【八年級數(shù)學】《實數(shù)和二次根式》全章復習與鞏固-教師講義

1、中 正 教 育 教 師 輔 導 講 義年 級： 八年級 課 時 數(shù)：3 學員姓名： 輔導科目： 數(shù)學 學科教師：課程主題 實數(shù)和二次根式全章復習與鞏固授課類型T 課本同步C 專題輔導T 應用能力提升授課日期時段年 月 日 段（ ：00- ：00）重難點詮釋教學內(nèi)容 【學習目標】1.了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根.2.了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數(shù)的平方根，會用立方運算求某些數(shù)的立方根，會用計算器求平方根和立方根.3.了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，有序?qū)崝?shù)對與平面上的點一一對應；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴大為實數(shù)后，概

2、念、運算等的一致性及其發(fā)展變化.4.能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍.5.理解并掌握二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的定義和性質(zhì).6.熟練掌握二次根式的加、減、乘、除運算，會用它們進行有關(guān)實數(shù)的四則運算.7.了解代數(shù)式的概念，進一步體會代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用.【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】要點一、平方根和立方根 類型項目平方根立方根被開方數(shù)非負數(shù)任意實數(shù)符號表示性質(zhì)一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)；零的平方根為零；負數(shù)沒有平方根；一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零；重要結(jié)論要點二、無理數(shù)與實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).1.實數(shù)的分類實數(shù)要點詮釋：（1）

3、所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù) （2）無理數(shù)分成三類：開方開不盡的數(shù)，如，等；有特殊意義的數(shù)，如； 有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001 （3）凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分數(shù)形式.2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一 一對應數(shù)軸上的任何一個點都對應一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應.3.實數(shù)的三個非負性及性質(zhì)在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)。我們已經(jīng)學習過的非負數(shù)有如下三種形式： （1）任何一個實數(shù)的絕對值是非負數(shù)，即|0；（2）任何一個實數(shù)的平方是非負數(shù)，即

4、0；（3）任何非負數(shù)的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即 ().非負數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）非負數(shù)有最小值零；（2）有限個非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；（3）幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于0.4.實數(shù)的運算數(shù)的相反數(shù)是；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里. 5.實數(shù)的大小的比較有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.法則1. 實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù) 大；法則2正數(shù)大于0，

5、0大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而??；法則3. 兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.要點三、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)1. 二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要點詮釋：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)（1）；（2）；（3）.要點詮釋：（1） 一個非負數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即 （），如（）.（2） 中的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論取何值，一定有意義.（3）化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡.（4）與的異同不同點：中可以取任何實數(shù)，而

6、中的必須取非負數(shù)；=，=（）.相同點：被開方數(shù)都是非負數(shù)，當取非負數(shù)時，=.3. 最簡二次根式（1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；（2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.要點詮釋：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.要點詮釋：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.要點四、二次根式的運算1. 乘除法（1）乘除法

7、法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術(shù)平方根化簡公式：二次根式的除法商的算術(shù)平方根化簡公式：要點詮釋：（1）當二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數(shù)一定是非負數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如.2.加減法將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.要點詮釋：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.【典型例題】類型一、有關(guān)方根的問題1、下列命題：負數(shù)沒有立方根；一個實數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)；一個正數(shù)或負數(shù)的立方根與這個數(shù)同號；如果一

8、個數(shù)的算術(shù)平方根是這個數(shù)本身，那么這個數(shù)是1或0；如果一個數(shù)的立方根是這個數(shù)本身，那么這個數(shù)是1或0 ，其中錯誤的有（）A.2個 B.3 個 C.4 個 D.5個 【答案】B；【解析】負數(shù)有立方根；0的算術(shù)平方根是0；立方根是本身的數(shù)有0，1.【總結(jié)升華】把握平方根和立方根的定義是解題關(guān)鍵.舉一反三：【變式】下列運算正確的是（ ） A B C D【答案】C； 2、若，則 若，則【答案】1.01；7.16；【解析】102.01向左移動2位變成1.0201，它的平方根向左移動1位，變成1.01，注意符號；0.3670向右移動3位變成367，它的立方根向右移動1位，變成7.16【總結(jié)升華】一個數(shù)向左

