初中數(shù)學(xué)-中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義-平行四邊形的性質(zhì)及判定講義學(xué)生版

1、平行四邊形的性質(zhì)及判定1X1足中板塊考試要求A級要求B級要求C級要求平行四邊形會識別平行四邊形掌握平行四邊形的概念、判定和性質(zhì)， 會用平行四邊形的性質(zhì)和判定解決簡 單問題會運用平行四邊形的性 質(zhì)和判定解決有關(guān)問題.平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的邊：平行四邊形的對邊平行且對邊相等. 平行四邊形的角：平行四邊形的對角相等，鄰角互補. 平行四邊形的對角線：平行四邊形的對角線互相平分. 平行四邊形的對稱性：平行四邊形是中心對稱圖形.平行四邊形的周長：一組鄰邊之和的2倍.平行四邊形的面積：底乘以高.平行四邊形的判定兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.兩條對角線互相平

2、分的四邊形是平行四邊形.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.一、平行四邊形的性質(zhì)【例1】 如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，即AB CD , AD BC .通過證明三角形全等來說明:AB=CD , AD=BC .（對邊相等）AO二CO , BO=DO .（對角線互相平分）第1頁共14頁【鞏固】如圖，點E, F是平行四邊形ABCD對角線上的兩點，且BE = DF ,那么AF和CE相等嗎？請說明理由【例2】 如圖，在平行四邊形ABCD中，EF / BC, GH / AB, EF與GH相交于點0,圖中共有平行四邊形【鞏固】以三角形的三個頂點作平行四邊形，最多

3、可以作（）A. 2個 B. 3個 C. 4個D. 5個【例3】（2008蘭州）如圖，平行四邊形ABCD中，AB AC.對角線AC , BD相交于點0 ,將直線AC 繞點0順時針旋轉(zhuǎn)，分別交BC , AD于點E , F .證明：當旋轉(zhuǎn)角為90。時，四邊形ABEF是平行四邊形； 試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等.【例4】 在平行四邊形ABCD中，點A、A、A、A和C、C、C、C分別為AB和CD的五等分點，點B、 TOC o 1-5 h z 123412341B和D、D分別是BC和DA的三等分點，已知四邊形ABCD的面積為1，則平行四邊形ABCD 2124 2 4 2面積為（）3-5-A

4、. 2B.C. -D. 1553第2頁共14頁【鞏固】如圖，在平行四邊ABCD中，AC、BD為對角線，BC=6 ， BC邊上的高為4，則陰影部分的面積為(3).面積為(3).6 C. 12D. 24【例5】現(xiàn)有如圖2的鐵片，其形狀是一個大的平行四邊形在一角剪去一個小的平行四邊形，工人師傅想用一條直線將其分割成面積相等的兩部分，請你幫助師傅設(shè)計三種不同的分割方案.【鞏固】如圖1, O , O , O , O為四個等圓的圓心，A , B , C , D為切點，請你在圖中畫出一條直 線，將這皿個圓分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經(jīng)過的兩個點是；如圖2,O , O , O , O , O為五個等圓

5、的圓心，A , B , C, D , E為切點，請你在圖中畫出一條 直線，將這五個商分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經(jīng)過的兩個點是.【例6】如圖，【例6】如圖，求證:E, F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AADF 0 ACBE ；EB DF.第3頁共14頁【鞏固】如圖，已知：在平行四邊形ABCD中，/BCD的平分線CE交邊AD于E , ZABC的平分線BG交 CE于F，交AD于G .求證：AE=DG .【例7】 已知：如圖，平行四邊形ABCD內(nèi)有一點E滿足ED AD于點D , / EBC=/ EDC , / ECB=45。, 請找出與BE相等的一條線段，并給予證明.【鞏固】如圖

6、，E、F是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點，BE DF，求證：AF=CE .【例8】 如圖，在平行四邊形ABCD中，連接對角線BD ,過A, C兩點分別作AE 1BD, CF 1BD, E, F為 垂足，求證：四邊形AECF是平行四邊形【鞏固】如圖，平行四邊形ABCD中，E是BC的中點，DE、AB的延長線交于點F ,連接AE、CF .求 證：S AABE = SAEFC ,第4頁共14頁【例9】 如圖，已知等邊三角形的邊長為10 , P是AABC內(nèi)一點，PD AC , PE / AB, PF / BC , 點 D, E, F 分別在 AB, BC, AC 上，則 PD + PE + PF =

