兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用-人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)課件

1、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用（習(xí)題課）兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題的一般思維過程：要完成的一件事如何完成這件事方法的“分類”過程的“分步”利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)分類要做到“不重不漏”。分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù).分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)。分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù).復(fù)習(xí)引入解決計(jì)數(shù)問題的一般思維過程：要完成的一件事如何完成這件事方法題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的直接應(yīng)用1.從5名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各1名，有多少種不同的選法？解：要完成

2、的一件事是“從5名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各1名”，分兩步完成：第1步，選正組長(zhǎng)，有5種方法；第2步，選副組長(zhǎng)，有4種方法，所以共有54=20種。2.在1,2，500中，被5除余2的數(shù)共有多少個(gè)？法一：解：被5除余2的數(shù)的末位是2或7，在1，2，500中符合題意的數(shù)分為3類：第1類：一位數(shù)，只有2，7兩個(gè)數(shù)；.第2類：兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)有2，7兩種取法，十位數(shù)有9種取法，共有29=18個(gè)數(shù)；第3類：三位數(shù)，個(gè)位數(shù)有2，7兩種取法，十位數(shù)有10種取法，百位數(shù)可以為1，2，3，4，共4種取法，共有2104=80個(gè)數(shù)。所以，N=2+18+80=100.題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的直接應(yīng)用1.

3、從5題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的直接應(yīng)用1.從5名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各1名，有多少種不同的選法？解：要完成的一件事是“從5名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各1名”，分兩步完成：第1步，選正組長(zhǎng)，有5種方法；第2步，選副組長(zhǎng)，有4種方法，所以共有54=20種。2.在1,2，500中，被5除余2的數(shù)共有多少個(gè)？法二：5=k .2=5k +2=所以，N=100.題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的直接應(yīng)用1.從5練習(xí)1：（課本12頁(yè) 8題）,(n-1)個(gè)點(diǎn)為線段左端點(diǎn)時(shí)，右端分別有(n-2)，(n-3)，.在國(guó)慶長(zhǎng)假期間，要從7人中選若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出現(xiàn)同

4、一人；練習(xí)1:本例中的區(qū)域改為如圖所示,其他條件均不變,則不同的涂法共有多少種?于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,不同的涂法有543=60(種).練習(xí)1：（課本12頁(yè) 8題）解：分3步來(lái)解決，由于各位上的數(shù)字可重復(fù)，因此三位數(shù)中每一位都有5種來(lái)法，所以共可以組成555=125個(gè)三位數(shù).解：分3步來(lái)解決，由于各位上的數(shù)字可重復(fù)，因此三位數(shù)中每一位都有5種來(lái)法，所以共可以組成555=125個(gè)三位數(shù).第1類,不同色,則所涂的顏色各不相同,我們可將這件事情分成四步來(lái)完成.于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,不同的涂法有543=60(種).將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi),每格涂一種顏色,

5、相鄰兩格涂不同的顏色,如果顏色可以反復(fù)使用,共有多少種不同的涂色方法?在國(guó)慶長(zhǎng)假期間，要從7人中選若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出現(xiàn)同一人；在1,2，500中，被5除余2的數(shù)共有多少個(gè)？第2步涂，從余下的4種顏色中任選一種,有4種涂法;第1步：選一個(gè)百位數(shù)字，5種；于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,不同的涂法有543=60(種).解:第1個(gè)小方格可以從五種顏色中任取一種顏色涂上,有5種不同的涂法.第2步，選副組長(zhǎng)，有4種方法，所以共有54=20種。第3步涂，與第4步涂時(shí),分別有3種涂法.解:第1個(gè)小方格可以從五種顏色中任取一種顏色涂上,有5種不同的涂法.第1步：選一個(gè)百位數(shù)字，5種；第一

