【八年級(jí)數(shù)學(xué)】《實(shí)數(shù)和二次根式》全章復(fù)習(xí)與鞏固-教師講義

1、中 正 教 育 教 師 輔 導(dǎo) 講 義年 級(jí)： 八年級(jí) 課 時(shí) 數(shù)：3 學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目： 數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：課程主題 實(shí)數(shù)和二次根式全章復(fù)習(xí)與鞏固授課類型T 課本同步C 專題輔導(dǎo)T 應(yīng)用能力提升授課日期時(shí)段年 月 日 段（ ：00- ：00）重難點(diǎn)詮釋教學(xué)內(nèi)容 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根、立方根.2.了解開方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會(huì)用立方運(yùn)算求某些數(shù)的立方根，會(huì)用計(jì)算器求平方根和立方根.3.了解無理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴(kuò)大為實(shí)數(shù)后，概

2、念、運(yùn)算等的一致性及其發(fā)展變化.4.能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)的大致范圍.5.理解并掌握二次根式、最簡(jiǎn)二次根式、同類二次根式的定義和性質(zhì).6.熟練掌握二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算.7.了解代數(shù)式的概念，進(jìn)一步體會(huì)代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平方根和立方根 類型項(xiàng)目平方根立方根被開方數(shù)非負(fù)數(shù)任意實(shí)數(shù)符號(hào)表示性質(zhì)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且互為相反數(shù)；零的平方根為零；負(fù)數(shù)沒有平方根；一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零；重要結(jié)論要點(diǎn)二、無理數(shù)與實(shí)數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).1.實(shí)數(shù)的分類實(shí)數(shù)要點(diǎn)詮釋：（1）

3、所有的實(shí)數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù) （2）無理數(shù)分成三類：開方開不盡的數(shù)，如，等；有特殊意義的數(shù)，如； 有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001 （3）凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式.2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一 一對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).3.實(shí)數(shù)的三個(gè)非負(fù)性及性質(zhì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負(fù)數(shù)有如下三種形式： （1）任何一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，即|0；（2）任何一個(gè)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，即

4、0；（3）任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即 ().非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）非負(fù)數(shù)有最小值零；（2）有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)；（3）幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0.4.實(shí)數(shù)的運(yùn)算數(shù)的相反數(shù)是；一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級(jí)運(yùn)算按從左到右順序進(jìn)行，有括號(hào)先算括號(hào)里. 5.實(shí)數(shù)的大小的比較有理數(shù)大小的比較法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.法則1. 實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù) 大；法則2正數(shù)大于0，

5、0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而小；法則3. 兩個(gè)數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.要點(diǎn)三、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)1. 二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要點(diǎn)詮釋：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時(shí)，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)（1）；（2）；（3）.要點(diǎn)詮釋：（1） 一個(gè)非負(fù)數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即 （），如（）.（2） 中的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論取何值，一定有意義.（3）化簡(jiǎn)時(shí)，先將它化成，再根據(jù)絕對(duì)值的意義來進(jìn)行化簡(jiǎn).（4）與的異同不同點(diǎn)：中可以取任何實(shí)數(shù)，而

6、中的必須取非負(fù)數(shù)；=，=（）.相同點(diǎn)：被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)取非負(fù)數(shù)時(shí)，=.3. 最簡(jiǎn)二次根式（1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；（2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.如等都是最簡(jiǎn)二次根式.要點(diǎn)詮釋：最簡(jiǎn)二次根式有兩個(gè)要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個(gè)因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同類二次根式幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫同類二次根式.要點(diǎn)詮釋：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.要點(diǎn)四、二次根式的運(yùn)算1. 乘除法（1）乘除法

7、法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：二次根式的除法商的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：要點(diǎn)詮釋：（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)（在分母上時(shí)只能為正數(shù)）.如.2.加減法將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.要點(diǎn)詮釋：二次根式相加減時(shí)，要先將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.【典型例題】類型一、有關(guān)方根的問題1、下列命題：負(fù)數(shù)沒有立方根；一個(gè)實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)；一個(gè)正數(shù)或負(fù)數(shù)的立方根與這個(gè)數(shù)同號(hào)；如果一

8、個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是這個(gè)數(shù)本身，那么這個(gè)數(shù)是1或0；如果一個(gè)數(shù)的立方根是這個(gè)數(shù)本身，那么這個(gè)數(shù)是1或0 ，其中錯(cuò)誤的有（）A.2個(gè) B.3 個(gè) C.4 個(gè) D.5個(gè) 【答案】B；【解析】負(fù)數(shù)有立方根；0的算術(shù)平方根是0；立方根是本身的數(shù)有0，1.【總結(jié)升華】把握平方根和立方根的定義是解題關(guān)鍵.舉一反三：【變式】下列運(yùn)算正確的是（ ） A B C D【答案】C； 2、若，則 若，則【答案】1.01；7.16；【解析】102.01向左移動(dòng)2位變成1.0201，它的平方根向左移動(dòng)1位，變成1.01，注意符號(hào)；0.3670向右移動(dòng)3位變成367，它的立方根向右移動(dòng)1位，變成7.16【總結(jié)升華】一個(gè)數(shù)向左

