域分析極點和零點

1、關于域分析極點與零點第1頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)零狀態(tài)下，響應的拉氏變換與激勵拉氏變換之比叫作系統(tǒng)函數(shù)，記作H(s).可以是電壓傳輸比、電流傳輸比、轉移阻抗、轉移導納、策動點阻抗或導納第2頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四系統(tǒng)函數(shù)的極零點分布第3頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四5.1 由系統(tǒng)函數(shù)的極零點分布決定 時域特性（1）時域特性h(t)反變換第 i個極點決定總特性Ki與零點分布有關第4頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四（2） 幾種典型的極點分布(a)一階極點在原點

2、第5頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四（2） 幾種典型的極點分布(b)一階極點在負實軸第6頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四（2） 幾種典型的極點分布(c)一階極點在正實軸第7頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四（2） 幾種典型的極點分布(d)一階共軛極點在虛軸上第8頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四（2） 幾種典型的極點分布(e)共軛極點在虛軸上，原點有一零點第9頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四（2） 幾種典型的極點分布(f)共軛極點在左半平面第10頁，共101頁，2022

3、年，5月20日，5點49分，星期四（2） 幾種典型的極點分布(g)共軛極點在右半平面第11頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四（3） 有二重極點分布(a)在原點有二重極點第12頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四（3） 有二重極點分布(b)在負實軸上有二重極點第13頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四（3） 有二重極點分布(c)在虛軸上有二重極點第14頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四（3） 有二重極點分布(d)在左半平面有二重共軛極點第15頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四一階極

4、點第16頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四二重極點第17頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四極點影響小結：極點落在左半平面 h(t) 逞衰減趨勢極點落在右半平面 h(t)逞增長趨勢極點落在虛軸上只有一階極點 h(t) 等幅振蕩，不能有重極點極點落在原點 h(t)等于 u(t)第18頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四（4） 零點的影響零點移動到原點第19頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四（4） 零點的影響零點的分布只影響時域函數(shù)的幅度和相移，不影響振蕩頻率幅度多了一個因子多了相移第20頁，共101頁，2

5、022年，5月20日，5點49分，星期四結論H(s)的極點決定了自由響應的振蕩頻率，與激勵無關自由響應的幅度和相位與H(s)和E(s)的零點有關，即零點影響 K i , K k 系數(shù)E(s)的極點決定了強迫響應的振蕩頻率，與H(s) 無關用H(s)只能研究零狀態(tài)響應， H(s)中零極點相消將使某固有頻率丟失。第21頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四激勵E(s)的極點影響激勵E(s)的極點也可能是復數(shù)增幅，在穩(wěn)定系統(tǒng)的作用下穩(wěn)下來，或與系統(tǒng)某零點相抵消等幅，穩(wěn)態(tài)衰減趨勢，暫態(tài)第22頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四例：周期矩形脈沖輸入下圖電路，求其

6、暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應。（1）求e(t)的拉氏變換第23頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四（2）求系統(tǒng)函數(shù)H(s)（3）求系統(tǒng)完全響應的拉氏變換暫態(tài)穩(wěn)態(tài)第24頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四(5) 求第一個周期引起的響應的拉氏變換V01(t)（4）求暫態(tài)響應，它在整個過程中是一樣的。固定常數(shù)衰減因子第25頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四（7）求第一周期的穩(wěn)態(tài)響應第26頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四（8）整個周期矩形信號的穩(wěn)態(tài)響應暫態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應完全響應第27頁，共101頁，2022年，5月20日，5

7、點49分，星期四5.2 由系統(tǒng)函數(shù)決定系統(tǒng)頻率特性什么是系統(tǒng)頻率響應？不同頻率的正弦激勵下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應一般為復數(shù)，可表示為下列兩種形式：第28頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四由正弦激勵的極點決定的穩(wěn)態(tài)響應如系統(tǒng)是穩(wěn)定的，該項最后衰減為零第29頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四穩(wěn)態(tài)響應有關的幅度該變相位偏移第30頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四若 換成變量 系統(tǒng)頻率特性幅頻特性相位特性第31頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四用幾何法求系統(tǒng)頻率特性第32頁，共101頁，2022年，5月20日，5點

8、49分，星期四例：已知 試求當時的幅頻和相位第33頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四5.3 一階系統(tǒng)和二階非諧振系統(tǒng)的S平面分析已知該系統(tǒng)的H(s)的極零點在S平面的分布，確定該系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性的漸近線第34頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四（1）一階系統(tǒng)一零點，一在實軸的極點一在原點的零點，一在實軸的極點只有無窮遠處的零點一在實軸的極點第35頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四例：求一高階系統(tǒng)的頻率特性+U1 +U2CRMN-1/RC第36頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四第37頁，共101

