【八年級數(shù)學(xué)講義】分式（一）教師

1、青 藍 教 育 學(xué) 科 教 師 講 義講義編號： 副校長/組長簽字： 簽字日期： 學(xué)員編號 ： 年 級 ： 課 時 數(shù) ：3課程類型： 輔 導(dǎo) 科 目 ：數(shù)學(xué) 學(xué) 科 教 師 ： 王夢珠課程主題 分式（一）課 型 預(yù)習(xí)課 同步課 復(fù)習(xí)課 習(xí)題課課 次1授課日期及時段 2017年 月 日 ：00 ：00 教 學(xué) 目 的1掌握分式的四則運算法則、運算順序、運算律2能正確進行分式的四則運算3. 掌握零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義4掌握科學(xué)記數(shù)法重 難 點教 學(xué) 內(nèi) 容 1、分式的認(rèn)識要點一、分式的概念一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要點詮

2、釋：（1）分式的形式和分?jǐn)?shù)類似，但它們是有區(qū)別的.分?jǐn)?shù)是整式，不是分式，分式是兩個整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分?jǐn)?shù)的分子、分母中都不含字母. （2）分式與分?jǐn)?shù)是相互聯(lián)系的：由于分式中的字母可以表示不同的數(shù)，所以分式比分?jǐn)?shù)更具有一般性；分?jǐn)?shù)是分式中字母取特定值后的特殊情況. （3）分母中的“字母”是表示不同數(shù)的“字母”，但表示圓周率，是一個常數(shù)，不是字母，如是整式而不能當(dāng)作分式. （4）分母中含有字母是分式的一個重要標(biāo)志，判斷一個代數(shù)式是否是分式不能先化簡，如是分式，與有區(qū)別，是整式，即只看形式，不能看化簡的結(jié)果.要點二、分式有意義，無意義或等于零的條件 1.分式有意義的條件：分母不等

3、于零.2.分式無意義的條件：分母等于零.3.分式的值為零的條件：分子等于零且分母不等于零.要點詮釋：（1）分式有無意義與分母有關(guān)但與分子無關(guān)，分式要明確其是否有意義，就必須分析、討論分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值為零. （2）本章中如果沒有特殊說明，所遇到的分式都是有意義的，也就是說分式中分母的值不等于零. （3）必須在分式有意義的前提下，才能討論分式的值.要點三、分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變，這個性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.要點詮釋：（1）基本性質(zhì)中的A、B、M表示的是整式.其中B0是已知條件中

4、隱含著的條件，一般在解題過程中不另強調(diào)；M0是在解題過程中另外附加的條件，在運用分式的基本性質(zhì)時，必須重點強調(diào)M0這個前提條件. （2）在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)進行分式變形時，雖然分式的值不變，但分式中字母的取值范圍有可能發(fā)生變化.例如：，在變形后，字母的取值范圍變大了.要點四、分式的變號法則對于分式中的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變；改變其中任何一個或三個，分式成為原分式的相反數(shù).要點詮釋：根據(jù)分式的基本性質(zhì)有，.根據(jù)有理數(shù)除法的符號法則有.分式與互為相反數(shù).分式的符號法則在以后關(guān)于分式的運算中起著重要的作用.要點五、分式的約分，最簡分式與分?jǐn)?shù)的約分類似，利用分式的基

5、本性質(zhì)，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.如果一個分式的分子與分母沒有相同的因式（1除外），那么這個分式叫做最簡分式.要點詮釋：（1）約分的實質(zhì)是將一個分式化成最簡分式，即約分后，分式的分子與分母再沒有公因式.（2）約分的關(guān)鍵是確定分式的分子與分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系數(shù)的最大公約數(shù)與相同因式最低次冪的積；當(dāng)分式的分子、分母中含有多項式時，要先將其分解因式，使之轉(zhuǎn)化為分子與分母是不能再分解的因式積的形式，然后再進行約分.要點六、分式的通分與分?jǐn)?shù)的通分類似，利用分式的基本性質(zhì)，使分式的分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，把分母不同?/p>

6、分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分.要點詮釋：（1）通分的關(guān)鍵是確定各分式的最簡公分母：一般取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母. （2）如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)與相同字母的最高次冪的乘積；如果各分母都是多項式，就要先把它們分解因式，然后再找最簡公分母. （3）約分和通分恰好是相反的兩種變形，約分是對一個分式而言，而通分則是針對多個分式而言.2、分式的乘除要點一、分式的乘除法 1.分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.用字母表示為：，其中是整式，.2.分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒

7、位置后，與被除式相乘.用字母表示為：，其中是整式，.要點詮釋：（1）分式的乘除法都能統(tǒng)一成乘法，然后約去公因式，化為最簡分式或整式.（2）分式與分式相乘，若分子和分母是多項式，則先分解因式，看能否約分，然后再乘.（3）整式與分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代數(shù)式）和分式的分子相乘作為分子，分母不變.當(dāng)整式是多項式時，同樣要先分解因式，便于約分.（4）分式的乘除法計算結(jié)果，要通過約分，化為最簡分式或整式.要點二、分式的乘方分式的乘方運算法則：分式的乘方是把分子、分母分別乘方，用字母表示為： （為正整數(shù)）.要點詮釋：（1）分式乘方時，一定要把分式加上括號.不要把寫成 （2）分式乘方

