專題11 直線與拋物線的位置關(guān)系-2022年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線重難點(diǎn)專題突破（全國(guó)通用）（解析版）

1、專題11 直線與拋物線的位置關(guān)系一、單選題1直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，滿足的條件是（ ）AB，C，D或【解析】當(dāng)時(shí)，直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得：，若直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，整理可得：，所以，綜上所述：或，故選：D.2過點(diǎn)作直線，使它與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有（ ）A1條B2條C3條D4條【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線符合題意當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，得當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，由，可得，即當(dāng)時(shí)，符合題意綜上，滿足條件的直線有3條故選：C3已知拋物線的焦點(diǎn)為F，傾斜角為的直線過點(diǎn)，若上恰存在3個(gè)不同的點(diǎn)到的距離為，則的準(zhǔn)線

2、方程為（ ）ABCD【解析】由題意，拋物線的焦點(diǎn)為，因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線，設(shè)直線與拋物線相切，聯(lián)立方程組，可得，則，解得，且 ，故兩平行線間的距離，解得，所以拋物線的方程為，則準(zhǔn)線方程為.故選：B.4給定拋物線，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，直線，它與E相交于A，B兩點(diǎn)，如果且，那么的取值范圍是（ ）ABCD【解析】直線與拋物線方程聯(lián)立得：，因?yàn)橹本€與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，所以，設(shè)，因此有，且，由，代入中得：且，解得：，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，所以，因此，所以或，故選：C5已知拋物線，過的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)則的值為（ ）A4BC1D【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，過的焦點(diǎn)且斜率為的直線方程為，因?yàn)樵撝本€

3、與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，聯(lián)立，消去得，.由韋達(dá)定理得，.故選：B.6已知點(diǎn)P是拋物線上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：距離的最小值為（ ）ABCD2【解析】設(shè)與拋物線相切，且與直線平行的直線方程為，由得，所以，所以切線方程為，切線與直線的距離為即為到直線的最小值故選：D7已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）ABCD9【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2，所以，拋物線的方程為設(shè)直線的方程為，將此方程代入，整理得設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立故選：B8已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)

4、為，則的取值范圍是（ ）AB)CD【解析】由題意知，設(shè)，直線，代入得，有，所以，所以所以直線，代入得，所以，故選：D二、多選題9已知，過拋物線：焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）A過與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩條B與到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值為3C若，成等比數(shù)列，則D拋物線在、兩點(diǎn)處的切線互相垂直【解析】設(shè)過的直線方程為：，又 拋物線的方程為：，聯(lián)立方程可得：化簡(jiǎn)得： ，時(shí)，解得，即有兩解.又時(shí)，所以直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)過與拋物線相交且有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有三條，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，與到拋物線的準(zhǔn)線距離之和等于，又，選項(xiàng)B正確；設(shè)，直線的方程

5、為，代入拋物線的方程可得，所以，因?yàn)?，所以，選項(xiàng)C正確；不妨設(shè)，由得，由得，所以拋物線在處的切線的斜率為，在處的切線的斜率為，因?yàn)?，所以兩條切線相互垂直，選項(xiàng)D正確故選：BCD10過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于，兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率為（ ）AB2CD-2【解析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，所以,，,由題得.因?yàn)椋?滿足.故選：BD11設(shè)是拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）AB可能大于C若，則D若在拋物線上存在唯一一點(diǎn)（異于、），使得，則【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)、.聯(lián)立直線與拋物線可得，則，則，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，過點(diǎn)作直

6、線的垂線，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義可得，則，當(dāng)點(diǎn)、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，且的最小值為點(diǎn)到直線的距離，故的最小值為，故C正確；若存在唯一一點(diǎn)，使得，同理可得，由題意可得且，則，整理可得，由題意可知，關(guān)于的二次方程只有唯一解，則，解得，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.12已知直線和拋物線交于、兩點(diǎn)，直線、（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為、，若，則（ ）ABCD【解析】設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，消去可得，解得，由韋達(dá)定理可得，.對(duì)于A選項(xiàng)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，解得，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，D選項(xiàng)正確.故選：BD.三、填空題13已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1，2)在拋物線C:y2=4x上，過點(diǎn)P作兩直

