算法大全第14章穩(wěn)定狀態(tài)模型

1、- #-13)=1a4一.=13)2NN12將xx平面劃分為x(t)0和x(t)0兩個區(qū)域。1222兩直線(12)和(13)之間的位置關(guān)系可以由下圖的四種情況來說明。每種可能性對應(yīng)于平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性說明如下：(i)a1，由圖(b)知,兩直線將平面(x0,x0)劃分為三個區(qū)121域：12TOC o 1-5 h zS:x&(t)0,x&(t)0(14)112S:x&(t)0,x&(t)0(15)212S:x&(t)0,x&(t)0(16)12可以說明不論軌線從哪個區(qū)域出發(fā)，tfg時都將趨向P、N,0)。若軌線從S1出發(fā)，由(14)式可知隨著t的增加軌線向右上方運(yùn)動，必然進(jìn)入S:若軌線從S出發(fā),22由

2、(15)式可知軌線向下方運(yùn)動，那么它或者趨向P點(diǎn)，或者進(jìn)入S，但進(jìn)入S是不133可能的。因?yàn)椋绻O(shè)軌線在某時刻t經(jīng)直線(12)式進(jìn)入S，則x(t)=0，由式(9)、131110)不難看出。x(t)=_ix(t)x(t)11N1212由式(15)、(16)知丘(t)0,表明x(t)在t達(dá)到極小值，而這是不2111111可能的，因?yàn)樵赟中x(t)0,即x(t)一直是增加的。若軌線從S出發(fā)，由(16)21113式可知軌線向左下方運(yùn)動，那么它或者趨向P點(diǎn)，或者進(jìn)入S，而進(jìn)入S后，根據(jù)上122面的分析最終也將趨向。綜合上述分析可以畫出軌線示意圖。因?yàn)橹本€(12)式上dx=0，所以在(12)式上軌線方向

3、垂直于x軸；在(13)式上dx=0，軌線方向12平行于x1軸。a1Q1，類似的分析可知P(0,N)穩(wěn)定。122a1,a1,a1，P不穩(wěn)定(鞍點(diǎn))。123因?yàn)檐壘€的初始位置不同，其走向也不同或趨于P或趨于P。根據(jù)建模過程中12a，a的含義，可以說明P,P,P點(diǎn)穩(wěn)定在生態(tài)學(xué)上的意義： HYPERLINK l bookmark8212123a1:a1意1212味著在對供養(yǎng)乙的資源的競爭中甲強(qiáng)于乙于，是種群乙終將滅絕，種群甲趨向最大容量即x(t),x(t)趨向平衡點(diǎn)P(N,0)。1211a1，a1:情況與正好相反。12a1,a1,a1:留作習(xí)題。123Volterra模型意大利生物學(xué)家DAncona曾

4、致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，在研究過程中他無意中發(fā)現(xiàn)了第一次世界大戰(zhàn)期間地中海各港口捕獲的幾種魚類占捕獲總量百分比的資料，從這些資料中他發(fā)現(xiàn)各種軟骨掠肉魚，如鯊魚、鰱魚等我們稱之為捕食者的一些不是很理想的魚占總漁獲量的百分比，在19141923年期間，意大利阜姆港收購的捕食者所占的比例有明顯的增加：年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.810.7他知道，捕獲的各種魚的比例基本上代表了地中海漁場中各種魚類的比例。戰(zhàn)爭中捕獲量大幅度下降，當(dāng)然使?jié)O場中食用魚(食餌

5、)增加，以此為生的鯊魚也隨之增加。但是捕獲量的下降為什么會使鯊魚的比例增加，即對捕食者而不是對食餌有利呢？他無法解釋這個現(xiàn)象，于是求助于著名的意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra，希望建立一個食餌捕食者系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，定量地回答這個問題。形成模型為建立這樣的模型，我們分別用x(t)和x(t)記食餌和捕食者在時刻t的數(shù)量。因12為大海中魚類的資源豐富，可以假設(shè)如果食餌獨(dú)立生存則食餌將以增長率r按指數(shù)規(guī)律1增長，即有X(t)=rx(t)。捕食者的存在使食餌的增長率降低，設(shè)降低的程度與捕食111者數(shù)量成正比，于是xi(t)滿足方程X(t)=x(r一入x)(17)11112比例系數(shù)反映捕食者掠取食餌的能力

6、。捕食者離開食餌無法生存，若設(shè)它獨(dú)自存在時死亡率為r，即x(t)=-rx(t)，2222而食餌為它提供食物的作用相當(dāng)于使死亡率降低，或使之增長。設(shè)這個作用與食餌數(shù)量成正比，于是x(t)滿足2x(t)=x(-r+入x)(18)22221比例系數(shù)入反映食餌對捕食者的供養(yǎng)能力。2方程(17)和(18)是在沒有人工捕獲情況下自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的制約關(guān)系，是Volterra提出的最簡單的模型。這個模型沒有引入競爭項(xiàng)。模型分析這是一個非線性模型，不能求出其解析解，所以我們還是通過平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析，研究x(t),x(t)的變化規(guī)律。容易得到方程(17)和(18)的平衡點(diǎn)為12rrP(0,0),P(