7、如圖1,在平行四邊ABCD中，/A = 120。，則/D =B圖1B圖1O.D圖2O.D圖2如圖2,在平行四邊形ABCD中，DB = DC , /A = 65。，CE BD于E ,已知四邊形的四條邊長分別是a,b, c, d，其中a, b為對邊，并且滿足 a2 + b2 + c2 + d2 = 2ab + 2cd則這個四邊形是(A.任意四邊形C對角線相等的四邊形B.平行四邊形D.對角線垂直的四邊形（2009東營）如圖3,在平行四邊ABCD中，已知AD=8cm ， AB=6cm ， DE平分ZADC交BC邊于點E，則BE等于已知平行四邊形ABCD的周長為60cm ,對角線AC、BD相交于。點，A

8、AOB的周長比NBOC的周長多8cm，則AB的長度為第5頁共14頁【鞏固】一個平行四邊形的兩條對角線的長分別為5和7,則它的一條邊長。的取值范圍是DCDC【例10如圖，是某區(qū)部分街道示意圖，其中CE垂直平分AF , AB DC , BC DF，從B站乘車到E 站只有兩條路線有直接到達的公交車，路線1是B - D- A- E，路線2是B - C - F - E，請比較 兩條路線路程的長短，并給出證明.【鞏固】如圖是某市一公園的路面示意圖，其中，ABCD是平行四邊形，BE AC , DF AC , E、F是 垂足，G、H分別是BC、AD的中點，連接EG, GF , FH . HE為公園中小路，問小

9、明從B 地經(jīng)E地，H地到F地，與小強從D地經(jīng)F地，G地到E地，誰的路程遠.【例11在平行四邊形ABCD中，過A任作一直線AM，過B、垂足分別是E、F、G，求證：BE=DG - CF .鞏固AC是平行四邊形ABCD較長的一條對角線，點O是ABCD內(nèi)部一點，OE AB于點E , OF AD 于點 F , OG AC 于點 G，求證：AE - AB + AF - AD = AG - AC .第6頁共14頁二、平行四邊形性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用【例12】點A、B、C、D在同一平面內(nèi)，從AB CD，AB=CD，BC AD，BC=AD .這 四個條件中任選兩個，能使四邊形ABCD是平行四邊形的選法有（）種A.

10、 3B. 4 C. 5D. 6【鞏固】如圖，已知：AD是AABC的角平分線，DE / AB,在AB上截取BF = AE，連接DE, EF ,求 證：四邊形BDEF是平行四邊形BD C【例13已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E, F分別是AB, CD的中點.求證：（1） AAFD 0 A CEB ； （2） 四邊形AECF是平行四邊形.【鞏固】如圖，四邊形ABCD中，AB / CD , /B = ZD , BC=6 , AB=3，求四邊形ABCD的周長.【例14如圖所示，P為平行四邊形ABCD內(nèi)一點，求證：以AP、BP、CP、DP為邊可以構(gòu)成一個四 邊形，并且所構(gòu)成的四邊形的對角線的長度恰好

11、分別等于AB和BC.【例15如圖所示，在平行四邊形ABCD中，、F是對角線AC上兩點，且AF=CE ,求證：四邊形BEDF 是平行四邊形.第7頁共14頁【鞏固】已知：如圖，AD BC , ED BF，且AF=CE .求證：四邊形ABCD是平行四邊形.【鞏固】【例16】【例16】如圖，在平行四邊形ABCD的各邊AB, BC, CD, DA上，分別取E, F, G, H，使AE=CG , BF = DH，求證：四邊形EFGH為平行四邊形【例17】【例17】如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點P ,過點P作直線交AD于點E ,交BC于點F.若 P P ，且AP + AE=CP + CF .求

12、證：四邊形ABCD是平行四邊形.【鞏固】如圖，在平行四邊形ABCD中，點M、N是對角線AC上的點，且AM=CN , DE = BF，求證: 四邊形MFNE是平行四邊形.【鞏固】如圖，E、F分別是平行四邊形ABCD的AD、BC邊上的點，且AE=CF .求證：AABE 0 ACDF ；若M , N、分別是BE、DF的中點，連接MF、EN，試判斷四邊形MFNE是怎樣的四邊形， 并證明你的結(jié)論.【例18如圖，過四邊形ABCD對角線的交點O作直線EF交AD、BC分別于E、F，又G、H分別為第8頁共14頁OB、OD的中點，求證：四邊形EHFG為平行四邊形.B f C【鞏固】如圖，AACD、AABE、ABC

