文本說明微積分

1、4.5 極值應(yīng)用問題一、極值與最值的關(guān)系二、一般情況下最值的求法三、特殊情況下最值的求法上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、極值與最值的關(guān)系觀察極值與最值的關(guān)系：提問：最大值與最小值可能在何處取得？ 怎樣求最大值與最小值？ yxOx1x2x3x4aby=f(x)x5Mm下頁首頁一、極值與最值的關(guān)系觀察極值與最值的關(guān)系： yxOx1x2x3x4aby=f(x)x5Mm 最大值與最小值可能在極值點處取得，也可能在區(qū)間的端點取得。 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù)。把區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)、f(b)與區(qū)間內(nèi)的駐點和不可導(dǎo)點的函數(shù)值相比較，其中最大的便是函數(shù)f(x)在a, b上的最大值，最小的便是函數(shù)f(x

2、)在a, b上的最小值。 例1求函數(shù)y2x33x212x14在3, 4上的最大值與最小值。 解：設(shè)f(x)2x33x212x14。 f (x)6x26x126(x2)(x1)，駐點為x12，x21。比較 f(3)23，f(2)34，f(1)7，f(4)142， f(4)142是函數(shù)的最大值，f(1)7是函數(shù)f(x)的最小值。二、一般情況下最值的求法首頁 (1)如果函數(shù)f(x)在a, b上單調(diào)增加(減少)，則f(a)是f(x)在a, b上的最小值(最大值)，f(b)是f(x)在a, b上的最大值(最小值)。xO y yf(x ) abxO y yf(x ) ab下頁三、特殊情況下最值的求法 (2

3、) 如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有且僅有一個極大(小)值，而沒有極小(大)值，則此極大(小)值就是函數(shù)在區(qū)間a, b上的最大(小)值。xO y f(x0) yf(x ) ax0bxO y f(x0) yf(x ) ax0b下頁 (1)如果函數(shù)f(x)在a, b上單調(diào)增加(減少)，則f(a)是f(x)在a, b上的最小值(最大值)，f(b)是f(x)在a, b上的最大值(最小值)。三、特殊情況下最值的求法axa-2x 例2將邊長為a的一塊正方形鐵皮，四角各截去一個大小相同的小正方形，然后將四邊折起做成一個無蓋的方盒。問截掉的小正方形邊長為多大時，所得方盒的容積最大？ V=x(a-2x)2，x

4、(0, a/2)。求導(dǎo)得 V =(a-2x)(a-6x)，V =-8a+24x。 解：設(shè)小正方形的邊長為x，則方盒的容積為 下頁 因此，當(dāng)截掉的小正方形邊長為a/6時，所得方盒的容積最大。 V=x(a-2x)2，x(0, a/2)。求導(dǎo)得 V =(a-2x)(a-6x)，V =-8a+24x。令V =0，在(0, a/2)內(nèi)得 x=a/6。因為V(a/6)=-4a0，所以S在點r0處取得極小值，也就是最小值。這時相應(yīng)的高為h=V p-1r0-2=2r。 S =2p r2+2p rh=2p r2+2V r-1，r(0, +)。 例4某廠計劃年產(chǎn)a臺車床，分批生產(chǎn)，每批生產(chǎn)準(zhǔn)備費為b元，每年每臺庫存