常微分方程試題及答案

1、 PAGE PAGE 4常微分方程模擬試題一、填空題（每小題 3 分，本題共 15 分）一階微分方程的通解的圖像是2維空間上的一族曲線y1(x),y2(x) 為方程的基本解組充分必要條件是方程y2y y 0的基本解組是一個不可延展解的存在在區(qū)間一定是區(qū)間11 y 2方程dx 的常數(shù)解是二、單項選擇題（每小題 3 分，本題共 15 分）dy x 1 y方程dx3滿足初值問題解存在且唯一定理條件的區(qū)域是（A）上半平面（B）xoy 平面（C）下半平面除y 軸外的全平面y方程dy ydx1（）奇解有一個（B）有兩個（C）無有無數(shù)個f (y)連續(xù)可微是保證方程dy f (y)解存在且唯一的（）條件dx必

2、要（B）充分充分必要必要非充分二階線性非齊次微分方程的所有解（構(gòu)成一個2 維線性空間（B）構(gòu)成一個3 維線性空間不能構(gòu)成一個線性空間構(gòu)成一個無限維線性空間dy 3y 21方程dx3 過點(0, 0有（ B無數(shù)個解(B) 只有一個解(C) 只有兩個解(D) 只有三個解三、計算題（每小題分，本題共 30 分）求下列方程的通解或通積分：dy y ln ydx12.dy y1(y1(y)2xdy13. y xy5dx142xydx (x2 y 2 )dy 015y xy 2( y)3四、計算題（每小題 10 分，本題共 20 分）y5y 5x2 的通解求下列方程組的通解dx y1dtsintdy t五

3、、證明題（每小題 10 分，本題共 20 分）f(x在0, lim f(x) 0，求證：方程xy(xlim y(x) 0 xdy y f (x) dxy p(xy q(xy 0 中，p(x), q(x在(, p(x)恒不為零，則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式W (x) 是(, ) 上的嚴格單調(diào)函數(shù)常微分方程模擬試題參考答案一、填空題（315）122線性無關(guān)（或：它們的朗斯基行列式不等于零）3ex , xex4開5 y 1二、單項選擇題（每小題 3 分，本題共 15 分）7C8B9C10A三、計算題（每小題分，本題共 30 分）解：y 1為常數(shù)解（1 分）y 0 y 1時，分離變量取不定積分

4、，得 dy dx C（3 分）y ln y通積分為ln y Cex（6 分）注y 1包含在常數(shù)解中，當(dāng)c 0 時就是常數(shù)解，因此常數(shù)解可以不專門列出。解y5 ，得dyy 5 y 4 x（1 分）dx令 y 4 z，則4ydy dz，代入上式，得1 dz4 dxdxdx z x（3 分）這是一階線形微分方程，對應(yīng)一階線形齊次方程的通解為z ce4x（4 分）利用常數(shù)變易法可得到一階線形微分方程的通解為1z Ce4 x x 4（5 分）因此原方程通解為1y 4 Ce4 x x（6 分）4M解： 因為 2x 所以原方程是全微分方程（2 分）取(x , y00yx) (0, 0) ，原方程的通積分為x

5、2xydxy y2dy C（4 分）計算得0 x2 y 1 y30C（6 分）解： 原方程是克萊洛方程，通解為y Cx 2C 3四、計算題（1020）解： 對應(yīng)齊次方程的特征方程為（6 分）特征根為 0，（1 分） 0 ，125，（2 分）齊次方程的通解為y C1C e5x（4 分）2因為 0 是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為y (x) x( Ax 21Bx C)（6 分）代入原方程，比較系數(shù)確定出112A ， B ，C （9 分）3原方程的通解為y C525 C e5 x 1 x3 （10 分）123525解： 齊次方程的特征方程為11 2 1 0（1 分）特征根為 i（2 分）求得特征

6、向量為1i（3 分） 因此齊次方程的通解為 x cost sin t（4 分）y1-sint2 cost 令非齊次方程特解為x costsintC (t) C (t)（5 分）C (t),C1 y (t滿足21-sint2cost costsintC (t)1sintcost1 sin t（6 分）C2解得t)0C (t)1積分，得cos t , Csin t(t) 12（8 分）C (t) ln sin t ，(t) t（9 分）通解為1x2C costC sintcostlnsint tsint（10 分）y1-sint2 cost-sintlnsint tcost 五、證明題（每小題 1

7、0 分，本題共 20 分）證明y y(xy(x0) y0，該解的表達式為y(x) x0y0 x0f (s)e( s x0) ds（4 分）取極限e x x0ye x x0 xf (s)e( s x0) dslim y(x) lim0 limx0 xx ex xe x x0,若f (s)e( s x0) ds = 0 limxf (x)e( x x0 )ex x0 x0,若x0f (s)e( s x0 ) ds （10 分）證明y1(x)，y2(x) 是方程的基本解組，則對任意 x (, ) ，它們朗斯基行列式在(, ) 上有定義，且W (x) 0 又由劉維爾公式W (x) W (x0 x)ex0)ep( s)ds ，x0 (, )（5