13、F均為直線BC同側(cè)的等邊三角形.當AB豐AC時，證明四邊形ADFE為平行四邊形.【例19】如圖，點E，F(xiàn)，G，H，M，N分別在AABC的BC，AC，AB邊上，且NH / MG / BC, ME NF AC , GF EH AB，有黑、白兩只螞蟻，它們同時同速從F點 出發(fā)，黑螞蟻沿路線F T N T H T E T M T G T F爬行，白螞蟻沿路線F T B T A T C T F 爬行，那么（）A.黑螞蟻先回到F點B.白螞蟻先回到F點C.兩只螞蟻同時回到F點D.哪只螞蟻先回到F點視各點的位置而定【鞏固】以口 ABCD的對邊AB、CD為邊分別在外作等邊AABE、等邊ACDF .求證：四邊形A

14、ECF是 平行四邊形.【鞏固】等邊AABC中，點D在BC上，點E在AB上，且CD=BE 四邊形CDFE是平行四邊形.第9頁共14頁【例20如圖，已知AC是平行四邊形ABCD的對角線，AACP和AACQ都是等邊三角形，求證：四邊形 BPDQ是平行四邊形.【鞏固】如圖，ABC中，D是AB的中點，E是AC上任意一點，EF / AB , DF / BE .求證：DF與AE互相平分.【例21如圖，田村有一 口呈四邊形的池塘，在它的四個角A, B,C, D處均種有一顆大核桃樹，田村準備 開挖池塘建養(yǎng)魚池，想使池塘面積擴大一倍，又想讓核桃樹不動，并要求擴建后的池塘成平行四 邊形的形狀，請問田村能否實現(xiàn)這一設(shè)

15、想？若能，請你設(shè)計并畫出圖形，若不能，請說明理由鞏固如圖，在AABC中，ZACB=90。，點E為AB中點，連結(jié)CE ,過點E作ED BC于點D ,在DE 的延長線上取一點F,使AF二CE .求證：四邊形ACEF是平行四邊形.【例22如圖，在平行四邊形ABCD中，DE AB于E , BM=MC=DC ,那么/EMC與/BEM的大小 關(guān)系怎樣？第10頁共14頁【鞏固】已知平行四邊形ABCD, BC=2AB , M為AD的中點，CE AB .求證：/EMD=3ZAEM .【例23】已知：如圖，平行四邊形ABCD中，AE. BE、CF、DF分別平分/BAD ZABC、/BCD、/CDA, BE、DF的

16、延長線分別交AD. BC于點M、N .連接EF，若AD=7 , AB = 4 .求EF的長.【例24如圖，P為平行四邊形ABCD內(nèi)一點，過點P分別作AB、AD的平行線，交平行四邊形于E、F、 G、H 四點，若Sahpe = 3 , SPFCG = 5，求SPBD .【例25如圖，在AABC中，AB = AC , AD 1 BC于D,點P在BC上，PE BC交BA的延長線于E, 交 AC 于 F。 求證：2AD=PE+PF；BB【鞏固】如圖，四邊形EFGH中，若Z1 = Z2，則Z3必然等于24 .請運用結(jié)論證明下述問題：如圖， 在平行四邊形ABCD中取一點P，使得Z5 = /6，求證：Z7 =

17、 /8.第11頁共14頁【鞏固】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，求證AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2 .【例26如圖，AABC中，/C=90。，點M在BC上，且BM=AC ,點N在AC上，且AN = MC, AM與 BN相交于點P，求證：/BPM=45。BB【例27如圖，ABCD為平行四邊形，AD=a , BE AC , DE交AC的延長線于F點，交BE于E點.求證：DF = FE ；若 AC = 2CF , ZADC = 60。，AC DC，求 BE 的長； 在的條件下，求四邊形ABED的面積.BBL Ik課后練習(xí)第12頁共14頁如圖所示，已知四邊形 AB

18、CD，從AB DC :AB=DC :AD BC :AD=BC ；/A = /C；/B = ZD中取兩個條件加以組合，能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有哪幾 種情形？請寫出具體組合。如圖3, 一個平行四邊形被分成面積為SS巧、S4四個小平行四邊形，當CD沿AB自左向右在平行四邊形內(nèi)平行滑動時.123 4SS與SS的大小關(guān)系為.已知點C與點A、 B不重合時，圖中共有個平行四邊形，如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=5 , AB=3 , AE平分/BAD交BC邊于點E，則線段BE ,EC的長度分別為（）A. 2和3 B. 3和2C. 4和1D. 1和4如圖已知BD為平行四邊形ABCD的對角線，過C作CE BD，連接AE交BD的延長線于F ,求證：AF = FE .如圖，平行四邊形ABCD 中，AE BD于E , CF BD于F .求證：AE = CF .第13頁共14頁如圖，在平行四邊形ABCD中，點E, F在AD, BC上，且AE=CF ,