信息光學第一章io1.4卷積和相關(guān)

1、 1.4 卷積與相關(guān)(convolution and correlation) 是兩種運算關(guān)系（或過程）；都是含參量的無窮積 分，與 FT、線性系統(tǒng)密切相關(guān)。都是兩個函數(shù)通過某種運算得到另外一函數(shù)。一個函數(shù)是輸入函數(shù)（待觀測量、輸入信號），一個函數(shù)描述觀測方式或觀測儀器的特征（或作用特點），另外一個函數(shù)就是輸出函數(shù)（信號），即觀測得到的結(jié)果?！澳撤N運算”：就是觀測方式或觀測儀器對輸入函數(shù)作用的數(shù)學描述。1.4.1卷積1定義 卷積運算：可用來表示一個觀測系統(tǒng)或一個觀測儀器對輸入信號的作用過程，等等。相關(guān)運算：常用于比較兩個函數(shù)的關(guān)聯(lián)性，相似程度，用于信號檢測其中 x, y 及 , 都是實變量，f

2、 , h可實可復。 一維卷積運算可以簡單地理解為：f()h(x-)曲線下的面積隨 x 在 - 到 + 之間的變化，它是 x 的函數(shù)。注意：在進行相乘之前 h(x) 必須關(guān)于原點反轉(zhuǎn)。 二維卷積運算可以簡單地理解：f(,)h(x-, y-)曲面下的體積隨x和y在-到+之間 的變化，它是x，y函數(shù) f 是輸入信號（或理想輸出信號），h 是描述線性不變系統(tǒng)（觀測方式，觀測儀器）的作用。 g 是輸出信號（觀測到的信號）。 h(x): 線性系統(tǒng)f(x)g(x)2卷積計算方法 有三種方法可以得到兩個函數(shù)的卷積： 幾何方法(the graphical method) 直接積分(direct integrat

3、ion) 數(shù)值積分(numerical integration)以下列的一維函數(shù)為例來說明: 32x32x 幾何方法(the graphical method)幾何方法比較直觀，有助于理解卷積的含義。 具體求法大體可分六步：1）f(x)f() 將自變量 x 換成積分變量 ，繪出函數(shù)曲線2）h(x) h() h(-) h(x- )，選用一定的x值 3）求 f() h(x- )，對于任何給定x，它是的函數(shù)，畫出 f() h(x- ) 對應的曲線 4）求 f(x) h(x- ) 曲線的面積，即 ，該面積即為給定x值下的卷積值： 5）返回步驟(2)，選用另一個 x 值，再重復步驟(3)和(4) 6）由

4、求出的 g(x) 值畫出 g(x) x 曲線 f()02h(-)02h(-1-),02x = -1h(0-),02x = 0f ()h(-1-)02Area=g(-1)=0f () h(0-)02Area=g(0)=1/3h(1-),02x = 1f () h(1-)02Area=g(1)=4/3h()02f()02h(-)02h(2-),02x = 2h(3-),02x = 3f () h(3-)02Area=g(3)=3h(4-),02x = 4f ()h(2-)02Area=g(2)=3f () h(4-)02Area=g(4)=8/3f()02h(-)02h(5-),02x = 5h(

5、6-),02x = 6f () h(6-)02Area=g(6)=0f ()h(5-)02Area=g(5)=5/3g(-1)=0, g(0)=1/3, g(1)=4/3, g(2)=3, g(3)=3, g(4)=8/3, g(5)=5/3, g(6)=0, “Area” g(x)f()02h(-)02展寬平滑直接積分法（Convolution by Direct Integration）:對于一般的函數(shù)用直接積分的方法很容易。對于一些特殊函數(shù)來說，也可以用直接積分方法，但一般需要對平移量x進行分段，并確定積分段的上、下限。例如對上面的例子，平移量是 x ，可分成5段。f()02h(-)02

