《工程力學(xué)》第-8-章-扭-轉(zhuǎn)解析課件

1、第 8 章 扭 轉(zhuǎn)8-1 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與應(yīng)變8-2 圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與變形 8-3 強(qiáng)度條件及剛度條件8-4 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)變能8-5 矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)8-0 扭矩和扭矩圖2022/10/12第 8 章 扭 轉(zhuǎn)8-1 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與應(yīng)8-0 扭矩和扭矩圖ABlABlooabbOObTT2022/10/128-0 扭矩和扭矩圖ABlABlooabbOObT 如上圖所示，桿件在橫向平面內(nèi)的外力偶作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。其側(cè)面上原有的直線ab變?yōu)槁菪€ab, 諸橫截面繞桿的軸線相對轉(zhuǎn)動，例如B截面相對于A截面轉(zhuǎn)過一角度bOb。為了分析橫截面上的內(nèi)力，取m-m截面。mABlooabb

2、OmbTTO2022/10/12 如上圖所示，桿件在橫向平面內(nèi)的外力偶作用下發(fā) 由圖示任意橫截面m- m左邊一段桿的平衡條件可知，受扭桿件橫截面上的內(nèi)力是一個作用于橫截面平面內(nèi)的力偶。這一力偶之矩稱為扭矩，常用符號MT表示。 mxTMTmmABlooabbOmbTTO2022/10/12 由圖示任意橫截面m- m左邊一段桿的平衡條件由Mx（F）= 0T MT = 0即MT = TmxmMTTmABlooabbOmbTTO2022/10/12由Mx（F）= 0T MT = 0即MT = Tmxm扭矩的正負(fù)號由右手螺旋法則規(guī)定： 使卷曲右手的四指其轉(zhuǎn)向與扭矩MT的轉(zhuǎn)向相同，若大拇指的指向離開橫截面

3、，則扭矩為正；反之為負(fù)。MT(a)MT(b)例：扭矩圖：表示扭矩隨橫截面位置變化的圖線。2022/10/12扭矩的正負(fù)號由右手螺旋法則規(guī)定： 使卷曲右手的 一傳動軸的計算簡圖如圖所示，作用于其上的外力偶矩之大小分別是：TA=2 kNm , TB=3.5kNm , TC =1 kNm , TD = 0.5 kNm , 轉(zhuǎn)向如圖。試作該傳動軸之扭矩圖。 解：只要求出AB、BC、CD段任意截面上的扭矩，即可作出扭矩圖。aaaABCDTATBTCTD例題 6-62022/10/12 一傳1-1截面：Mx（F）= 0MT1 + TA = 0得MT1=TA= -2 kN.m 分別作截面1-1、2-2、3-

4、3，如右圖所示。aaaABCDTATBTCTD112233TAMT 1xA11考慮1-1截面例題 6-62022/10/121-1截面：Mx（F）= 0MT1 + TA = 0得MT2-2截面：MT2 - TB + TA = 0得MT2= TB - TA = 3.5 - 2 = 1.5 kNm ABxTATB22MT 2aaaABCDTATBTCTD112233Mx（F）= 0例題 6-62022/10/122-2截面：MT2 - TB + TA = 0得MT2= T同理得MT3 = 0.5 kNm由此,可作扭矩圖如下：xMT (kNm)1.50.5+2aaaABCDTATBTCTD例題 6-

5、62022/10/12同理得MT3 = 0.5 kNm由此,可作扭矩圖如下：xM該傳動軸橫截面上的最大扭矩是多少？思考題6-6xMT (kNm)1.50.5+2aaaABCDTATBTCTD2022/10/12該傳動軸橫截面上的最大扭矩是多少？思考題6-6xMT (kN作桿的扭矩圖。1 m1 m0.2m0.1 m0.1 m4 kN1 kN2 kN思考題6-72022/10/12作桿的扭矩圖。1 m1 m0.2m0.1 m0.1 m4 k1m1m0.2m0.1m0.1m4 kN1 kN2 kN思考題6-7參考答案MT /kNmx0.40.2O2022/10/121m1m0.2m0.1m0.1m4