8、時，要首先確定乘方結(jié)果的符號，負(fù)數(shù)的偶次方為正，負(fù)數(shù)的奇次方為負(fù).（3）在一個算式中同時含有分式的乘方、乘法、除法時，應(yīng)先算乘方，再算乘除，有多項式時應(yīng)先分解因式，再約分.（4）分式乘方時，應(yīng)把分子、分母分別看作一個整體.如.3、分式的加減要點一、同分母分式的加減同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；上述法則可用式子表為： .要點詮釋：（1）“把分子相加減”是把各分式的分子的整體相加減，即各個分子都應(yīng)用括號，當(dāng)分子是單項式時，括號可以省略；當(dāng)分子是多項式時，特別是分子相減時，括號不能省，不然，容易導(dǎo)致符號上的錯誤. （2）分式的加減法運算的結(jié)果必須化成最簡分式或整式.要點二、異分母分式的加

9、減異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p.上述法則可用式子表為： .要點詮釋：（1）異分母的分式相加減，先通分是關(guān)鍵.通分后，異分母的分式加減法變成同分母分式的加減法.（2）異分母分式加減法的一般步驟：通分，進行同分母分式的加減運算，把結(jié)果化成最簡分式.4、分式的混合運算要點一、分式的混合運算與分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除混合運算一樣，分式的加、減、乘、除混合運算，也是先算乘、除，后算加、減；遇到括號，先算括號內(nèi)的，按先小括號，再中括號，最后大括號的順序計算. 分式運算結(jié)果必須達到最簡，能約分的要約分，保證結(jié)果是最簡分式或整式.要點詮釋：（1）正確運用運算法則：分式的乘除（包括乘方）、加減

10、、符號變化法則是正確進行分式運算的基礎(chǔ)，要牢牢掌握.（2）運算順序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、減，遇有括號，先算括號內(nèi)的.（3）運算律：運算律包括加法和乘法的交換律、結(jié)合律，乘法對加法的分配律.能靈活運用運算律，將大大提高運算速度.要點二、零指數(shù)冪任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1，即.要點詮釋：同底數(shù)冪的除法法則可以推廣到整數(shù)指數(shù)冪.即（，、為整數(shù)）當(dāng)時，得到.要點三、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪任何不等于零的數(shù)的（為正整數(shù)）次冪，等于這個數(shù)的次冪的倒數(shù)，即（0，是正整數(shù)）.引進了零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪后，指數(shù)的范圍已經(jīng)擴大到了全體整數(shù)，以前所學(xué)的冪的運算性質(zhì)仍然成立. 要點詮釋：是的倒數(shù)，可以是不等于

11、0的數(shù)，也可以是不等于0的代數(shù)式.例如（），（）.要點四、科學(xué)記數(shù)法的一般形式（1）把一個絕對值大于10的數(shù)表示成的形式，其中是正整數(shù)，（2）利用10的負(fù)整數(shù)次冪表示一些絕對值較小的數(shù)，即的形式，其中是正整數(shù)，.用以上兩種形式表示數(shù)的方法，叫做科學(xué)記數(shù)法.類型一、分式的概念1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？，【思路點撥】，雖具有分式的形式，但分母不含字母，其中的分母中表示一個常數(shù)，因此這三個式子都不是分式解：整式：，分式：，【總結(jié)升華】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式 類型二、分式有意義，分式值為02、下列各式中，取何值時，分式有意義？

12、（1）；（2）；（3）【答案與解析】解：（1）由得，故當(dāng)時分式有意義（2）由得，故當(dāng)時分式有意義（3）由，即無論取何值時均不為零，故當(dāng)為任意實數(shù)時分式都有意義【總結(jié)升華】首先求出使分母等于零的字母的值，然后讓未知數(shù)不等于這些值，便可使分式有意義這是解答這類問題的通用方法類型三、分式的基本性質(zhì)3、不改變分式的值，將下列分式的分子、分母中的系數(shù)化為整數(shù)（1）； （2）4、 不改變分式的值，使下列分式的分子和分母不含“”號（1）；（2）；（3）；（4）解：（1） （2） （3） （4）【總結(jié)升華】在分子、分母、分式本身中，只有任意兩個同時改變符號時，才能保證分式的值不變一般地，在分式運算的最后結(jié)果中