9、頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四例： 求一階低通濾波器的頻率特性RC+U1_+U2_M沒有零點第38頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四幅頻特性相位特性第39頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四（2） 二階非諧振系統(tǒng)的S平面分析只考慮單極點使系統(tǒng)逞低通特性只考慮一極點和一零點使系統(tǒng)逞高通特性中間狀態(tài)是個常數(shù)低通高通總體是個帶通第40頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四例：第41頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四高通低通第42頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四 較小時

10、起作用 逐漸增加高通第43頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四 較大時 起主要作用低通特性 逐漸增加第44頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四帶通第45頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四例：若已知H(s)零極點分布如圖(a)-(h)試粗略給出它們的第46頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四第47頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四第48頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四5.4 二階諧振系統(tǒng)的S域分析諧振頻率衰減阻尼因子頻率變化影響高品質因素第49頁，共101頁

11、，2022年，5月20日，5點49分，星期四（一）諧振頻率衰減因素 諧振頻率 第50頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四(二)阻尼衰減因子 的影響若 不變，則共軛極點總是落在以原點為圓心，以 為半徑的左半圓弧上等幅震蕩衰減震蕩第51頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四 臨界不起振實數(shù)根本不起振第52頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四（三）頻率變化影響當頻率變化時 在S平面沿著虛軸移動，將 代入Z(s)， 則為系統(tǒng)頻率特性，幅度、相位均沿 變化。第53頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四討論 的前提下， 不

12、變 而 變化的情況第54頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四第55頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四斜邊乘高直 角邊之積第56頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四 顯著增長，而 增長緩慢些第57頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四(四)高品質因素的影響品質因素定義為 包括了 兩方面的影響 高，若諧振頻率一定，則 小，損耗小，容易震蕩，頻率特性尖銳 低，則相反第58頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四例如：當 時的情況 當 在 附近時第59頁，共101頁，2022年，5月20日，5點4

13、9分，星期四第60頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四邊帶帶寬 高帶窄第61頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四例如：高階系統(tǒng)（極零點靠近虛軸）無損電路，即 很小第62頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四第63頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四有非常靠近虛軸的零極點第64頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四5.5 全通網(wǎng)絡和最小相移網(wǎng)絡第65頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四5.5全通網(wǎng)絡和最小相移網(wǎng)絡系統(tǒng)位于極點左半平面，零點位于右半平面，且零點極點對于 軸

14、互為鏡象對稱則，這種系統(tǒng)函數(shù)成為全通函數(shù)，此系統(tǒng)成為全通系統(tǒng)，或全通網(wǎng)絡。全通，即幅頻特性為常數(shù)相移肯定不是零第66頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四全通網(wǎng)絡的零極點分布從對稱零點極點之和為180度逐漸減少最后為-360度第67頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四第68頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四例：一些對稱性強的網(wǎng)絡可能是全通網(wǎng)絡第69頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四最小相移網(wǎng)絡零點位于右半平面，矢量夾角的絕對值較大零點為于左半平面，矢量夾角的絕對值較小定義：零點僅位于左半平面或虛軸上的網(wǎng)絡

15、函數(shù)稱為“最小相移網(wǎng)絡”非最小相移網(wǎng)絡可以看成最小相移網(wǎng)絡和全通網(wǎng)絡的極聯(lián)第70頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四相互抵消乘第71頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四5.6 系統(tǒng)穩(wěn)定性一個穩(wěn)定系統(tǒng)對于有界激勵信號產(chǎn)生有界的響應函數(shù)穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質之一，系統(tǒng)是否穩(wěn)定與激勵情況無關系統(tǒng)沖激響應和系統(tǒng)函數(shù)能表征系統(tǒng)的穩(wěn)定性第72頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四穩(wěn)定性的三種情況穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)全部極點落在左半平面（除虛軸外）不穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)有極點在右半平面，或虛軸有二階以上重極點，不收斂。邊界穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)有一階極

16、點，等幅震蕩第73頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四穩(wěn)定系統(tǒng)對零極點的要求 在右半平面不能有極點，全在左半面 在虛軸上只能有一階極點 分子方次最多比分母方次高一次，即：轉移函數(shù) 策動點函數(shù) 中分母的 的因子只能是 的形式，其中 都是正值，乘得的系數(shù)也是正值。 第74頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四 從最高次冪到最低次冪無缺項，b 0 可以為零。要么全部缺偶次項要么全部缺奇次項 的性質也使用于第75頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四2. 羅斯-霍爾維茲準則設n階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 式中，mn，ai(i=0, 1, 2

17、, , n)、bj(j=0, 1, 2, , m)是實常數(shù)。H(s)的分母多項式為 第76頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四 H(s)的極點就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，則A(s)稱為霍爾維茲多項式。 A(s)為霍爾維茲多項式的必要條件是：A(s)的各項系數(shù)ai都不等于零，并且ai全為正實數(shù)或全為負實數(shù)。若ai全為負實數(shù)，可把負號歸于H(s)的分子B(s)，因而該條件又可表示為ai0。顯然， 若A(s)為霍爾維茲多項式， 則系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項式為霍爾維茲多項式的準則，稱為羅斯-霍爾維茲準則(R-H準則)。羅斯-霍爾維