9、移動2位，它的平方根向左移動1位；一個數(shù)向右移動3位，它的立方根向右移動1位.類型二、與實數(shù)有關(guān)的問題3、把下列各數(shù)填入相應的集合：1、3.14、（1）有理數(shù)集合 ；（2）無理數(shù)集合 ；（3）正實數(shù)集合 ；（4）負實數(shù)集合 【思路點撥】首先把能化簡的數(shù)都化簡，然后對照概念填到對應的括號里.【答案與解析】（1）有理數(shù)集合1、3.14、 ；（2）無理數(shù)集合 、 ；（3）正實數(shù)集合 、 ；（4）負實數(shù)集合 1、3.14、 【總結(jié)升華】有理數(shù)是有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù).總結(jié)常見的無理數(shù)形式.舉一反三：【變式】在實數(shù)，其中無理數(shù)有（ ）A1個 B2個 C3個 D4個 【答案】B；提

10、示：無理數(shù)有，.4、計算（1）（2）（3）【思路點撥】先逐個化簡后，再按照計算法則進行計算.【答案與解析】解：（1） （2） （3）.【總結(jié)升華】根據(jù)開立方和立方，開平方和平方互逆運算的關(guān)系，可以通過立方、平方的方法去求一個數(shù)的立方根、平方根.舉一反三：【變式】計算(1) (2) 【答案】解：(1) (2) .5、若，化簡【思路點撥】由判斷0，再判斷絕對值里的數(shù)的正負，由絕對值的定義去掉絕對值.【答案與解析】解：，0，【總結(jié)升華】含絕對值號的代數(shù)式的化簡是重點也是難點.分類的標準應按正實數(shù),負實數(shù),零分類考慮.掌握好分類標準,不斷加強分類討論的意識.舉一反三：【變式1】實數(shù)、在數(shù)軸上所對應的點

11、的位置如圖所示：化簡 .【答案】解：0,0()2.【高清課堂：389318 實數(shù)復習，例5】【變式2】實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則的大小關(guān)系是： ；【答案】；類型三、二次根式概念與運算6、 當_時，二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.【答案】3.【解析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，必須0才有意義.【總結(jié)升華】本例考查了二次根式成立的條件，要牢記，只有時才是二次根式.舉一反三【變式】成立的條件是_. 成立的條件是_.【答案】 0；(0.) 2.(2)7、化簡.【答案與解析】 【總結(jié)升華】本題的求解用到了積的乘方的性質(zhì)，乘法運算律，平方差公式及根式的性質(zhì)，是一道綜合運算題型. 8、已知的值.【答案與解析】【總結(jié)

12、升華】 化簡求值時要注意的取值范圍，如果未確定要注意分類討論.舉一反三【變式】已知=-3, =1,求的值.【答案】解：=-3,=1，,. 【鞏固練習】一.選擇題1. 下列說法正確的是（ ）A數(shù)軸上任一點表示唯一的有理數(shù)B數(shù)軸上任一點表示唯一的無理數(shù)C兩個無理數(shù)之和一定是無理數(shù)D數(shù)軸上任意兩點之間都有無數(shù)個點2下列說法中，正確的是（ ）A0.4的算術(shù)平方根是0.2 B16的平方根是4 C的立方根是4 D 的立方根是3. 的同類二次根式是（ ）.A. B. C. D.4. ，則的值是（ ）A. B. C. D. 5. 若式子有意義,則的取值范圍是 ( ).A. B. C. D. 以上答案都不對.

13、6. 下列說法中錯誤的是（ ）A.中的可以是正數(shù)、負數(shù)或零. B.中的不可能是負數(shù). C. 數(shù)的平方根有兩個. D.數(shù)的立方根有一個.7. 數(shù)軸上A，B兩點表示實數(shù)，則下列選擇正確的是（ ）A. B. C. D.8. 估算的值在 （ ）A. 5和6之間 B.6和7之間 C.7和8之間 D.8和9之間二.填空題9. 若的整數(shù)部分是，則其小數(shù)部分用表示為 10當 時，有意義.11. .12. 已知最簡二次根式是同類二次根式，則的值為_.13. 的平方根是 . 14.若，則 .15. 比較大?。?， ， 16. 數(shù)軸上離原點距離是的點表示的數(shù)是 .三.解答題17 計算：(1) (2) 18.已知：，

