(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)復(fù)習(xí)講義第04講《基本不等式》（解析版）

1、第4講 基本不等式思維導(dǎo)圖知識梳理1基本不等式eq r(ab)eq f(ab,2)(1)基本不等式成立的條件：a0，b0. (2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab. 2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq f(ab,2)，幾何平均數(shù)為eq r(ab)，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)3利用基本不等式求最值問題已知x0，y0，則(1)如果xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時，xy有最小值是2eq r(p)(簡記：積定和最小)(2)如果xy是定值q，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時，xy有最大值是eq f(q2,4)(簡記：和定積最大)核心素養(yǎng)分析理解基本不等式

2、SKIPIF 1 0 。結(jié)合具體實(shí)例，能用基本不等式解決簡單的求最大值或最小值的問題。重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).題型歸納題型1 利用基本不等式求最值【例1-1】（2019濟(jì)南模擬）（1）已知 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的最大值；（2）已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是正實(shí)數(shù)，且 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的最小值【分析】（1）由題意可得 SKIPIF 1 0 ，然后結(jié)合基本不等式即可求解；（2）由題意可得 SKIPIF 1 0 ，然后結(jié)合基本不等式可求【解答】解：（1）因?yàn)?SKIPIF 1 0 ，則 SKI

3、PIF 1 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 時取等號，此時取得最大值 SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是正實(shí)數(shù)，且 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時取等號，此時取得最小值 SKIPIF 1 0，y0，x3yxy9，則x3y的最小值為_【分析】利用消元法消元，再利用基本不等式.【解答】法一：(換元消元法)由已知得x3y9xy，因?yàn)閤0，y0，所以x3y2eq r(3xy)，所以3xyeq

4、 blc(rc)(avs4alco1(f(x3y,2)2，當(dāng)且僅當(dāng)x3y，即x3，y1時取等號，即(x3y)212(x3y)1080.令x3yt，則t0且t212t1080，得t6，即x3y的最小值為6.法二：(代入消元法)由x3yxy9，得xeq f(93y,1y)，所以x3yeq f(93y,1y)3yeq f(93y3y1y,1y)eq f(93y2,1y)eq f(31y261y12,1y)3(1y)eq f(12,1y)62 eq r(31yf(12,1y)61266.即x3y的最小值為6.【例1-3】（2019合肥調(diào)研）已知ab0，那么a2eq f(1,bab)的最小值為_【解答】

5、由ab0，得ab0，b(ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f(bab,2)2eq f(a2,4).a2eq f(1,bab)a2eq f(4,a2)2 eq r(a2f(4,a2)4，當(dāng)且僅當(dāng)bab且a2eq f(4,a2)，即aeq r(2)，beq f(r(2),2)時取等號a2eq f(1,bab)的最小值為4.【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2020春湖北期中）已知 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的最小值為 【分析】由題意可得， SKIPIF 1 0 ，然后利用基本不等式即可求解【解答】解：因?yàn)?SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPI

6、F 1 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 時取等號，故答案為：7【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2020韶關(guān)二模）已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的最小值是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A7B8C9D10【分析】根據(jù)題意，分析可得 SKIPIF 1 0 ，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)分析可得答案【解答】解：根據(jù)題意，若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 0 時，等號成立，故 SKIPIF 1

7、0 的最小值是9；故選： SKIPIF 1 0 【名師指導(dǎo)】1.通過拼湊法利用基本不等式求最值的實(shí)質(zhì)及關(guān)鍵點(diǎn)拼湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法拼湊法的實(shí)質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵2.通過常數(shù)代換法利用基本不等式求解最值的基本步驟(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積為定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值3.通過消元法利用基本不等式求最值的策略當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通常是

8、考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”，最后利用基本不等式求最值4.兩次利用基本不等式求最值的注意點(diǎn)當(dāng)連續(xù)多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且注意取等號的條件的一致性題型2 利用基本不等式解決實(shí)際問題【例2-1】（2019秋羅田縣期中）小王從甲地到乙地和從乙地到甲地的時速分別為 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，其全程的平均時速為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】根據(jù)題意，設(shè)甲地到

9、乙地的距離為 SKIPIF 1 0 ，分析可得用 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 表示 SKIPIF 1 0 ，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)分析可得答案【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)甲地到乙地的距離為 SKIPIF 1 0 ，又由從甲地到乙地和從乙地到甲地的時速分別為 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，則小王一共用了 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，又由 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，又由 SKIPIF 1 0 ，則有 SKIPIF 1 0 ，故選： SKIPIF 1 0 【例2-2】（2019春南昌縣校級