6、 kN1 kN2 kN思考我們在講扭矩與扭矩圖的時候，涉及到這樣的問題：mmMTTxxMTTABABabT| m| m lTbO2022/10/12我們在講扭矩與扭矩圖的時候，涉及到這樣的問題：mmMTTxx桿件在橫向平面內(nèi)的外力偶的作用下，要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，產(chǎn)生相對扭轉(zhuǎn)角 bOb(B截面相對于A截面），受扭桿之內(nèi)力如上。用分離體分析扭矩MT 。本章主要研究以下內(nèi)容：(1) 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和應(yīng)變； (2) 圓截面等直桿受扭時的應(yīng)力和變形；（等直圓桿受扭時其橫截面仍為平面，求解較簡單。）(3) 簡要介紹非圓截面桿受扭時的一些彈性力學(xué)中的分析結(jié)果。（非圓截面桿受扭時，橫截面不再保持平面，要發(fā)生

7、扭曲，求解復(fù)雜。）2022/10/12桿件在橫向平面內(nèi)的外力偶的作用下，要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，產(chǎn)生相對扭 受扭桿件橫截面上與扭矩對應(yīng)的應(yīng)力是正應(yīng)力還是切應(yīng)力？為什么？思考題 8-1 答：切應(yīng)力，因?yàn)榕c正應(yīng)力相應(yīng)的分布內(nèi)力之合力不可能是個作用在橫截面上的力偶。2022/10/12 受扭桿件橫截面上與扭矩對應(yīng)的應(yīng)力是正應(yīng)力還是受扭后，圓周線與縱向直線之間原來的直角改變了一數(shù)量。物體受力變形時，直角的這種改變量（以弧度計）稱之為切應(yīng)變。8-1 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與應(yīng)變TTg (rad)l平均半徑為 r。厚度為且 r。2022/10/12受扭后，圓周線與縱向直線之間原來的直角改變了一數(shù)量。物體受力 根據(jù)圓

8、筒橫截面本身以及施加的力偶的極對稱性容易判明，圓筒表面同一圓周線上各處的切應(yīng)變均相同。因此，在材料為均勻連續(xù)這個假設(shè)條件下，圓筒橫截面上與此切應(yīng)變相應(yīng)的切應(yīng)力其大小在外圓周上各點(diǎn)處必相等；至于此切應(yīng)力的方向，從相應(yīng)的切應(yīng)變發(fā)生在圓筒的切向平面可知，系TTg (rad)l2022/10/12 根據(jù)圓筒橫截面本身以及施加的力偶的極對稱性容沿外圓周的切向，如下圖所示。TMT（ MT =T）上述內(nèi)容主要說明：(1) 薄壁圓筒圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)變相同；(2) 薄壁圓筒圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)力相等；2022/10/12沿外圓周的切向，如下圖所示。TMT（ MT =T）上述內(nèi)容(3) 薄壁圓筒圓周上各點(diǎn)處剪應(yīng)力

9、的方向沿外周線的切線。 對于薄壁圓筒（d 很小），橫截面上其它各點(diǎn)處的切應(yīng)力可以認(rèn)為與外圓周處相同，即不沿徑向變化。于是可以認(rèn)為薄壁圓筒受扭時，橫截面上的切應(yīng)力大小處處相等，方向則垂直于相應(yīng)的半徑。 即如圖中所示。TMT（ MT =T）2022/10/12(3) 薄壁圓筒圓周上各點(diǎn)處剪應(yīng)力的方向沿外周線的切線。 這樣，知道了切應(yīng)力t 的分布規(guī)律后 ，便可以利用靜力學(xué)關(guān)系r 用平均半徑r0代替 上述薄壁圓筒橫截面上扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的這一計算公式是在假設(shè)它們的大小沿徑向（壁厚）不變的情況下導(dǎo)出的。則從而有(8-1)2022/10/12 這樣，知道了切應(yīng)力t 的分布規(guī)律后 ，便可以利用靜當(dāng)d /r0=10