6、步，安排第一天的值班人員，有7種方法；由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有180+80=260(種)不同的涂法.第2步：選一個(gè)十位數(shù)字，4種；（1）從這n個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一條線段，可得到多少條線段？第2類,同色,則不同色,我們可將涂色工作分成三步來(lái)完成.易錯(cuò)點(diǎn)：分不清兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，首先明確“要完成的一件事”，如何完成？分類還是分步，然后合理選擇計(jì)數(shù)原理。在國(guó)慶長(zhǎng)假期間，要從7人中選若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出現(xiàn)同一人；題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的直接應(yīng)用變式1：各位上的數(shù)字不可以重復(fù)？變式2：0.1.2.3.4 可以組成多少個(gè)三位數(shù)？（各位上的數(shù)字不可以重復(fù)）3.

7、由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)三位數(shù)（各位上的數(shù)字可以重復(fù)）？解：分3步來(lái)解決，由于各位上的數(shù)字可重復(fù)，因此三位數(shù)中每一位都有5種來(lái)法，所以共可以組成555=125個(gè)三位數(shù).解：分3步來(lái)解決，由于各位上的數(shù)字不可重復(fù)，第1步：選一個(gè)百位數(shù)字，5種；第2步：選一個(gè)十位數(shù)字，4種；第3步：選一個(gè)個(gè)位數(shù)字，3種所以共可以組成543=60個(gè)三位數(shù).解：分3步來(lái)解決，由于各位上的數(shù)字不可重復(fù)，第1步：選一個(gè)百位數(shù)字，在1，2，3，4四個(gè)數(shù)里選一個(gè)，4種選擇；第2步：選一個(gè)十位數(shù)字，4種；第3步：選一個(gè)個(gè)位數(shù)字，3種；所以共可以組成443=48個(gè)三位數(shù).練習(xí)1：（課本12頁(yè) 8題）題型一：分類加法

8、計(jì)數(shù)原理和分步乘4.任意畫一條直線，在直線上任取n個(gè)分點(diǎn).（1）從這n個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一條線段，可得到多少條線段？（2）從這n個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一個(gè)向量，可得到多少個(gè)向量？解：（1）當(dāng)直線上左起第1個(gè)點(diǎn)為線段的左端點(diǎn)，右端有（n-1）種取法，可得到（n-1）條線段，類似地，當(dāng)直線上左起第2,3,.,(n-1)個(gè)點(diǎn)為線段左端點(diǎn)時(shí)，右端分別有(n-2)，(n-3)，.，1種取法，分別得到(n-2)，(n-3)，.，1條線段，所以共得到 條線段。（2）因?yàn)槊織l線段都對(duì)應(yīng)兩個(gè)向量，所以由（1）可知共可得到 個(gè)向量。.123n-14n（n-1）條線段4.任意畫一條直線，在直線上任取n個(gè)分點(diǎn).解

9、：（1）當(dāng)直線上題型二：投信問題例1. 把3封信投到4個(gè)信箱，所有可能的投法有多少種？練習(xí)1：（課本12頁(yè) 8題）（1）4名同學(xué)分別報(bào)名參加學(xué)校的足球隊(duì)、籃球隊(duì)、乒乓球隊(duì)，每人限報(bào)其中的一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)，不同報(bào)法的種數(shù)是34還是43？（2）3個(gè)班分別從5個(gè)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)是35還是53？易錯(cuò)點(diǎn)：分不清兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，首先明確“要完成的一件事”，如何完成？分類還是分步，然后合理選擇計(jì)數(shù)原理。解：（1）一件事情是“4名同學(xué)分別參加3個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)中的一個(gè)，每人限報(bào)一個(gè)，可以報(bào)同一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)”，應(yīng)該是人選運(yùn)動(dòng)隊(duì)，所以不同報(bào)法種數(shù)是34.（2）一件事情是“3個(gè)班分別從5個(gè)景點(diǎn)中選擇一處游覽”，應(yīng)該是

