復(fù)變函數(shù)泰勒定理

1、復(fù)變函數(shù)泰勒定理第1頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四(4.9)D 定理4.14 (泰勒定理) 設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,aD,只要K:|z-a|R含于D,則f(z)在K內(nèi)能展成如下冪級(jí)數(shù) (4.8)其中系數(shù)展式是唯一的.4.3.1.泰勒(Taylor)定理Ka第2頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四K 證:證明的關(guān)鍵是利用柯西積分公式及如下熟知的公式:(|u|1).(4.10)總有一個(gè)圓周:使點(diǎn)z含在(圖4.1中虛線表).azD圖4.1的內(nèi)部 我們?cè)O(shè)法將被積式:由柯西積分公式得第3頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四表示為一個(gè)含有

2、z-a的正冪次級(jí)數(shù).為此改寫：(4.11)由時(shí)應(yīng)用公式(4.10),我們有右端的級(jí)數(shù)在 上(關(guān)于 )是一致收斂的.第4頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四于是(4.11)表示為 上一致收斂級(jí)數(shù)以在 上的有界函數(shù)一致收斂級(jí)數(shù)相乘,仍然得到 上的第5頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四由定理3.13知最后得出其中的系數(shù)由Cn公式(4.9)給出.上面證明對(duì)于任意z均成立,故定理的前半部分得證.下面證明展式是唯一的. 設(shè)另有展式由定理4.13(3)即知(n=0,1,2,),故展式是唯一的.第6頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四 定義4.8

3、(4.8)稱為f(z)在點(diǎn)a的泰勒展式,(4.9)稱為其泰勒系數(shù),而(4.8)右邊的級(jí)數(shù),則稱為泰勒級(jí)數(shù). 定理4.15 f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件為:f(z)在D內(nèi)任一點(diǎn)a的鄰域內(nèi)可展成z-a的冪級(jí)數(shù),即泰勒級(jí)數(shù). 由第三章的柯西不等式知若f(z)在|z-a|0,且則f(z)在收斂圓周C:|z-a|=R上至少有一奇點(diǎn),即不可能有這樣的函數(shù)F(z)存在,它在|z-a|R內(nèi)與f (z)恒等,而在C上處處解析. 證 假若這樣的F(z)存在,這時(shí)C上的每一點(diǎn)就都是某圓O的中心,而在圓O內(nèi)F(z)是解析的.z1a第9頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四K/:|z-a|R+內(nèi)是

4、解析的.于是F(z)在K/可開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù).但因在|z-a|0表示C到G的邊界的距離(參看第三章定理3.3注).于是F(z)在較圓K大的同心圓z1z2z3z2z5z2z6z8z9z10a第10頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四注 (1)縱使冪級(jí)數(shù)在其收斂圓周上處處收斂,其和函數(shù)在收斂圓周上仍然至少有一個(gè)奇點(diǎn). (2)這個(gè)定理,一方面建立了冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與此冪級(jí)數(shù)所代表的函數(shù)的性質(zhì)之間的密切關(guān)系;同時(shí)還表明冪級(jí)數(shù)的理論只有在復(fù)數(shù)域內(nèi)才弄的完全明白.第11頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四4.3.3、將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)常用方法: 直接法和間接法.1.直

5、接法:由泰勒展開(kāi)定理計(jì)算系數(shù)第12頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例1故有第13頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四仿照上例 , 第14頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四2. 間接展開(kāi)法 : 借助于一些已知函數(shù)的展開(kāi)式 , 結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì), 冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì) (逐項(xiàng)求導(dǎo), 積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧 (代換等) , 求函數(shù)的泰勒展開(kāi)式.間接法的優(yōu)點(diǎn): 不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑 , 因而比直接展開(kāi)更為簡(jiǎn)潔 , 使用范圍也更為廣泛 .第15頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例2 第16頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，

6、5月20日，6點(diǎn)20分，星期四附: 常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式第17頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四第18頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例3解4.3.4 典型例題第19頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),第20頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例4分析如圖,第21頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四即 將展開(kāi)式兩端沿 C 逐項(xiàng)積分, 得解第22頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例5 解第23頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例6

7、 解第24頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例7解第25頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四例8解即微分方程對(duì)微分方程逐次求導(dǎo)得:第26頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四第27頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四4.3.5、小結(jié)與思考 通過(guò)本課的學(xué)習(xí), 應(yīng)理解泰勒展開(kāi)定理,熟記五個(gè)基本函數(shù)的泰勒展開(kāi)式,掌握將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法, 能比較熟練的把一些解析函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù).第28頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四奇、偶函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)有什么特點(diǎn)?思考題第29頁(yè)，共31頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)20分，星期四 奇函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)只含 z 的奇次冪項(xiàng), 偶函