18、茲準則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(jù)(羅斯準則)。 第77頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四 羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項式為霍爾維茲多項式的準則，稱為羅斯-霍爾維茲準則 (R-H準則)。羅斯-霍爾維茲準則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(jù)(羅斯準則)。 第78頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四 若n為偶數(shù)，則第二行最后一列元素用零補上。羅斯陣列共有n+1行(以后各行均為零)，第三行及以后各行的元素按以下規(guī)則計算： 第79頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四 羅斯判據(jù)(羅斯準則) 指出： 多項式A

19、(s)是霍爾維茲多項式的充分和必要條件是羅斯陣列中第一列元素全為正值。 若第一列元素的值不是全為正值， 則表明A(s)=0在右半平面有根， 元素值的符號改變的次數(shù)(從正值到負值或從負值到正值的次數(shù))等于A(s)=0在右半平面根的數(shù)目。根據(jù)羅斯準則和霍爾維茲多項式的定義，若羅斯陣列第一列元素值的符號相同(全為正值)，則H(s)的極點全部在左半平面， 因而系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 若羅斯陣列第一列元素值的符號不完全相同， 則系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。第80頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四 綜上所述，根據(jù)H(s)判斷線性連續(xù)系統(tǒng)的方法是：首先根據(jù)霍爾維茲多項式的必要條件檢查A(s)的系數(shù)a

20、i(i=0, 1, 2, , n)。 若ai中有缺項(至少一項為零)，或者ai的符號不完全相同，則A(s)不是霍爾維茲多項式， 故系統(tǒng)不是穩(wěn)定系統(tǒng)。若A(s)的系數(shù)ai無缺項并且符號相同，則A(s)滿足霍爾維茲多項式的必要條件，然后進一步再利用羅斯-霍爾維茲準則判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 第81頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四例 4.8-2 已知三個線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別為 判斷三個系統(tǒng)是否為穩(wěn)定系統(tǒng)。 第82頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四 解 H1(s)的分母多項式的系數(shù)a1=0，H2(s)分母多項式的系數(shù)符號不完全相同，所以H1(s)和H2

21、(s)對應的系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。H3(s)的分母多項式無缺項且系數(shù)全為正值，因此，進一步用R-H準則判斷。H3(s)的分母為 A3(s)的系數(shù)組成的羅斯陣列的行數(shù)為n+1=4，羅斯陣列為 第83頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四根據(jù)式(4.8 - 20)和式(4.8 - 21)， 得 因為A3(s)系數(shù)的羅斯陣列第一列元素全大于零，所以根據(jù)R-H準則，H3(s)對應的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。 第84頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四 例 4.8-3 圖 4.8-4 所示為線性連續(xù)系統(tǒng)的S域方框圖表示。圖中，H1(s)為 圖 4.8-4 例 4.8-3 圖

22、K取何值時系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。 第85頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四解 令加法器的輸出為X(s)， 則有 由上式得 第86頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四根據(jù)H(s)的分母構成羅斯陣列，得 第87頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四由式(4.8-20)和式(4.8-21)計算陣列的未知元素，得到陣列為 根據(jù)R-H準則，若 和-K0，則系統(tǒng)穩(wěn)定。 根據(jù)以上條件，當K0時系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。 第88頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四4.8.5 拉普拉斯變換與傅里葉變換 若f(t)為因果信號，則f(t)的傅里

23、葉變換F(j)和單邊拉普拉斯變換F(s)分別為 由于s=+j，因此，若能使=Res等于零，則F(s)就等于F(j)。但是，能否使等于零，這取決于F(s)的收斂域。 F(s)的收斂域為Res0, 0為實數(shù)，稱為收斂坐標。0可能小于零，可能等于零，也可能大于零。第89頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四 1. 00 如果00，則F(s)的收斂域包含j軸(虛軸)，F(xiàn)(s)在j軸上收斂。若令=0，即令s=j，則F(s)存在。這時，f(t)的傅里葉變換存在，并且令s=j，則F(s)等于F(j)。 即 例如， ，其單邊拉普拉斯變換為 的傅里葉變換為第90頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四2. 0=0 若收斂坐標0=0，F(xiàn)(s)的收斂域為Res0，F(xiàn)(s)的收斂域不包含j軸，故F(s)在j軸上不收斂。若令s=j，則F(s)不等于F(j)。和虛軸上都有極點，并且虛軸上的極點為m個一階極點ji(i=1, 2, , m)。將F(s)展開為部分分式，表示為 式中，F(xiàn)N(s)表示左半平面極點對應的分式。令FN(s)的原函數(shù)為fN(t)，則F(s)的原函數(shù)為 第91頁，共101頁，2022年，5月20日，5點49分，星期四 的傅里葉變換為