14、求的值.19. 已知：表示、兩個實數(shù)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，請你化簡20. 閱讀題：閱讀下面的文字，解答問題.大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是小明用1表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎?事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數(shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分.請解答：已知：10，其中是整數(shù)，且,求的相反數(shù).【答案與解析】一.選擇題1. 【答案】D；【解析】數(shù)軸上任一點都表示唯一的實數(shù).2. 【答案】D； 【解析】；16的平方根是4；的立方根是2.3【答案】C ;【解析】判斷是否是同類二次根式，一定要先化為最簡二次根

15、式，再判斷. 因為 A B. C. D .,而，所以選C.4. 【答案】B； 【解析】.5. 【答案】A；6. 【答案】C；【解析】數(shù)不確定正負，負數(shù)沒有平方根.7. 【答案】C；8. 【答案】B； 【解析】，.二.填空題9. 【答案】；10.【答案】為任意實數(shù) ； 【解析】任何實數(shù)都有立方根.11.【答案】； 【解析】.12【答案】2； 【解析】因為是同類二次根式，所以,解方程組得.13.【答案】 ；【解析】 7，7的平方根是. 14.【答案】； 【解析】被開方數(shù)的小數(shù)點向左移動2位，平方根向左移動1位.15.【答案】；16.【答案】； 【解析】數(shù)軸上離原點距離是的點有兩個，分別在原點的左右

16、兩邊.三.解答題17.【解析】 解：(1) 原式= (2) =.18.【解析】解：原式.19.【解析】解：020.【解析】解：111012 11，1011 . 【鞏固練習】一.選擇題1已知、是實數(shù)，下列命題結(jié)論正確的是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則2. 下列說法正確的有（ ）無限小數(shù)不一定是無理數(shù)； 無理數(shù)一定是無限小數(shù)；帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)； 不帶根號的數(shù)一定是有理數(shù).A B C D 3已知，那么滿足上述條件的整數(shù)的個數(shù)是（ ）.A4 B. 5 C. 6 D. 74若0，則的結(jié)果是( ).A0 B-2 C0或-2 D25. 若，則，的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D.6.下列

17、運算中正確的是（ ）A. B. C. D. 7. 已知:（ ） A.2360 B.2360 C.23600 D.236008. 27的立方根與的算術(shù)平方根的和是（ ）A0B6C6或12D0或6二.填空題9. 下列命題中正確的有 (填序號)(1)若那么; (2)兩數(shù)的和大于等于這兩數(shù)的差; (3)若那么; (4)若 則; (5) (6)一個數(shù)越大,這個數(shù)的倒數(shù)越小; (7)有理數(shù)加有理數(shù)一定是有理數(shù); (8)無理數(shù)加無理數(shù)一定是無理數(shù); (9)無理數(shù)乘無理數(shù)一定是無理數(shù);10. 已知和互為相反數(shù)，且，_11. 若，則 ，若，則 .12. 已知 : .13. 若有意義，則_.14. 閱讀下列材料：

18、設，則，則由得：，即.所以.根據(jù)上述提供的方法把下列兩個數(shù)化成分數(shù). ； 15. 方程 的解 _ .16. 若則的值等于_.三.解答題17 計算：(1) (2) 18.已知：19. 把下列無限循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)：（1） （2） （3）20細心觀察右圖，認真分析各式，然后解答問題：； ； ，；（1）請用含n(n為正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律；（2）觀察總結(jié)得出結(jié)論：三角形兩條直角邊與斜邊的關(guān)系，用一句話概括為： ；（3）利用上面的結(jié)論及規(guī)律，請作出等于的長度；（4）你能計算出的值嗎？【答案與解析】一.選擇題1. 【答案】B；【解析】B答案表明，故.2. 【答案】A；3【答案】C；【解析】由原式得： 所以，因為，,所以.4.【答案】D；.5. 【答案】C；【解析】可以取特殊值驗證.6. 【答案】D；7. 【答案】D；【解析】2.868向右移動1位，23.6應向右移動3位得23600，考慮到符號，23600.8. 【答案】A；【解析】，9的算術(shù)平方根是3，故選A.二.填空題9. 【答案】（1），（4），（5），（7）；10.【答案】2；【解析】兩個非負數(shù)互為相反數(shù)則只能均為0，于是可求2.11.【答案】；【解析】正數(shù)的平方根有2個，實數(shù)有一個與它符號相同的立方根.12.【答案】0.04858 【解析】23.6向左移動4位，4.858向左移動2位得0.04858.13.【答案】