重慶綦江中學(xué)2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)二模試卷（含解析）

1、2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷注意事項(xiàng):1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，P為A1D1的中點(diǎn)，若三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的

2、表面積為（ ）A12BCD102費(fèi)馬素?cái)?shù)是法國(guó)大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的,形如的素?cái)?shù)(如：)為費(fèi)馬索數(shù),在不超過(guò)30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是()ABCD3某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）ABCD4已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作雙曲線的一條漸近線的垂線，分別交兩條漸近線于點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足恰為，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD5向量，且，則（ ）ABCD6如圖，用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為（ ）ABCD7

3、已知集合，則的真子集個(gè)數(shù)為（ ）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)8函數(shù)的圖象大致是（）ABCD9如圖，在中，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（ ）ABCD10一輛郵車從地往地運(yùn)送郵件，沿途共有地，依次記為，（為地，為地）從地出發(fā)時(shí)，裝上發(fā)往后面地的郵件各1件，到達(dá)后面各地后卸下前面各地發(fā)往該地的郵件，同時(shí)裝上該地發(fā)往后面各地的郵件各1件，記該郵車到達(dá)，各地裝卸完畢后剩余的郵件數(shù)記為則的表達(dá)式為（ ）ABCD11已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線PO，分別交雙曲線C的左，右支于另一點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為( )AB3C2D12設(shè)集合，

4、則（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線，已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)等于_14已知為矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)，現(xiàn)從這5個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn)，則這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率為_(kāi).15已知向量，若，則_.16設(shè)，滿足約束條件，則的最大值為_(kāi).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）某中學(xué)的甲、乙、丙三名同學(xué)參加高校自主招生考試，每位同學(xué)彼此獨(dú)立的從五所高校中任選2所（1）求甲、乙、丙三名同學(xué)都選高校的概率；（2）若已知甲同學(xué)特別喜歡高校，他必選校，另在四校中再隨機(jī)選1所；而同學(xué)乙和丙對(duì)五所高校沒(méi)有偏

5、愛(ài)，因此他們每人在五所高校中隨機(jī)選2所（i）求甲同學(xué)選高校且乙、丙都未選高校的概率；（ii）記為甲、乙、丙三名同學(xué)中選高校的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望18（12分）設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，若.（1）證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）是否存在常數(shù)，滿足？并說(shuō)明理由.19（12分）已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，求證：函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)20（12分）改革開(kāi)放年，我國(guó)經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識(shí)也需要不斷加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意

6、識(shí)，某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識(shí)調(diào)查.隨機(jī)抽取男女駕駛員各人，進(jìn)行問(wèn)卷測(cè)評(píng)，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示在分以上為交通安全意識(shí)強(qiáng).求的值，并估計(jì)該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率；已知交通安全意識(shí)強(qiáng)的樣本中男女比例為，完成下列列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)；安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)男性女性合計(jì)用分層抽樣的方式從得分在分以下的樣本中抽取人，再?gòu)娜酥须S機(jī)選取人對(duì)未來(lái)一年內(nèi)的交通違章情況進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求至少有人得分低于分的概率.附：其中21（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系；曲線C1的普通方程為(x-1)2 +y

7、2 =1，曲線C2的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（）求曲線C1和C2的極坐標(biāo)方程：（）設(shè)射線=(0)分別與曲線C1和C2相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的值22（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：x2a2（1）求橢圓C的方程；（2）假設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)若A為橢圓的上頂點(diǎn)，M為線段AB中點(diǎn)，連接OM并延長(zhǎng)交橢圓C于N，并且ON=62OM，求OB的長(zhǎng)；若原點(diǎn)O到直線l的距離為1，并且2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【答案解析】取B1C1的中點(diǎn)Q，連接PQ，

8、BQ，CQ，PD，則三棱柱BCQADP為直三棱柱，此直三棱柱和三棱錐PABC有相同的外接球，求出等腰三角形的外接圓半徑，然后利用勾股定理可求出外接球的半徑【題目詳解】如圖，取B1C1的中點(diǎn)Q，連接PQ，BQ，CQ，PD，則三棱柱BCQADP為直三棱柱，所以該直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，的外接圓直徑為，球O的半徑R滿足，所以球O的表面積S=4R2=，故選：C.【答案點(diǎn)睛】此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長(zhǎng)的關(guān)系，及球的表面積公式，解題時(shí)要注意審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題.2、B【答案解析】基本事件總數(shù)，能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和只有，共有個(gè)，根據(jù)古典概型求出概率【題目詳解】在