10、月考）某校甲、乙兩食堂某年1月份的營業(yè)額相等，甲食堂的營業(yè)額逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的營業(yè)額也逐月增加，且每月增加的百分率相同已知本年9月份兩食堂的營業(yè)額又相等，則本年5月份 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A甲食堂的營業(yè)額較高B乙食堂的營業(yè)額較高C甲乙兩食堂的營業(yè)額相同D不能確定甲，乙哪個食堂的營業(yè)額較高【分析】首先利用題意得出兩個食堂的營業(yè)額為等差和等比數(shù)列，進(jìn)一步利用不等式的關(guān)系式求出結(jié)果【解答】解：設(shè)甲乙兩食堂1月份的營業(yè)額均為 SKIPIF 1 0 ，甲乙兩食堂9月份的營業(yè)額均為 SKIPIF 1 0 ，由題意可得，甲食堂的營業(yè)額構(gòu)成等差數(shù)列，乙食堂的營業(yè)額

11、構(gòu)成等比數(shù)列，則5月份甲食堂的營業(yè)額 SKIPIF 1 0 ，乙食堂的營業(yè)額 SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 ，所以由基本不等式 SKIPIF 1 0 ，故本年5月份甲食堂的營業(yè)額較高故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2019秋金安區(qū)校級月考）近來豬肉價格起伏較大，假設(shè)第一周、第二周豬肉價格分別為 SKIPIF 1 0 元 SKIPIF 1 0 斤、 SKIPIF 1 0 元 SKIPIF 1 0 斤，家庭主婦甲和乙買豬肉的方式不同：家庭主婦甲每周買3斤豬肉，家庭主婦乙每周買50元錢的豬肉，試比較誰購買方式更實(shí)惠（兩次平均價格低視為實(shí)惠） （在橫線上填甲或乙

12、即可）【分析】求出甲乙的平均單價，得出結(jié)論【解答】解：甲購買產(chǎn)品的平均單價為： SKIPIF 1 0 ，乙購買產(chǎn)品的平均單價為： SKIPIF 1 0 ，由算術(shù)平均數(shù) SKIPIF 1 0 調(diào)和平均數(shù)，故答案為：乙又 SKIPIF 1 0 兩次購買的單價不同， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 乙的購買方式的平均單價較小故答案為：乙【名師指導(dǎo)】有關(guān)函數(shù)最值的實(shí)際問題的解題技巧(1)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值(2)解應(yīng)用題時，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍(3)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時，若等號取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解題型3 基本不

13、等式的綜合應(yīng)用【例3-1】（2020春吉林月考）在 SKIPIF 1 0 中，已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為線段 SKIPIF 1 0 上的一點(diǎn)，且 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的最小值為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】由已知結(jié)合向量共線定理可得 SKIPIF 1 0 ，然后利用基本不等式可求【解答】解：因?yàn)?SKIPIF 1 0 為線段 SKIPIF 1 0 上的一點(diǎn)，

14、且 SKIPIF 1 0 ，根據(jù)共線定理可知， SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 時取等號，故選： SKIPIF 1 0 【例3-2】（2020春廣陵區(qū)校級期中）已知直線 SKIPIF 1 0 過圓 SKIPIF 1 0 的圓心，則 SKIPIF 1 0 的最小值為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A3B SKIPIF 1 0 C6D SKIPIF 1 0 【分析】直線 SKIPIF 1 0 過圓 SKIPIF 1 0 的

15、圓心，可得 SKIPIF 1 0 再利用“乘1法”及其基本不等式的性質(zhì)即可得出【解答】解：直線 SKIPIF 1 0 過圓 SKIPIF 1 0 的圓心， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 0 時成立故選： SKIPIF 1 0 【例3-3】（2020山東模擬）若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍為 【分析】由已知不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求解最值，結(jié)合基本不等式即可求解【解答】解：因?yàn)?SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 0 即

16、 SKIPIF 1 0 時取等號，因?yàn)?SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，故答案為： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020春沙坪壩區(qū)校級月考）已知向量 SKIPIF 1 0 ，且向量 SKIPIF 1 0 與向量 SKIPIF 1 0 平行，則 SKIPIF 1 0 的最大值為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A1B2C3D4【分析】先由向量平行的坐標(biāo)表示可得， SKIPIF 1 0 ，然后結(jié)合基本不等式可求【解答】解：由題意可得， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 0 時取等號，解可得， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 的最大值為：2故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2020淮南一模）已知函數(shù) SKIPIF 1 0 ，滿足 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 均為正實(shí)數(shù)），則 SKIPIF 1 0 的最小值為 【分析】由已知可得 SKIPIF 1 0 ，即可得到 SKIPIF 1 0 ，再由基本不等式即可求解【解答】解：由 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1