7、尹寸)(19)12九九21當(dāng)然，平衡解P(0,0)對我們來說是沒有意義的。這個方程組還有一族解1x(t)=Cer1t，x(t)=0和x(t)=0，x=Ce-t。因此，x軸和x軸都是方程組11212212(17)，(18)的軌線。這意味著：方程(17)、(18)在t=t由第一象限x0,x0012出發(fā)的每一個解x(t),x(t)在以后一切時間tt都保持在第一象限內(nèi)。當(dāng)x,x012012時，方程(17)、(18)的軌線是一階方程dxx（r一入x）1=1_11-2-dxx（一r+入x）22221的解曲線。用分離變量方法解得(xr2e-入2x】)(xqe-人x2)=c(20)12c是任意常數(shù)。因此，方程

8、(17),(18)的軌線是由式(20)定義的曲線族，我們來證明這些曲線是封閉的。引理1當(dāng)x,x0時，方程(20)定義了一組封閉曲線。12證明我們首先來確定當(dāng)x,x0時函數(shù)129(x)11221和0(x)2211222）2九的性狀。利用微積分方法可以作出9和0的圖形。如下圖所示。22）2九r0(x0)=0，x0=12m2九1顯然，僅當(dāng)(20)式右端常數(shù)c90時相軌線才有定義。mm當(dāng)c=90時，x=x0，x=x0，將式(21)和(22)與(19)式比較可知(xo,x0)TOC o 1-5 h zmm112212正是平衡點(diǎn)P，所以P是相軌線的退化點(diǎn)。22為了考察c0)軌線的形狀，我們只需考慮c=X0

9、的情況，其中mmm0入9。首先注意到：方程xge-S1=入具有一個解x=xxo。因此，當(dāng)xx時，方程11111110（x0（x）=xqe-x2=22112lx；2e_g丿沒有解x。2xxx11大的解總是大于當(dāng)x=x沒有解x。2xx0，x(0)0的所有的解x(t)，x(t)都是時間的1212周期函數(shù)。也就是說，(17)和(18)的具有初始條件x(0)0，x(0)0的每一個12解x(t)，x(t)都具有這樣的性質(zhì)：12x(t+T)=x(t)，x(t+T)=x(t)，其中T是某1122一正數(shù)。DAncona所用的數(shù)據(jù)實(shí)際上是捕食者的百分比在每一年中的平均值。因此，為了把這些數(shù)據(jù)同方程組(17)和(1

10、8)的結(jié)果進(jìn)行比較，對于(17)和(18)的任何解x(t)，x(t)，我們必須算出x(t)和x(t)1212的“平均值”。值得注意的是，即使還沒有準(zhǔn)確地求得x(t)和x(t)，我們?nèi)匀荒軌蛩愠鲞@些平均值。12引理2設(shè)x(t)，x(t)是(17)和(18)的周期解，其周期T0，x(t)和x(t)1212的平均值定義為(t)dt(t)dt，(t)dt這時，x1證明由于因此=x0，x=x0。換句話說，x(t)這時，x1證明由于因此TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark80 x(t).把(17)的兩端除以x，得到-=r入x，于是1x112JTdt=Jr一入x(t)dt H

11、YPERLINK l bookmark86T0 x(t)T01121F去dt=Inx(T)一Inx(0)=0 HYPERLINK l bookmark900 x(t)11F入x(t)dtF入x(t)dt=012rr于是，x=1。類似地，把(18)的兩端除以Tx(t)，由0到T積分，我們得到x=2。2入21入12下面，我們考慮漁業(yè)對于上述數(shù)學(xué)模型的影響。注意到漁業(yè)使得食餌總數(shù)以速率氐減少，而使得捕食者的總數(shù)以速率ex減少。常數(shù)8反映漁業(yè)的水平；即反映了海12上的漁船數(shù)和下水的網(wǎng)數(shù)。因此，真實(shí)的狀態(tài)由下列修正的微分方程組來描述：fx(t)=x(r一入x)8x=(r8)x一入xxi1/1211i11

12、.2(23)Ix(t)=x(一r+九x)8x=(r+8)x+九xx22221222212這個方程組同(17),(18)完全一樣(當(dāng)r一80時)，只是其中r換成r一8,而r1112換成r+8。因此，現(xiàn)在x(t)和x(t)的平均值是212r+8r-8x=2，x=11九2九21平均說來，中等捕魚量(8r)實(shí)際上會增加食餌的數(shù)目，而減少捕食者的數(shù)目。相反，1捕魚量的降低，平均說來，會增加捕食者的數(shù)目，而減少食餌的數(shù)目。這個值得注意的結(jié)果稱為Volterra原理，它解釋了DAncona的數(shù)據(jù)。值得注意的是Volterra模型是非常粗糙的，有興趣的讀者可以作進(jìn)一步的探討。習(xí)題十四單棵樹木的商品價值V是由這棵樹能夠生產(chǎn)的木材體積和質(zhì)量所決定的。顯然V=V(t)依賴于樹木的年齡t。假設(shè)曲線V(t)已知，c為樹木砍伐成本。試給出砍伐樹木(更確切地說砍伐相同年齡的樹木)的最優(yōu)年齡。如果考慮到森林輪種問題，即一旦樹木從某一處砍掉，這塊土地便可以種植新樹，假定各輪