9、不超過(guò)的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù)，基本事件總數(shù)能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的只有，共有個(gè)則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是本題正確選項(xiàng)：【答案點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查列舉法解決古典概型問(wèn)題，是基礎(chǔ)題3、A【答案解析】利用已知條件畫出幾何體的直觀圖，然后求解幾何體的體積【題目詳解】幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示，則該幾何體的體積為：故選：【答案點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵4、B【答案解析】設(shè)點(diǎn)位于第二象限，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再由直線與直線垂直，轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積為可得出的值，進(jìn)而可求得雙曲線的離心率.【題目詳解】設(shè)點(diǎn)位于第二象限，由于軸，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)

10、為，縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)，由題意可知，直線與直線垂直，因此，雙曲線的離心率為.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是得出、的等量關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中等題.5、D【答案解析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算以及誘導(dǎo)公式，即可得出答案.【題目詳解】故選：D【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.6、D【答案解析】先求出球心到四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的距離，再加上側(cè)面三角形的高，即可求解.【題目詳解】設(shè)四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的圓心為，球心為，由題意，球的體積為，即可得球的半徑為1，又由邊長(zhǎng)為的正方形硬紙，可得圓的半徑為，利用球的性質(zhì)可得，又由到底面的距離即

11、為側(cè)面三角形的高，其中高為，所以球心到底面的距離為.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【答案解析】求出的元素，再確定其真子集個(gè)數(shù)【題目詳解】由，解得或，中有兩個(gè)元素，因此它的真子集有3個(gè)故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查集合的子集個(gè)數(shù)問(wèn)題，解題時(shí)可先確定交集中集合的元素個(gè)數(shù)，解題關(guān)鍵是對(duì)集合元素的認(rèn)識(shí)，本題中集合都是曲線上的點(diǎn)集8、C【答案解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項(xiàng)；結(jié)合特殊值，即可排除D選項(xiàng).【題目詳解】，函數(shù)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A，B；又當(dāng)時(shí)，故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)

12、函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，注意奇偶性及特殊值的用法，屬于基礎(chǔ)題.9、B【答案解析】，將,代入化簡(jiǎn)即可.【題目詳解】.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道中檔題.10、D【答案解析】根據(jù)題意，分析該郵車到第站時(shí)，一共裝上的郵件和卸下的郵件數(shù)目，進(jìn)而計(jì)算可得答案【題目詳解】解：根據(jù)題意，該郵車到第站時(shí)，一共裝上了件郵件，需要卸下件郵件，則，故選：D【答案點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，屬于中檔題11、D【答案解析】本道題結(jié)合雙曲線的性質(zhì)以及余弦定理，建立關(guān)于a與c的等式，計(jì)算離心率，即可【題目詳解】結(jié)合題意，繪圖，結(jié)合

13、雙曲線性質(zhì)可以得到PO=MO，而，結(jié)合四邊形對(duì)角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結(jié)合，故對(duì)三角形運(yùn)用余弦定理，得到，而結(jié)合，可得，代入上式子中，得到，結(jié)合離心率滿足，即可得出，故選D【答案點(diǎn)睛】本道題考查了余弦定理以及雙曲線的性質(zhì)，難度偏難12、C【答案解析】解對(duì)數(shù)不等式求得集合，由此求得兩個(gè)集合的交集.【題目詳解】由，解得，故.依題意，所以.故選：C【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)不等式的解法，考查集合交集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】方法一：依題意，知直線的方程為，代入圓的方程化簡(jiǎn)得，解得或，從而得或，則方法二：依題意，知直線的方

14、程為，代入圓的方程化簡(jiǎn)得，設(shè)，則，故.方法三：將圓的方程配方得,其半徑,圓心到直線的距離，則.14、【答案解析】基本事件總數(shù)，這3個(gè)點(diǎn)共線的情況有兩種和，由此能求出這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率【題目詳解】解：為矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)，現(xiàn)從，這5個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn)，基本事件總數(shù)，這3個(gè)點(diǎn)共線的情況有兩種和，這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率為故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題15、1【答案解析】根據(jù)向量加法和減法的坐標(biāo)運(yùn)算,先分別求得與,再結(jié)合向量的模長(zhǎng)公式即可求得的值.【題目詳解】向量,則,則因?yàn)榧?化簡(jiǎn)可得解得 故答案為: 【答案點(diǎn)睛】本題考查了向