10、 ，其誤差為4.5。TTg (rad)l至于切應(yīng)變，由上圖得 式中 r為圓筒外半徑。 則2022/10/12當(dāng)d /r0=10 ，其誤差為4.5。TTg (rad 通過對薄壁圓筒所作的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外加力偶矩在某一范圍內(nèi)時，扭轉(zhuǎn)角f 與外力偶矩T之間成正比。TO剪切比例極限O2022/10/12 通過對薄壁圓筒所作的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外加剪切比例極限O圖中的線性關(guān)系為 t = Gg 上式稱之為材料的剪切胡克定律，不只是適用于薄壁圓筒。 ( 拉壓胡克定律 s = Ee)式中 G材料切變模量，量綱為MPa。如各種鋼的切變模量均約為8.0104 MPa，至于剪切比例極限，則隨鋼種而異；Q23

11、5鋼，tp =120 MPa。2022/10/12剪切比例O圖中的線性關(guān)系為 t = 理論分析和實(shí)驗(yàn)都表明，對于各向同性材料，剪切彈性模量與其它兩彈性參數(shù)E和n 之間存在下列關(guān)系：泊松比以上即為薄壁圓筒受扭時的變形與應(yīng)力理論。它是實(shí)心圓桿扭轉(zhuǎn)時變形與應(yīng)力理論的基礎(chǔ)。2022/10/12 理論分析和實(shí)驗(yàn)都表明，對于各向同性材料，剪切 實(shí)心圓截面桿和非薄壁空心圓截面受扭時，我們沒有理由認(rèn)為它們橫截面上的切應(yīng)力如同在受扭的薄壁圓筒中那樣是均勻的分布的。8-2 圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與變形8.2.1 橫截面上的切應(yīng)力 現(xiàn)在的關(guān)鍵在于： 確定切應(yīng)力在橫截面上的變化規(guī)律，即橫截面上距圓心為任意半徑r 的一點(diǎn)處切

12、應(yīng)力tr與r的關(guān)系。2022/10/12 實(shí)心圓截面桿和非薄壁空心圓截面受扭時，我們沒首先觀察受扭時，表面的變形情況，據(jù)此作出涉及桿件內(nèi)部變形情況的假設(shè)，最后還要利用應(yīng)力和應(yīng)變之間的物理關(guān)系。 (1) 幾何關(guān)系 (2) 物理關(guān)系 (3) 靜力學(xué)關(guān)系 2022/10/12首先觀察受扭時，表面的變形情況，據(jù)此作出涉及桿件內(nèi)部變形情況1. 幾何關(guān)系：(1) 等直圓桿受扭時，畫在表面上的圓周線只是繞桿的軸線轉(zhuǎn)動，其大小和形狀都不改變；且在變形較小的情況時，圓周線的相對縱向距離也不變。 如下圖，實(shí)驗(yàn)表明：ABabObTT2022/10/121. 幾何關(guān)系：(1) 等直圓桿受扭時，畫在表面上的圓周線(2)

13、 平截面假設(shè) 等直桿受扭時，它的橫截面如同剛性的圓盤那樣繞桿的軸線轉(zhuǎn)動。同樣，等直圓桿受扭時，其橫截面上任一根半徑其直線形狀仍然保持為直線，只是繞圓心旋轉(zhuǎn)了一個角度。 ABabObTT2022/10/12(2) 平截面假設(shè)ABabObTT2022/10/10取微段dx分析：得半徑為r的任意圓柱面上的切應(yīng)變。(a)rd x式中：d f/dx 是長度方向的變化率，按平面假設(shè)是常量。這樣，等直圓桿受扭時，r與gr 成線性關(guān)系。(1)2022/10/12取微段dx分析：得半徑為r的任意圓柱面上的切應(yīng)變。(a)2. 物理關(guān)系：由剪切胡克定律：tr=Ggr ，在 ttp 時，可把(1)式代入，得： 上式表