10、班選景點(diǎn)，故不同的選法種數(shù)是53.題型二：投信問題例1. 把3封信投到4個(gè)信箱，所有可能的投法（2）因?yàn)槊織l線段都對(duì)應(yīng)兩個(gè)向量，所以由（1）可知共可得到 個(gè)向量。第2步涂，從余下的4種顏色中任選一種,有4種涂法;第1步涂，從5種顏色中任選一種,有5種涂法;第2步，選副組長(zhǎng)，有4種方法，所以共有54=20種。利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)第2步：選一個(gè)十位數(shù)字，4種；第3類：三位數(shù)，個(gè)位數(shù)有2，7兩種取法，十位數(shù)有10種取法，百位數(shù)可以為1，2，3，4，共4種取法，共有2104=80個(gè)數(shù)。除第二天值班的人外（包括第一天值班的人），剩余6人都可安排。解：分3步來(lái)解決，由于各位上的數(shù)字不可重復(fù)，第2類：兩

11、位數(shù)，個(gè)位數(shù)有2，7兩種取法，十位數(shù)有9種取法，共有29=18個(gè)數(shù)；第2步，選副組長(zhǎng)，有4種方法，所以共有54=20種。第2步：選一個(gè)十位數(shù)字，4種；練習(xí)1:本例中的區(qū)域改為如圖所示,其他條件均不變,則不同的涂法共有多少種?從5名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各1名，有多少種不同的選法？第2步：選一個(gè)十位數(shù)字，4種；于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,不同的涂法有543=60(種).（2）因?yàn)槊織l線段都對(duì)應(yīng)兩個(gè)向量，所以由（1）可知共可得到 個(gè)向量。練習(xí)1：（課本12頁(yè) 8題）第1步涂,有5種涂法;第2步涂,有4種涂法;第3步涂,有3種涂法.在國(guó)慶長(zhǎng)假期間，要從7人中選若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不

12、出現(xiàn)同一人；練習(xí)1：（課本12頁(yè) 8題）同理，第四、五、六、七步均有6種方法。在國(guó)慶長(zhǎng)假期間，要從7人中選若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出現(xiàn)同一人；第1類：一位數(shù)，只有2，7兩個(gè)數(shù)；第1步：選一個(gè)百位數(shù)字，5種；解:第1個(gè)小方格可以從五種顏色中任取一種顏色涂上,有5種不同的涂法.解：分3步來(lái)解決，由于各位上的數(shù)字可重復(fù)，因此三位數(shù)中每一位都有5種來(lái)法，所以共可以組成555=125個(gè)三位數(shù).（2）3個(gè)班分別從5個(gè)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)是35還是53？題型三：涂色類問題例2.將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi),每格涂一種顏色,相鄰兩格涂不同的

13、顏色,如果顏色可以反復(fù)使用,共有多少種不同的涂色方法?解:第1個(gè)小方格可以從五種顏色中任取一種顏色涂上,有5種不同的涂法.當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí),有43=12(種)不同的涂法,第4個(gè)小方格有3種不同的涂法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5123=180(種)不同的涂法.當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí),有4種涂法,由于相鄰兩格不同色,因此,第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有544=80(種)不同的涂法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有180+80=260(種)不同的涂法.（2）因?yàn)槊織l線段都對(duì)應(yīng)兩個(gè)向量，所以由（1）可知共可得到 題型三：涂色類問題練習(xí)1:本例中的區(qū)域改

14、為如圖所示,其他條件均不變,則不同的涂法共有多少種?將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi),每格涂一種顏色,相鄰兩格涂不同的顏色,如果顏色可以反復(fù)使用,共有多少種不同的涂色方法?法一：依題意,可分兩類:不同色;同色. 第1類,不同色,則所涂的顏色各不相同,我們可將這件事情分成四步來(lái)完成.第1步涂,從5種顏色中任選一種,有5種涂法;第2步涂,從余下的4種顏色中任選一種,有4種涂法;第3步涂與第4步涂時(shí),分別有3種涂法和2種涂法.于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,不同的涂法為5432=120(種).第2類,同色,則不同色,我們可將涂色工作分成三步來(lái)完成.第1步涂,有5種涂法;第2