9、移動(dòng)2位，它的平方根向左移動(dòng)1位；一個(gè)數(shù)向右移動(dòng)3位，它的立方根向右移動(dòng)1位.類型二、與實(shí)數(shù)有關(guān)的問題3、把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合：1、3.14、（1）有理數(shù)集合 ；（2）無理數(shù)集合 ；（3）正實(shí)數(shù)集合 ；（4）負(fù)實(shí)數(shù)集合 【思路點(diǎn)撥】首先把能化簡(jiǎn)的數(shù)都化簡(jiǎn)，然后對(duì)照概念填到對(duì)應(yīng)的括號(hào)里.【答案與解析】（1）有理數(shù)集合1、3.14、 ；（2）無理數(shù)集合 、 ；（3）正實(shí)數(shù)集合 、 ；（4）負(fù)實(shí)數(shù)集合 1、3.14、 【總結(jié)升華】有理數(shù)是有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù).總結(jié)常見的無理數(shù)形式.舉一反三：【變式】在實(shí)數(shù)，其中無理數(shù)有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 【答案】B；提

10、示：無理數(shù)有，.4、計(jì)算（1）（2）（3）【思路點(diǎn)撥】先逐個(gè)化簡(jiǎn)后，再按照計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算.【答案與解析】解：（1） （2） （3）.【總結(jié)升華】根據(jù)開立方和立方，開平方和平方互逆運(yùn)算的關(guān)系，可以通過立方、平方的方法去求一個(gè)數(shù)的立方根、平方根.舉一反三：【變式】計(jì)算(1) (2) 【答案】解：(1) (2) .5、若，化簡(jiǎn)【思路點(diǎn)撥】由判斷0，再判斷絕對(duì)值里的數(shù)的正負(fù)，由絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值.【答案與解析】解：，0，【總結(jié)升華】含絕對(duì)值號(hào)的代數(shù)式的化簡(jiǎn)是重點(diǎn)也是難點(diǎn).分類的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)按正實(shí)數(shù),負(fù)實(shí)數(shù),零分類考慮.掌握好分類標(biāo)準(zhǔn),不斷加強(qiáng)分類討論的意識(shí).舉一反三：【變式1】實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

11、的位置如圖所示：化簡(jiǎn) .【答案】解：0,0()2.【高清課堂：389318 實(shí)數(shù)復(fù)習(xí)，例5】【變式2】實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則的大小關(guān)系是： ；【答案】；類型三、二次根式概念與運(yùn)算6、 當(dāng)_時(shí)，二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.【答案】3.【解析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，必須0才有意義.【總結(jié)升華】本例考查了二次根式成立的條件，要牢記，只有時(shí)才是二次根式.舉一反三【變式】成立的條件是_. 成立的條件是_.【答案】 0；(0.) 2.(2)7、化簡(jiǎn).【答案與解析】 【總結(jié)升華】本題的求解用到了積的乘方的性質(zhì)，乘法運(yùn)算律，平方差公式及根式的性質(zhì)，是一道綜合運(yùn)算題型. 8、已知的值.【答案與解析】【總結(jié)

12、升華】 化簡(jiǎn)求值時(shí)要注意的取值范圍，如果未確定要注意分類討論.舉一反三【變式】已知=-3, =1,求的值.【答案】解：=-3,=1，,. 【鞏固練習(xí)】一.選擇題1. 下列說法正確的是（ ）A數(shù)軸上任一點(diǎn)表示唯一的有理數(shù)B數(shù)軸上任一點(diǎn)表示唯一的無理數(shù)C兩個(gè)無理數(shù)之和一定是無理數(shù)D數(shù)軸上任意兩點(diǎn)之間都有無數(shù)個(gè)點(diǎn)2下列說法中，正確的是（ ）A0.4的算術(shù)平方根是0.2 B16的平方根是4 C的立方根是4 D 的立方根是3. 的同類二次根式是（ ）.A. B. C. D.4. ，則的值是（ ）A. B. C. D. 5. 若式子有意義,則的取值范圍是 ( ).A. B. C. D. 以上答案都不對(duì).

13、6. 下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）A.中的可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零. B.中的不可能是負(fù)數(shù). C. 數(shù)的平方根有兩個(gè). D.數(shù)的立方根有一個(gè).7. 數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，則下列選擇正確的是（ ）A. B. C. D.8. 估算的值在 （ ）A. 5和6之間 B.6和7之間 C.7和8之間 D.8和9之間二.填空題9. 若的整數(shù)部分是，則其小數(shù)部分用表示為 10當(dāng) 時(shí)，有意義.11. .12. 已知最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，則的值為_.13. 的平方根是 . 14.若，則 .15. 比較大?。?， ， 16. 數(shù)軸上離原點(diǎn)距離是的點(diǎn)表示的數(shù)是 .三.解答題17 計(jì)算：(1) (2) 18.已知：，