15、量坐標(biāo)加法和減法的運(yùn)算,向量模長(zhǎng)的求法,屬于基礎(chǔ)題.16、29【答案解析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為以原點(diǎn)為圓心的圓，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【題目詳解】由約束條件作出可行域如圖：聯(lián)立，解得，目標(biāo)函數(shù)是以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，由圖可知，此圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，半徑最大，此時(shí)也最大，最大值為.所以本題答案為29.【答案點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.三、解

16、答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1） （2）（i）（ii）分布列見(jiàn)解析，【答案解析】（1）先計(jì)算甲、乙、丙同學(xué)分別選擇D高校的概率，利用事件的獨(dú)立性即得解；（2）（i）分別計(jì)算每個(gè)事件的概率，再利用事件的獨(dú)立性即得解；（ii），利用事件的獨(dú)立性，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望即得解.【題目詳解】（1）甲從五所高校中任選2所，共有共10種情況，甲、乙、丙同學(xué)都選高校，共有四種情況，甲同學(xué)選高校的概率為，因此乙、丙兩同學(xué)選高校的概率為,因?yàn)槊课煌瑢W(xué)彼此獨(dú)立，所以甲、乙、丙三名同學(xué)都選高校的概率為（2）（i）甲同學(xué)必選校且選高校的概率為，乙未選高校的概率

17、為，丙未選高校的概率為，因?yàn)槊课煌瑢W(xué)彼此獨(dú)立，所以甲同學(xué)選高校且乙、丙都未選高校的概率為（ii），因此，即的分布列為0123因此數(shù)學(xué)期望為【答案點(diǎn)睛】本題考查了事件獨(dú)立性的應(yīng)用和隨機(jī)變量的分布列和期望，考查了學(xué)生綜合分析，概念理解，實(shí)際應(yīng)用，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.18、（1）證明見(jiàn)解析（0，2）；（2）存在，理由見(jiàn)解析【答案解析】（1）設(shè)直線l的方程為y=kx+b代入拋物線的方程，利用OAOB，求出b，即可知直線過(guò)定點(diǎn)（2）由斜率公式分別求出，聯(lián)立直線與拋物線，橢圓，再由根與系數(shù)的關(guān)系得，代入，化簡(jiǎn)即可求解.【題目詳解】（1）證明：由題知，直線l的斜率存在且不過(guò)原點(diǎn)，故設(shè)由可得，.，故所

18、以直線l的方程為故直線l恒過(guò)定點(diǎn).（2）由（1）知設(shè)由可得，即存在常數(shù)滿足題意.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系，直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題19、見(jiàn)解析【答案解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，其定義域?yàn)椋瑒t，設(shè)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，為，無(wú)極大值（2）由題可得函數(shù)的定義域?yàn)椋O(shè)，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，又，所以函?shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)有

19、且僅有一個(gè)零點(diǎn)綜上，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)20、，概率為；列聯(lián)表詳見(jiàn)解析，有的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)；.【答案解析】根據(jù)頻率和為列方程求得的值，計(jì)算得分在分以上的頻率即可；根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計(jì)算的值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；用分層抽樣法求得抽取各分?jǐn)?shù)段人數(shù)，用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值.【題目詳解】解： 解得. 所以，該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率 根據(jù)題意可知，安全意識(shí)強(qiáng)的人數(shù)有，其中男性為人，女性為人，填寫列聯(lián)表如下：安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)男性女性合計(jì) 所以有的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān). 由題意可知分?jǐn)?shù)在，的分別為名和名， 所以分層抽取的人數(shù)分別為名和名， 設(shè)的為，的為，則基本事件空間為，共種， 設(shè)至少有人得分低于分的事件為，則事件包含的基本事件有，共種所以.【答案點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)應(yīng)用問(wèn)題，也考查了列舉法求古典概型的概率問(wèn)題，屬于中檔題.21、（），;（）【答案解析】（）根據(jù)，可得曲線C1的極坐標(biāo)方程，然后先計(jì)算曲線C2的普通方程，最后根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，可得結(jié)果.（）將射線=分別與曲線C1和C2極坐標(biāo)方程聯(lián)立，可得A，B的極坐標(biāo)，然后簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.【題目詳解】（）由所以曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的普