6、“Area” g(x)展寬平滑又如：a-aax展寬平滑作業(yè)：求卷積12xg(x)展寬、平滑數(shù)值積分 (Convolution by Numerical Integration):編制一個簡單程序，或用軟件提供的功能直接求程序一般用兩層循環(huán)： 外層循環(huán)的增量是平移變量x的抽樣間隔 內(nèi)層循環(huán)對兩個函數(shù)抽樣值的乘積求和3. 卷積存在條件(Existence Conditions)數(shù)學上, 充分條件：f(x)或h(x)，都在(- ,+)之間絕對可積。但不是必要條件，有些情況下，不一定非要滿足這個條件。物理上的可能性，就是其存在的充分條件。4卷積的性質(zhì) 1）線性性質(zhì)(Distributive)疊加性和均

7、勻性 2）可交換性(Commutative) 3）結(jié)合性(Associative) 4）平移不變性(Shift invariance) 5）坐標縮放性質(zhì) 6）函數(shù)的卷積 7）卷積運算具有平滑和展寬效應 1）線性性質(zhì)(Distributive)疊加性和均勻性 a和b是為任意常數(shù)疊加性: 函數(shù)和的卷積等于函數(shù)卷積的和。均勻性：當一個函數(shù)放大或縮小時，其卷積放大或縮 小相同的倍數(shù)。線性性質(zhì)：指同時具有疊加性質(zhì)和均勻性質(zhì)。 線性性質(zhì)也稱為分布性質(zhì)。證明：卷積運算是積分運算，積分運算是連續(xù)的疊加求和，積分運算具有疊加性和均勻性。據(jù)此性質(zhì)可知：復函數(shù)之間的卷積運算，可轉(zhuǎn)換成實函數(shù)之間的卷積運算，即若: 則

8、: 線性性質(zhì)（分布性質(zhì)）是線性系統(tǒng)的本質(zhì)特性，在信息處理及許多學科中非常重要。2）可交換性(Commutative)證明：3）平移不變性(Shift invariance)若：則： 參與卷積的兩個函數(shù)發(fā)生平移，卷積結(jié)果也僅發(fā)生平移，卷積結(jié)果的幅值和形式不變。 平移量等于兩者平移量之和。 證明：其它結(jié)論同樣可證。平移不變性是線性系統(tǒng)的重要特性，在信息處理及許多學科中非常重要。4）結(jié)合性(Associative)并利用平移不變性變換積分次序有結(jié)合性與交換性知，卷積運算的先后順序?qū)Y(jié)果無影響。5）坐標縮放性質(zhì)（定標性質(zhì)）The scaling property則:若: 當兩個函數(shù)的坐標放大或縮小同樣

9、倍數(shù)時，其卷積的坐標也放大或縮小相同的倍數(shù)，但卷積的幅值將縮小或放大相同的倍數(shù)。6） 函數(shù)的卷積性質(zhì) 函數(shù)為偶函數(shù) 函數(shù)與任何另一個函數(shù)的卷積僅僅是重新產(chǎn)生這個函數(shù)或使這個函數(shù)產(chǎn)生相同的平移量。 函數(shù)的卷積性質(zhì)及前面講過的乘積性質(zhì)、積分性質(zhì)、FT性質(zhì)等等，是非常重要的。 任意函數(shù)與函數(shù)的卷積等于函數(shù)本身，或僅僅發(fā)生平移，平移到函數(shù)（脈沖）所在的位置。 7）卷積運算具有平滑和展寬效應 -The smoothing and widening property在前面講的關(guān)于卷積的例子中，已經(jīng)可以看出卷積的平滑和展寬效應，下面在進一步解釋說明。 一般情況下： 1）卷積結(jié)果函數(shù)比參與卷積的兩個函數(shù)中的任