14、明：受扭的等直桿在線性彈性范圍內(nèi)工作時，橫截面上的切應(yīng)力在同一半徑r的圓周上各點(diǎn)處大小相同，但它們隨r 作線性變化，同一橫截面上的最大切應(yīng)力在圓周邊緣上（圖(b)，方向垂直于各自的半徑。 (b)(2)2022/10/122. 物理關(guān)系：由剪切胡克定律：tr=Ggr ，在 tt上式與MT沒有聯(lián)系起來。若等截面圓桿在MT 作用下，則t 如何？3. 靜力學(xué)關(guān)系：(2)2022/10/12上式與MT沒有聯(lián)系起來。若等截面圓桿在MT 作用下，則t 如 整個橫截面面積A范圍內(nèi)每個微面積dA乘以它到圓心的距離平方之總和，因此它是一個幾何性質(zhì)，稱之為橫截面的極慣性矩，常用Ip來表示，即：(2)（單位：mm4或

15、m4）2022/10/12 整個橫截面面積A范圍內(nèi)每個微面積dA乘以它到2022/10/122022/10/10上式為等直圓桿受扭時橫截面上任一點(diǎn)處切應(yīng)力的計算公式。若求tmax，則令r =r，有又故2022/10/12上式為等直圓桿受扭時橫截面上任一點(diǎn)處切應(yīng)力的計算公式。若求t上述公式只適用于實(shí)心或空心圓截面等直桿在線性彈性范圍內(nèi)受扭情況。改寫成其中抗扭截面模量 ，常用單位：mm3或m3 。2022/10/12上述公式只適用于實(shí)心或空心圓截面等直桿在線性彈性范圍內(nèi)受扭情.OABMT思考題8-2 下圖所示為一由均質(zhì)材料制成的空心圓軸之橫截面，該截面上的扭矩MT 亦如圖所示，試?yán)L出水平直經(jīng)AB上

16、各點(diǎn)處切應(yīng)力的變化圖。2022/10/12.OABMT思考題8-2 下圖所示為一由均質(zhì)材MTABO思考題8-2參考答案:2022/10/12MTABO思考題8-2參考答案:2022/10/10 一受扭圓軸,由實(shí)心桿1和空心桿2緊配合而成。整個桿受扭時兩部分無相對滑動,試?yán)L出切應(yīng)力沿水平直經(jīng)的變化圖，若(1) 兩桿材料相同，即G1=G2=G；(2) 兩材料不同，G1=2G2。MT12思考題8-32022/10/12 一受扭圓軸,由實(shí)心桿1和空心桿2緊配合而成。思考題8-3(1)答案：MTG1=G2=G212022/10/12思考題8-3(1)答案：MTG1=G2=G212022/10思考題8-3

17、(2)答案：MTG1=2G2212022/10/12思考題8-3(2)答案：MTG1=2G2212022/10/主要計算實(shí)心圓截面和空心圓截面。如圖有o8.2.2 極慣性矩和抗扭截面模量Ip和Wp 對于實(shí)心圓截面 2022/10/12主要計算實(shí)心圓截面和空心圓截面。如圖有o8.2.2 極慣性o對于空心圓截面（外徑D，內(nèi)徑d） 式中：a =d / D2022/10/12o對于空心圓截面（外徑D，內(nèi)徑d） 式中：a =d / D2千萬不要出錯！應(yīng)當(dāng)注意：2022/10/12千萬不要出錯！應(yīng)當(dāng)注意：2022/10/10思考題：教材133頁思考題（第二版165頁思考題）2022/10/12思考題：教材

18、133頁思考題（第二版165頁思考題8.2.3 扭轉(zhuǎn)角2022/10/128.2.3 扭轉(zhuǎn)角2022/10/10若 l 范圍內(nèi)，T是常量，GIp也為常量，則上式GIp越大，扭轉(zhuǎn)角越小，故稱為抗扭剛度。lgTT比較：2022/10/12若 l 范圍內(nèi)，T是常量，GIp也為常量，則上式GIp越大， 一水輪機(jī)的功率為Nk=7350 kW，其豎軸是直徑為d =650 mm，而長度為l =6000 mm的等截面實(shí)心鋼軸，材料的剪切彈性模量為G =0.8105 MPa。求當(dāng)水輪機(jī)以轉(zhuǎn)速n = 57.7 r/min勻速旋轉(zhuǎn)時，軸內(nèi)的最大切應(yīng)力及軸的兩個端面間的相對扭轉(zhuǎn)角f。OTa例題 8-22022/10/