14、求的值.19. 已知：表示、兩個(gè)實(shí)數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，請(qǐng)你化簡(jiǎn)20. 閱讀題：閱讀下面的文字，解答問題.大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是小明用1表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎?事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)榈恼麛?shù)部分是1，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分.請(qǐng)解答：已知：10，其中是整數(shù)，且,求的相反數(shù).【答案與解析】一.選擇題1. 【答案】D；【解析】數(shù)軸上任一點(diǎn)都表示唯一的實(shí)數(shù).2. 【答案】D； 【解析】；16的平方根是4；的立方根是2.3【答案】C ;【解析】判斷是否是同類二次根式，一定要先化為最簡(jiǎn)二次根

15、式，再判斷. 因?yàn)?A B. C. D .,而，所以選C.4. 【答案】B； 【解析】.5. 【答案】A；6. 【答案】C；【解析】數(shù)不確定正負(fù)，負(fù)數(shù)沒有平方根.7. 【答案】C；8. 【答案】B； 【解析】，.二.填空題9. 【答案】；10.【答案】為任意實(shí)數(shù) ； 【解析】任何實(shí)數(shù)都有立方根.11.【答案】； 【解析】.12【答案】2； 【解析】因?yàn)槭峭惗胃剑?解方程組得.13.【答案】 ；【解析】 7，7的平方根是. 14.【答案】； 【解析】被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)2位，平方根向左移動(dòng)1位.15.【答案】；16.【答案】； 【解析】數(shù)軸上離原點(diǎn)距離是的點(diǎn)有兩個(gè)，分別在原點(diǎn)的左右

16、兩邊.三.解答題17.【解析】 解：(1) 原式= (2) =.18.【解析】解：原式.19.【解析】解：020.【解析】解：111012 11，1011 . 【鞏固練習(xí)】一.選擇題1已知、是實(shí)數(shù)，下列命題結(jié)論正確的是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則2. 下列說法正確的有（ ）無限小數(shù)不一定是無理數(shù)； 無理數(shù)一定是無限小數(shù)；帶根號(hào)的數(shù)不一定是無理數(shù)； 不帶根號(hào)的數(shù)一定是有理數(shù).A B C D 3已知，那么滿足上述條件的整數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）.A4 B. 5 C. 6 D. 74若0，則的結(jié)果是( ).A0 B-2 C0或-2 D25. 若，則，的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D.6.下列

17、運(yùn)算中正確的是（ ）A. B. C. D. 7. 已知:（ ） A.2360 B.2360 C.23600 D.236008. 27的立方根與的算術(shù)平方根的和是（ ）A0B6C6或12D0或6二.填空題9. 下列命題中正確的有 (填序號(hào))(1)若那么; (2)兩數(shù)的和大于等于這兩數(shù)的差; (3)若那么; (4)若 則; (5) (6)一個(gè)數(shù)越大,這個(gè)數(shù)的倒數(shù)越小; (7)有理數(shù)加有理數(shù)一定是有理數(shù); (8)無理數(shù)加無理數(shù)一定是無理數(shù); (9)無理數(shù)乘無理數(shù)一定是無理數(shù);10. 已知和互為相反數(shù)，且，_11. 若，則 ，若，則 .12. 已知 : .13. 若有意義，則_.14. 閱讀下列材料：

18、設(shè)，則，則由得：，即.所以.根據(jù)上述提供的方法把下列兩個(gè)數(shù)化成分?jǐn)?shù). ； 15. 方程 的解 _ .16. 若則的值等于_.三.解答題17 計(jì)算：(1) (2) 18.已知：19. 把下列無限循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：（1） （2） （3）20細(xì)心觀察右圖，認(rèn)真分析各式，然后解答問題：； ； ，；（1）請(qǐng)用含n(n為正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律；（2）觀察總結(jié)得出結(jié)論：三角形兩條直角邊與斜邊的關(guān)系，用一句話概括為： ；（3）利用上面的結(jié)論及規(guī)律，請(qǐng)作出等于的長(zhǎng)度；（4）你能計(jì)算出的值嗎？【答案與解析】一.選擇題1. 【答案】B；【解析】B答案表明，故.2. 【答案】A；3【答案】C；【解析】由原式得： 所以，因?yàn)椋?所以.4.【答案】D；.5. 【答案】C；【解析】可以取特殊值驗(yàn)證.6. 【答案】D；7. 【答案】D；【解析】2.868向右移動(dòng)1位，23.6應(yīng)向右移動(dòng)3位得23600，考慮到符號(hào)，23600.8. 【答案】A；【解析】，9的算術(shù)平方根是3，故選A.二.填空題9. 【答案】（1），（4），（5），（7）；10.【答案】2；【解析】?jī)蓚€(gè)非負(fù)數(shù)互為相反數(shù)則只能均為0，于是可求2.11.【答案】；【解析】正數(shù)的平方根有2個(gè)，實(shí)數(shù)有一個(gè)與它符號(hào)相同的立方根.12.【答案】0.04858 【解析】23.6向左移動(dòng)4位，4.858向左移動(dòng)2位得0.04858.13.【答案】