15、步涂,有4種涂法;第3步涂,有3種涂法.于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,不同的涂法有543=60(種).綜上可知,所求的涂色方法共有120+60=180(種).題型三：涂色類問題練習(xí)1:本例中的區(qū)域改為如圖所示,其他條件題型三：涂色類問題練習(xí)1:本例中的區(qū)域改為如圖所示,其他條件均不變,則不同的涂法共有多少種?將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi),每格涂一種顏色,相鄰兩格涂不同的顏色,如果顏色可以反復(fù)使用,共有多少種不同的涂色方法?法二：第1步涂，從5種顏色中任選一種,有5種涂法;第2步涂，從余下的4種顏色中任選一種,有4種涂法;第3步涂，與第4步涂時(shí),分別有3種涂法.于

16、是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,不同的涂法有5433=180(種).先涂相鄰最多的方格。題型三：涂色類問題練習(xí)1:本例中的區(qū)域改為如圖所示,其他條件題型三：涂色類問題練習(xí)2：（課本12頁(yè) 11題）在國(guó)慶長(zhǎng)假期間，要從7人中選若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出現(xiàn)同一人；連續(xù)值班2天，有多少種可能的安排方法？解：利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，分七步來(lái)求解。第一步，安排第一天的值班人員，有7種方法；第二步，安排第二天的值班人員，有6種方法；除第一天值班的人外，剩余6人都可安排。第三步，安排第三天的值班人員，有6種方法；除第二天值班的人外（包括第一天值班的人），剩余6人都可安排。同理，第四、五、六、七步均

17、有6種方法。公上所述，共有7666666=26592.題型三：涂色類問題練習(xí)2：（課本12頁(yè) 11題）解：利用分步第3步涂，與第4步涂時(shí),分別有3種涂法.于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,不同的涂法有543=60(種).利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)（2）從這n個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一個(gè)向量，可得到多少個(gè)向量？第2步，選副組長(zhǎng)，有4種方法，所以共有54=20種。第1步：選一個(gè)百位數(shù)字，在1，2，3，4四個(gè)數(shù)里選一個(gè)，4種選擇；變式1：各位上的數(shù)字不可以重復(fù)？解：要完成的一件事是“從5名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各1名”，分兩步完成：第1步，選正組長(zhǎng)，有5種方法；在國(guó)慶長(zhǎng)假期間，要從7人中選若干人在7天假期值班（每

18、天只需1人值班），不出現(xiàn)同一人；變式1：各位上的數(shù)字不可以重復(fù)？解：要完成的一件事是“從5名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各1名”，分兩步完成：第1步，選正組長(zhǎng)，有5種方法；解決計(jì)數(shù)問題的一般思維過程：在國(guó)慶長(zhǎng)假期間，要從7人中選若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出現(xiàn)同一人；第2類,同色,則不同色,我們可將涂色工作分成三步來(lái)完成.，1條線段，所以共得到 條線段。第2步：選一個(gè)十位數(shù)字，4種；解:第1個(gè)小方格可以從五種顏色中任取一種顏色涂上,有5種不同的涂法.練習(xí)3：（課本27頁(yè) 17題）法一：依題意,可分兩類:不同色;同色.第2步：選一個(gè)十位數(shù)字，4種；練習(xí)1：（課本12頁(yè) 8題）第3步涂，與第4步涂時(shí),分別有3種涂法.第2步：選一個(gè)十位數(shù)字，4種；由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有180+80=260(種)不同的涂法.在國(guó)慶長(zhǎng)假期間，要從7人中選若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出現(xiàn)同一人；當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí),有43=12(種)不同的涂法,第4個(gè)小方格有3種不同的涂法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5123=180(種)不同的涂法.于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,不