19、12 一水OTa解：軸傳遞功率Nk(kW) ， 相當(dāng)于每分鐘傳遞功 W=1000Nk60(Nm) (1)令(1)、(2)相等，得外力偶作功 (2)即例題 8-22022/10/12OTa解：軸傳遞功率Nk(kW) ，令(1)、(2)相等，得因此作用在軸上的外力偶矩T為OTa極慣性矩例題 8-22022/10/12因此作用在軸上的外力偶矩T為OTa極慣性矩例題 8-220 圖示傳動軸系鋼制實(shí)心圓截面軸。已知： T1=1592Nm，T2=955Nm，T3=637Nm截面A與截面B 、C之間的距離分別為lAB=300mm 和lAC=500mm。軸的直徑d =70mm, 鋼的剪切彈性模量G=8104

20、MPa 。試求截面C對B的扭轉(zhuǎn)角 dABC例題 8-32022/10/12 圖示傳動 dABC解：由截面法得，兩段內(nèi)扭矩分別為M T= 955 Nm, M T= 637 Nm 。先分計算B ，C截面對A之扭轉(zhuǎn)角fAB， fAC , 則可以假想此時A不動。例題 8-32022/10/12 dABC解：由截面法得，兩段內(nèi)扭矩分別為M T= 9 dABC由于假想截面A固定不動，故截面B、C相對于截面A的相對轉(zhuǎn)動應(yīng)分別與扭轉(zhuǎn)力偶矩T2、T3的轉(zhuǎn)向相同，從而fAB和fAC的轉(zhuǎn)向相同。由此可見，截面C對B的扭轉(zhuǎn)角fBC應(yīng)是：上兩式中的Ip可以利用例題 8-32022/10/12 dABC由于假想截面A固定

21、不動，故截面B、C相對于截面A的其轉(zhuǎn)向與扭轉(zhuǎn)力偶矩T3相同。 dABC例題 8-32022/10/12其轉(zhuǎn)向與扭轉(zhuǎn)力偶矩T3相同。 dABC例題 8-32022 直徑50mm的鋼圓軸，其橫截面上的扭矩MT=1.5 kNm，求橫截面上的最大切應(yīng)力。思考題8-4T =1.5 kN mTlT2022/10/12 直徑50mm的鋼圓軸，其橫截面上的扭矩MT=思考題 8-5 空心圓軸的直徑d =100 mm，長l =1m，作用在兩個端面上的外力偶之矩均為T=14 kNm，但轉(zhuǎn)向相反。材料的切變模量G=8104 MPa。求：(1) 橫截面上的切應(yīng)力，以及兩個端面的相對扭轉(zhuǎn)角。(2) 圖示橫截面上ABC三點(diǎn)

22、處切應(yīng)力的大小及方向。ABCO25TlT2022/10/12思考題 8-5 空心圓軸的直徑d =100 (1) tmax=71.3 MPa f = 0.01784 rad(2) tA=tB=tmax= 71.3 MPa tC=35.7 MPa思考題8-5答案：ABCO252022/10/12(1) tmax=71.3 MPa 思考題8-5答案：ABC 下圖(a)所示的扭轉(zhuǎn)超靜定問題，若假想地解除B端的約束，而利用B截面的扭轉(zhuǎn)角為零作為位移條件求解(圖(b)，試列出其求解過程。AablCBT思考題8-62022/10/12 下圖(a)所示的扭轉(zhuǎn)超靜定問題，若假想地解除BATBTB思考題8-6答案