7、線分別交拋物線C于點(diǎn)A，B，若kPA+kPB=0，則kABkOP的值為_.【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，同理kPB=kPA+kPB=0，+，得y1+y2=，kAB=又kOP=2，14已知點(diǎn)A到點(diǎn)F(1,0)的距離和到直線x1的距離相等，點(diǎn)A的軌跡與過點(diǎn)P(1,0)且斜率為k的直線沒有交點(diǎn)，則k的取值范圍是_【解析】設(shè)點(diǎn)，依題意得點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線上，A點(diǎn)的軌跡為. 由題意可知：過點(diǎn)且斜率為的直線方程為， 由消去，得，當(dāng)時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)時(shí)，依題意得中，化簡(jiǎn)得，解得或. 因此的取值范圍為.15拋物線的焦點(diǎn)為，已知拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為2，則直線與該切線的

8、夾角的正弦值為_【解析】由，得，則，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由題意可得，解得，則，所以，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，所以，設(shè)切線與的夾角為，則，所以16過拋物線：的焦點(diǎn)的動(dòng)直線交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，點(diǎn).當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_.【解析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作，垂足分別為，.則，點(diǎn)到直線的距離為13，當(dāng)，三點(diǎn)共線且在，之間時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.過點(diǎn)，故設(shè)方程為，代入，得，則.當(dāng)，三點(diǎn)共線時(shí)，直線的方程為，.點(diǎn)在，之間，成立，所以，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為9.四、解答題17已知拋物線：，坐標(biāo)原點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，直線：（1）若與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值；（2）過點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，求的面積【解析】（

9、1）依題意消去得，即，當(dāng)時(shí)，顯然方程只有一個(gè)解，滿足條件；當(dāng)時(shí)，解得；綜上，當(dāng)或時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）拋物線：，所以焦點(diǎn)，所以直線方程為，設(shè)，由，消去得，所以，所以，所以.18已知,是拋物線上的點(diǎn).（1）若點(diǎn)在其準(zhǔn)線上的投影為，求的最小值；（2）求過點(diǎn)且與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程.【解析】（1）由拋物線，可得其焦點(diǎn)為，如圖所示，根據(jù)拋物線的定義，可得，所以，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，又由，所以，即的最小值為.（2）當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，當(dāng)時(shí)，方程可只有一解，

10、此時(shí)直線方程為；當(dāng)時(shí)，令，解得，所以直線方程為.綜上可得，直線方程為或或.19已知曲線在軸右邊，上每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到軸距離的差都是.（1）求曲線的方程；（2）是否存在正數(shù)，對(duì)于過點(diǎn)且與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的任一直線，都有？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，由題意可得：，整理可得：，（2）存在，理由如下：設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線的交點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，由得：，所以，又，由，可得，所以，將代入上式可得：對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，所以，解得：，所以存在正數(shù)，對(duì)于過點(diǎn)且與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的任一直線，都有，且的取值范圍.20已知拋物線：，點(diǎn)M在拋物線C上，點(diǎn)N在x軸的正

11、半軸上，等邊的邊長(zhǎng)為.（1）求C的方程；（2）若平行軸的直線交直線OM于點(diǎn)P，交拋物線C于點(diǎn)，點(diǎn)T滿足，判斷直線TM與拋物線C的位置關(guān)系，并說明理由.【解析】（1）等邊的邊長(zhǎng)為，得， 代入，解得，所以，C的方程為.（2）相切.理由如下；由（1）得C的方程為，.由等邊得，直線的方程為，不妨設(shè)直線的方程為，則，設(shè)點(diǎn)，從而，由得，由得，整理得，所以，由題知.設(shè)直線的斜率為，則，則直線的方程為，即，與拋物線聯(lián)立得，整理得，從而所以直線與拋物線相切.21已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，且與直線相切，設(shè)圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)直線交曲線于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓交軸于，兩點(diǎn)，若，求的取值范圍.【解析】（1）設(shè)，由題意得到的距離與到直線的距離相等，由拋物線的定義知曲線的方程為.（2）設(shè)，由題意可知直線過的焦點(diǎn)，聯(lián)立消去得，整理得，.過的焦點(diǎn)，以為直徑的圓的圓心為，半徑為，解得，或，的取值范圍是.22已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為的橢圓C