個(gè)簡單立方點(diǎn)陣,晶格常數(shù)為a，基于緊束縛近似模型計(jì)算：B.證明在k=0附近,能帶的等能面是球形,并導(dǎo)出有效質(zhì)量.A.最近鄰近似

10、下s態(tài)電子的能帶.C.畫出100和111方向能量E(k)曲線.緊束縛近似下晶體中的單電子本征能量為： Rn 為最近鄰原子格矢,令Rs 為參考格點(diǎn), 其坐標(biāo)為(0,0,0), 分別對應(yīng)晶場劈裂和參考格點(diǎn)與最近鄰的重疊積分,由于S態(tài)的球?qū)ΨQ，所以重疊積分相等.從而對簡立方可令：解：A.最近鄰近似下s態(tài)電子的能帶.簡立方有6個(gè)近鄰格點(diǎn)Rn ，其坐標(biāo)為： 代入緊束縛近似下能量表達(dá)式： B.證明在k=0附近,能帶的等能面是球形,并導(dǎo)出有效質(zhì)量.在k=0附近所以能帶的等能面是球形(有效質(zhì)量略） 由此可畫出第一布里淵區(qū)100方向的電子能量曲線C.畫出100和111方向能量E(k)曲線.100 方向第一布里淵區(qū)100方向的電子能量曲線111方向 由此可畫出第一布里淵區(qū)111方向的電子能量曲線6.證明一維點(diǎn)陣的布洛赫定理。 為了證明一維點(diǎn)陣的布洛赫定理, 只要證得即可。 其中a晶格常數(shù)(1)引入平移對稱算符平移對稱算符的定義：即平移算符與晶體中布洛赫電子的哈密頓算符對易(2)說明: 微分算符與坐標(biāo)原點(diǎn)的平移無關(guān),所以所以晶體中單電子哈密頓量 具有晶格周期性。所以平移對稱操作算符與哈密頓算符是對易