13、，習(xí)慣于只保留一個負(fù)號，寫在分式的前面類型四、分式的約分、通分5、 將下列各式約分：； （2）； （3）； （4）分式的乘法類型一、分式的乘法1、計算：(1)；(2)解：(1)(2)類型二、分式的除法2、 計算：(1)；(2)解：(1) (2) 類型三、分式的乘方3、 計算：（1）；（2）解：（1）（2）【總結(jié)升華】（1）將分子、分母分別乘方后，再算積的乘方、冪的乘方（2）本例中，分式乘方時也可以先確定符號，再將分子、分母分別乘方類型四、分式的乘除法、乘方的混合運算4、 計算：（1）； （2）解：（1）；（2） 分式的加減類型一、同分母分式的加減1、計算：（1）； （2）； （3）； （4）解

14、：（1）；（2）（3）；（4） .類型二、異分母分式的加減2、計算： （1）； （2）； （3）解：（1）原式；（2）原式； （3）原式【總結(jié)升華】（1）異分母分式的加減法關(guān)鍵是確定最簡公分母；（2）整式和分式相加減時，把整式看作分母是1的“分式”，按異分母分式的加減法的步驟進行運算類型三、分式的加減運算的應(yīng)用3、請先化簡，再選取一個使原式有意義而你又喜歡的數(shù)代入求值解：當(dāng)時，原式【總結(jié)升華】在代入的值的時候要考慮它的取值范圍，要注意，4、將一個分?jǐn)?shù)的式子、分母同時加上一個正數(shù)，這個分?jǐn)?shù)是變大了，還是變小了？請先舉例發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，再設(shè)法說明理由解：應(yīng)選擇不同特點的分?jǐn)?shù)來試驗探索；我們發(fā)現(xiàn)：對

15、于正的真分?jǐn)?shù)，分子、分母都加相同的正數(shù)時分?jǐn)?shù)變大；對于正的假分?jǐn)?shù)，分子、分母都加相同的正數(shù)時分?jǐn)?shù)變小；對于負(fù)分?jǐn)?shù)，結(jié)論與上兩條恰好相反說明：（1）對于（，均為正整數(shù)，且），分子、分母同時加上正數(shù)，則變成因為，所以（2）對于（，均為正數(shù)，且），分子、分母同時加上正數(shù)，則變成了，因為，所以（3）對于負(fù)分?jǐn)?shù)的情形，只要將、兩式兩邊同乘1即得結(jié)論分式的混合運算類型一、分式的混合運算1、計算：（1）； （2）解：（1）（2）2、 （1）；（2）解：（1）原式 （2）原式類型二、負(fù)指數(shù)次冪的運算3、計算：（1）； （2）解：（1）；（2）類型三、科學(xué)記數(shù)法4、用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：（1）0.00001

16、；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067解：（1）0.00001； （2）0.000000203；（3）-0.000135； （4）0.00067.【總結(jié)升華】注意在中的取值是這個數(shù)從左邊起第一個不是零的數(shù)前面零的個數(shù)（包括小數(shù)點前邊的零）一.選擇題1在代數(shù)式中，分式共有( )A.2個B.3個C.4個D.5個2使分式值為0的值是（ ）A0B5C5D53. 下列判斷錯誤的是（ ）A當(dāng)時，分式有意義 B當(dāng)時，分式有意義C當(dāng)時，分式值為0 D當(dāng)時，分式有意義4為任何實數(shù)時，下列分式中一定有意義的是（ )ABCD5如果把分式中的和都擴大10倍，那么分式的值（ ）A

17、擴大10倍B縮小10倍C是原來的D不變6下列各式中，正確的是（ ）ABCD二.填空題7當(dāng)_時，分式無意義 8.若分式的值為正數(shù)，則滿足_9（1）（2） 10（1）（2）11.分式與的最簡公分母是_.12. 化簡分式：（1）_；（2）_三.解答題13.當(dāng)為何值時，下列分式有意義?（1）；（2）；（3）；（4）14已知分式當(dāng)3時無意義，當(dāng)2時分式的值為0，求當(dāng)7時分式的值15不改變分式的值，使分子、分母中次數(shù)最高的項的系數(shù)都化為正數(shù)（1） （2） （3） （4）一.選擇題1. 【答案】B；【解析】是分式. 2. 【答案】A；【解析】.3. 【答案】B；【解析】，有意義. 4. 【答案】D；【解析】

18、無論為何值，都大于零.5. 【答案】D；【解析】.6. 【答案】D；【解析】利用分式的基本性質(zhì)來判斷.二.填空題7. 【答案】2；【解析】由題意，.8. 【答案】 【解析】由題意. 9. 【答案】（1）；（2）；10.【答案】（1）；（2） 【解析】.11.【答案】；【解析】最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)與相同字母的最高次冪的乘積.12.【答案】（1）；（2） 【解析】.三.解答題13.解：（1）由分母，得 當(dāng)時，原分式有意義（2）由分母，得 當(dāng)時，原分式有意義（3） 不論取什么實數(shù)，都有 取一切實數(shù)，原分式都有意義（4） ， ， 即 取一切實數(shù)，分式都有意義14.解：由題意：，解得 ，解得 所以分式為，當(dāng)7時，.15.解：（1）；（2）；（3）；（4）【課后強化練習(xí)】