10、何一個都平滑。高低起伏被消弱或消除，細節(jié)、精細結(jié)構(gòu)被模糊或消除。 2）卷積結(jié)果函數(shù)的寬度（非零值區(qū)間）近似等于卷積的各函數(shù)的寬度之和。當參與卷積的每個函數(shù)的寬度均為有限時，取等號，即：Wg = Wf + Wh 舉例說明： f(x)與一個寬度變化的單位面積的三角函數(shù)的卷積： 為寬度無限窄但面積為1的三角函數(shù)，函數(shù) Wf Wh Wg=Wf+Wh又例如：特殊情況下： 有些函數(shù)之間的卷積，既無展寬效應，也無平滑效應。 例如：重復卷積：多個函數(shù)的卷積一般產(chǎn)生一個比任一被卷的個別函數(shù)都平滑得多的函數(shù)。即：n個函數(shù)的卷積，當n較大（n10）時，趨于Gaus函數(shù)。例如：多個不同寬度的矩形函數(shù)的卷積，僅僅4個。

11、f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)f3(x)f1(x) f2(x)f1(x) f2(x) f3(x)f1(x) f2(x) f3(x)f4(x)Gaus函數(shù)的FT仍然是Gaus函數(shù)。 并且， Gaus函數(shù)的卷積仍然是Gaus函數(shù)，只是幅值比例和標度有變化。 5 總結(jié)是一種運算關(guān)系（或過程）；是兩個函數(shù)通過某種運算得到另外一函數(shù)；是含參量的無窮積分。常用于比較兩個函數(shù)的關(guān)聯(lián)性，相似程度，用于信號檢測。1.4.2 互相關(guān)和自相關(guān) (Cross-correlation and Autocorrelation1 定義1）互相關(guān)定義其中：x, y, , 均為實變量，f, g 可實可復； *表示復共

12、軛，僅對復函數(shù)才有意義。 f(x,y)和g(x,y) 的互相關(guān)為：或與卷積的不同是：第一個函數(shù)取復共軛且兩個函數(shù)都不反演。 2）自相關(guān)定義當g(x,y)=f(x,y)，是自相關(guān) 2相關(guān)與卷積的關(guān)系（相關(guān)的卷積表達式） 1）互相關(guān)與卷積的關(guān)系相關(guān)運算相當于先對f(x,y)反演，取共軛，再進行卷積運算。 證明： 令3. 相關(guān)運算的性質(zhì)2）自相關(guān)與卷積的關(guān)系自相關(guān)運算相當于函數(shù)自身先反演、取共軛，再與自身進行卷積運算。 1）互相關(guān)運算一般不具有可交換性即：而是有：證明：顯然，當 f, g 均為實函數(shù)時，有 ：2）自相關(guān)函數(shù)具有厄密對稱性即 ：自相關(guān)函數(shù)是實偶函數(shù)。對稱分布。當 f(x, y) 是實函

13、數(shù)時，有：一個復函數(shù)，若實部是偶的而虛部是奇的，則稱之為厄米的，相反的情況則稱為反厄米的。3) |Rfg(x,y)|2 = Rff(0,0)Rgg(0,0)，其中: 僅當 f(x,y) = kg(x,y) 時，(k為復常數(shù))，才可能取等號。該性質(zhì)的重要性在于它反映了互相關(guān)運算的意義和作用，即：互相關(guān)函數(shù) Rfg(x,y) 反映了 f(,)和 g(+x,+y) 之間的相關(guān)性，|Rfg(x,y)| 的數(shù)值反映了在給定點(x,y)處這種關(guān)聯(lián)性的強弱，顯然，當f(x,y) = kg(x,y) ，即二者完全相關(guān)時， |Rfg(x,y)| 取最大值 。4) |Rff(x,y)| = Rff(0,0)自相關(guān)函數(shù)在原點處取最大值，且為正值。 1）當 f(x,y) 是復值函數(shù)時， Rff(x,y) 是厄米函數(shù)。 即： Rff(x,y) = R*ff (-x,-y) ，|Rff(x,y)| = Rff(0,0)。 對自相關(guān)函數(shù)的進一步說明:2）當 f(x,y) 是實函數(shù)時，