23、：先考慮 T 作用，則只考慮TB的作用，則2022/10/12ATBTB思考題8-6答案：先考慮 T 作用，則只考慮TB的ATBTB相容條件：則TA=T b/l上述結(jié)果可與書例題8-4進(jìn)行比較。得2022/10/12ATBTB相容條件：則TA=T b/l上述結(jié)果可與書例題8-8.2.4 斜截面上的應(yīng)力通過扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：(1) 低碳鋼試件系橫截面剪斷；(2) 鑄鐵試件則沿著與軸線成45的螺旋線剪斷；(3) 木材試件沿與軸線平行的方向劈裂。研究類似鑄鐵試件破壞原因考慮斜截面上的應(yīng)力。2022/10/128.2.4 斜截面上的應(yīng)力通過扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：研究類似鑄鐵試方法：扭桿假想切開斜截面扭桿，應(yīng)力分布

24、不均勻，不能切開斜截面xTA(a)點(diǎn)上切一個單元體2022/10/12方法：扭桿假想切開斜截面扭桿，應(yīng)力分布不均勻，不能切開斜截(1) 左、右橫截面(2) 頂、底面，徑向截面前、后面，切向截面切應(yīng)力互等，純剪切狀態(tài)xx(b)adcd2022/10/12(1) 左、右橫截面xx(b)adcd2022/10/10思考題 8-7 如圖所示為從受扭實(shí)心圓截面桿中，以徑向截面ABEF取出的分離體（半個圓柱體）。試?yán)L出（1）橫截面AGB上應(yīng)力沿直徑AB的分布；（2）徑截面ABEF上應(yīng)力分別沿直徑AB、CD、EF的分布。ECFDBAG2022/10/12思考題 8-7 如圖所示為從受扭實(shí)心圓截面桿中，思考題

25、8-7答案:ECFDBAG2022/10/12思考題8-7答案:ECFDBAG2022/10/10 現(xiàn)從受扭圓桿件的表面A取出一單元體（圖(b)）,圖(b)處于純剪切狀態(tài),現(xiàn)改其為平面圖表示：xTA(a)xx(b)adcbyabcdenx(a)detnxc(b)2022/10/12 現(xiàn)從受扭圓桿件的表面A取出一單元體（圖(b)）,yabcdenx(a) 研究垂直于前后兩個面的任意斜截面de上的應(yīng)力,如圖(a)、(b)。de 斜面作著未知的正應(yīng)力sa和切應(yīng)力ta。detnxc(b)設(shè)de的面積為dA，則2022/10/12yabcdenx(a) 研究垂直于前后兩個面的任意detnxc(b)簡化后

26、：同理得：2022/10/12detnxc(b)簡化后：同理得：2022/10/10detnxc(b)當(dāng)a0o與a90o時： ta有最大值，即為ta=45o的情況下： sa有極值，即為t。a=145o，sa=smin=-ta=-45o，sa=smax=+t2022/10/12detnxc(b)當(dāng)a0o與a90o時：a=45o的情由此看來，鑄鐵圓柱的所謂扭轉(zhuǎn)破壞，其實(shí)質(zhì)上是沿45方向拉伸引起的斷裂。也因此，在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下直接引起斷裂的最大拉應(yīng)力smax總是等于橫截面上相應(yīng)的切應(yīng)力，所以在鑄鐵圓桿的抗扭強(qiáng)度的計算中也就以橫截面上的t 作為依據(jù)。如下圖所示。TT斷裂線min2022/10/12由

27、此看來，鑄鐵圓柱的所謂扭轉(zhuǎn)破壞，其實(shí)質(zhì)上是沿45方向拉伸1. 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形。小結(jié)：2. 圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形。(1) 橫截面上的應(yīng)力材料的剪切胡克定律、n三者之間的關(guān)系2022/10/121. 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形。小結(jié)：2. 圓桿扭轉(zhuǎn)時的 (a) 幾何關(guān)系 (b) 物理關(guān)系(c) 靜力學(xué)關(guān)系2022/10/12 (a) 幾何關(guān)系 (b) 物理關(guān)系(c) 靜(d) 極慣性矩和抗扭截面模量實(shí)心圓截面代入Ip得2022/10/12(d) 極慣性矩和抗扭截面模量實(shí)心圓截面代入Ip得2022空心圓截面扭轉(zhuǎn)角斜截面上的應(yīng)力2022/10/12空心圓截面扭轉(zhuǎn)角斜截面上的應(yīng)力2022/

28、10/10思考題 8-8 直徑d =25 mm的鋼圓桿，受軸向拉力60 kN作用時，在標(biāo)距為200 mm的長度內(nèi)伸長了 0.113 mm；當(dāng)它受一對矩為0.2 kNm的外力偶作用而扭轉(zhuǎn)時，相距200 mm的兩個橫截面相對轉(zhuǎn)動了0.732的角度。試求此圓桿所用鋼材的彈性常數(shù)E、G和v。2022/10/12思考題 8-8 直徑d =25 mm的鋼圓桿，思考題8-8答案2022/10/12思考題8-8答案2022/10/10 實(shí)心或空心圓截面桿受扭時,桿內(nèi)所有的點(diǎn)均處于純剪切應(yīng)力狀態(tài),而整個桿的危險點(diǎn)在橫截面的邊緣處。8-3 強(qiáng)度條件及剛度條件1. 強(qiáng)度條件受扭圓桿的強(qiáng)度條件： 對于等截面桿：危險點(diǎn)

29、必在MTmax 所在截面邊緣處, 即由以上兩式得到2022/10/12 實(shí)心或空心圓截面桿受扭時,桿內(nèi)所有的點(diǎn)均處于 根據(jù)上述公式，可對空心或?qū)嵭膱A截面受扭桿件進(jìn)行 (1) 校核強(qiáng)度(2) 選擇截面尺寸(3) 計算容許荷載2. 剛度條件 滿足了強(qiáng)度條件，但若變形過大，必將對正常工作產(chǎn)生影響。剛度條件通常是以扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率q (=df/dx ), 其最大值qmax不超過某一規(guī)定的容許值q 來表達(dá)，即2022/10/12 根據(jù)上述公式，可對空心或?qū)嵭膱A截面受扭桿件進(jìn)式中q 為單位長度桿的容許扭轉(zhuǎn)角，單位/m來計算?；癁榻嵌让棵讋t為對于等直的圓桿，其qmax按式：(8-17)式中，MTmax

30、Nm，G Pa，Ip m42022/10/12式中q 為單位長度桿的容許扭轉(zhuǎn)角，單位/m來計算?；?容許扭轉(zhuǎn)角q ，對于精密儀器的軸 ，常常取 0.150.30 /m。至于一般的軸則取 2 /m。書例8-4校核強(qiáng)度和剛度書例8-5選擇截面尺寸 書例8-6 建立強(qiáng)度條件2022/10/12 容許扭轉(zhuǎn)角q ，對于精密儀器的軸 ，常常 階梯形圓柱直徑分別為d1= 4 cm , d2=7 cm,軸上裝有3個皮帶輪如圖所示。已知由輪3輸入的功率為T3=30 kW,輪1輸出的功率為 T1=13 kW , 軸作勻速轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)速n = 200轉(zhuǎn)/分,材料的剪切許用應(yīng)力t =60 MPa,G = 80 GPa,許

31、用扭轉(zhuǎn)角q = 2 /m。試校核軸的強(qiáng)度和剛度。0.5 m0.3 m1 mACDB123d1d2第八章 扭 轉(zhuǎn)例題 8-72022/10/12 階梯形圓柱解:計算扭矩：0.5 m0.3 m1 mACDB123d1d2強(qiáng)度校核：例題 8-72022/10/12解:計算扭矩：0.5 m0.3 m1 mACDB123d1d故強(qiáng)度滿足。剛度校核：AC段：0.5 m0.3 m1 mACDB123d1d2例題 8-72022/10/12故強(qiáng)度滿足。剛度校核：AC段：0.5 m0.3 m1 mAC0.5 m0.3 m1 mACDB123d1d2故剛度滿足。DB段：例題 8-72022/10/120.5 m0

32、.3 m1 mACDB123d1d2故剛度滿足。實(shí)心軸和空心軸通過牙嵌式離合器連接在一起。已知軸的轉(zhuǎn)速n=100 轉(zhuǎn)/分，傳輸功率N =7.5 kW,材料的容許切應(yīng)力t =40MPa,試選擇實(shí)心軸直徑d1和內(nèi)外徑比值為0.5的空心軸的外徑D。例題 8-82022/10/12實(shí)心軸和空心軸通過牙嵌式離合器連接在一起。已知軸的轉(zhuǎn)速n=1解:扭矩計算：計算實(shí)心軸直徑,由強(qiáng)度條件例題 8-82022/10/12解:扭矩計算：計算實(shí)心軸直徑,由強(qiáng)度條件例題 8-8202計算空心軸直徑,由強(qiáng)度條件:例題 8-82022/10/12計算空心軸直徑,由強(qiáng)度條件:例題 8-82022/10/1 如同拉伸和壓縮時

33、一樣，桿件在受扭時桿內(nèi)也積蓄有應(yīng)變能。桿在彈性范圍內(nèi)工作，f 與Me成線性關(guān)系。8-4 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)變能MeMe2022/10/12 如同拉伸和壓縮時一樣，桿件在受扭時桿內(nèi)也積蓄MeMe又 則或2022/10/12MeMe又 則或2022/10/10對于桿的各橫截面上扭矩不相等的情況，取微段分析入手。例如：從而知：左段桿內(nèi)的應(yīng)變能：2022/10/12對于桿的各橫截面上扭矩不相等的情況，取微段分析入手。例如：從整個桿內(nèi)積蓄的應(yīng)變能為：右段桿內(nèi)：2022/10/12整個桿內(nèi)積蓄的應(yīng)變能為：右段桿內(nèi)：2022/10/10思考題 8-9(1) 求圖示同一桿件在三種受力情況下的應(yīng)變能。此桿在線

34、彈性范圍內(nèi)工作，且變形微小。l = 1 md=80 mmMe1=4 kNm(a)0.6 m0.4 mMe2=10 kNm(b)0.6 m0.4 mMe2=10 kNmMe1= 4 kNm(c)2022/10/12思考題 8-9(1) 求圖示同一桿件在三種受力情況下的應(yīng)變(2) 桿在第三種受力情況下的應(yīng)力和變形是否分別等于前兩種情況下的疊加？應(yīng)變能呢？l = 1 md=80 mmMe1=4 kNm(a)0.6 m0.4 mMe2=10 kNm(b)0.6 m0.4 mMe2=10 kNmMe1= 4 kNm(c)2022/10/12(2) 桿在第三種受力情況下的應(yīng)力和變形是否分別等于前兩種情思考

35、題8-9答案：(1)l = 1 md=80 mmMe1=4 kNm(a)0.6 m0.4 mMe2=10 kNm(b)2022/10/12思考題8-9答案：(1)l = 1 md=80 mmMe1=(2)l = 1 md=80 mmMe1=4 kNm(a)0.6 m0.4 mMe2=10 kNm(b)0.6 m0.4 mMe2=10 kNmMe1= 4 kNm(c)2022/10/12(2)l = 1 md=80 mmMe1=4 kNm(a)思考題8-10求下列各圖桿的應(yīng)變能。Fp=F/ll(a)(b)ABABAAlT(c)dABlt(d)dAB2022/10/12思考題8-10求下列各圖桿的

36、應(yīng)變能。Fp=F/ll(a)(b思考題8-10答案：Fl(a)ABAp=F/llABAxdxFN(x)px(b)(b) 取微段分析(a)2022/10/12思考題8-10答案：Fl(a)ABAp=F/llABAxdx思考題8-10答案：lT(c)dABltdABdxtxT(x)(d)(c)其中(d) 取微段分析2022/10/12思考題8-10答案：lT(c)dABltdABdxtxT(xltdABdxtxT(x)(d)思考題8-10答案：2022/10/12ltdABdxtxT(x)(d)思考題8-10答案：20228-5 矩形截面的扭轉(zhuǎn)1. 幾個概念 非圓截面桿受扭時,橫截面會發(fā)生扭曲。因