(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)復(fù)習(xí)講義第41講《直線、平面垂直的判定與性質(zhì)》（講）（解析版）

1、第41講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)（講）思維導(dǎo)圖知識梳理1直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義：直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面互相垂直. (2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq blc rc(avs4alco1(a，b,abO,la,lb) l性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq blc rc(avs4alco1(a,b)ab2平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq blc rc(av

2、s4alco1(l,l)性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq blc rc(avs4alco1(,l,a,la)l題型歸納題型1 線面垂直的判定與性質(zhì)【例1-1】（2019秋合肥期末）如圖，正方體 SKIPIF 1 0 中，（1）求證： SKIPIF 1 0 ；（2）求證： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 【分析】（1）連結(jié) SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，推導(dǎo)出 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，從而 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，由此能證明 SKIPIF 1 0 （2）由 SKIPI

3、F 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，同理可得 SKIPIF 1 0 ，由此有證明 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 【解答】證明：（1）連結(jié) SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKI

4、PIF 1 0 （2）由 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，同理可得 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 【例1-2】（2020新課標(biāo)）如圖，在長方體 SKIPIF 1 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分別在棱 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 證明：（1）當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ；（2）點(diǎn) SKIPIF

5、 1 0 在平面 SKIPIF 1 0 內(nèi)【分析】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 0 是長方體，且 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 （2）取 SKIPIF 1 0 上靠近 SKIPIF 1 0 的三等分點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 根據(jù)已知條件可得四邊形 SKIPIF 1 0 為平行四邊形，得 SKIPIF 1 0 ，再推得四邊形 SKIPIF 1 0 為平行四邊形，所以 SKIPIF

6、 1 0 ，根據(jù)直線平行的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 四點(diǎn)共面，即點(diǎn) SKIPIF 1 0 在平面 SKIPIF 1 0 內(nèi)【解答】解：（1）因?yàn)?SKIPIF 1 0 是長方體，所以 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 是長方體，且 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 是正方形，所以 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 所以

7、 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，又因?yàn)辄c(diǎn) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分別在棱 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上，所以 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 （2）取 SKIPIF 1 0 上靠近 SKIPIF 1 0 的三等分點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 因?yàn)辄c(diǎn) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，所以四邊形 SKI

8、PIF 1 0 為平行四邊形，所以 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，又因?yàn)?SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上，且 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 為平行四邊形，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 為平行四邊形，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 四點(diǎn)共

9、面所以點(diǎn) SKIPIF 1 0 在平面 SKIPIF 1 0 內(nèi)【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2019梅州二模）如圖，正方形 SKIPIF 1 0 所在平面與三角形 SKIPIF 1 0 所在平面相交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 （1）求證： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 （2）當(dāng) SKIPIF 1 0 ，且該多面體的體積為 SKIPIF 1 0 時(shí)，求該多面體的表面積【分析】（1）由已知利用線面垂直的性質(zhì)可知 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，可求 SKIPIF 1 0 ，利用線面垂直的判斷定理可證 SKIPIF

10、1 0 平面 SKIPIF 1 0 （2）在 SKIPIF 1 0 中，經(jīng) SKIPIF 1 0 點(diǎn)作 SKIPIF 1 0 交 SKIPIF 1 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由多面體的體積可求 SKIPIF 1 0 的值，進(jìn)而可求 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，利用勾股定理可求 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，利用勾股定理可求 SKIPIF 1 0 的值，根據(jù)三角形的面積公式，正方形的面積公式即可計(jì)算得解該多面體

11、的表面積的值【解答】解：（1）證明： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 正方形 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 正方形 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 （2）在 SKIPIF 1 0 中，經(jīng) SKIPIF 1 0 點(diǎn)作 SKIPIF 1 0 交 SKIPIF 1 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 0 ， SKIP

12、IF 1 0 由（1）可知 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 多面體的體積為 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，可

13、得： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 可得： SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，可得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 該多面體的表面積 SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2019秋新余期末）如圖四棱錐 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，四邊形 SKIPIF 1 0 是矩形，點(diǎn) SKIPIF 1 0 為側(cè)棱 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)，過 SKIPIF

14、1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 三點(diǎn)的平面交側(cè)棱 SKIPIF 1 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 0 （1）求證：點(diǎn) SKIPIF 1 0 為側(cè)棱 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)；（2）若 SKIPIF 1 0 ，求證： SKIPIF 1 0 【分析】（1）推導(dǎo)出 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 從而 SKIPIF 1 0 由此能證明點(diǎn) SKIPIF 1 0 為側(cè)棱 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)（2）推導(dǎo)出 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，從而 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1

15、 0 ，進(jìn)而 SKIPIF 1 0 從而 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，由此能證明 SKIPIF 1 0 【解答】證明：（1） SKIPIF 1 0 四邊形 SKIPIF 1 0 是矩形， SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 而點(diǎn) SKIPIF 1 0 為側(cè)棱 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)，

16、 SKIPIF 1 0 點(diǎn) SKIPIF 1 0 為側(cè)棱 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)（2） SKIPIF 1 0 ，且點(diǎn) SKIPIF 1 0 為側(cè)棱 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【名師指導(dǎo)】證明直線與平面垂直與利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直的通法是線面垂直的判定定理的應(yīng)用，其思維流程為：題型2 面面垂直

17、的判定與性質(zhì)【例2-1】（2020新課標(biāo)）如圖， SKIPIF 1 0 為圓錐的頂點(diǎn)， SKIPIF 1 0 是圓錐底面的圓心， SKIPIF 1 0 是底面的內(nèi)接正三角形， SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 上一點(diǎn)， SKIPIF 1 0 （1）證明：平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）設(shè) SKIPIF 1 0 ，圓錐的側(cè)面積為 SKIPIF 1 0 ，求三棱錐 SKIPIF 1 0 的體積【分析】（1）首先利用三角形的全等的應(yīng)用求出 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，進(jìn)一步求出二面角的平面角為直角，進(jìn)一步求出結(jié)論（2）利用錐體的體積

18、公式和圓錐的側(cè)面積公式的應(yīng)用及勾股定理的應(yīng)用求出結(jié)果【解答】解：（1）連接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是底面的內(nèi)接正三角形，所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 是圓錐底面的圓心，所以： SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，由于 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由于 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，由于 SKIPIF 1 0 平面 SK

19、IPIF 1 0 ，所以：平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 （2）設(shè)圓錐的底面半徑為 SKIPIF 1 0 ，圓錐的母線長為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 由于圓錐的側(cè)面積為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 由于 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 則： SKIPIF 1 0 【例2-2】（2020江蘇）在三棱柱 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKI

20、PIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分別是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)（1）求證： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）求證：平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 【分析】（1）證明 SKIPIF 1 0 ，然后利用直線與平面平行的判斷定理證明 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）證明 SKIPIF 1 0 ，結(jié)合 SKIPIF 1 0 ，證明 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，然后證明平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 【解答】證明：（1） SKIPIF 1

21、0 ， SKIPIF 1 0 分別是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)所以 SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）因?yàn)?SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，又因?yàn)?SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1

22、0 ，所以 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2019新課標(biāo)）圖1是由矩形 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 和菱形 SKIPIF 1 0 組成的一個(gè)平面圖形，其中 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 將其沿 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 折起使得 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 重合，連結(jié) SKIPIF 1 0 ，如圖2（1）證明：圖2中的 SKIPIF

23、 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 四點(diǎn)共面，且平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）求圖2中的四邊形 SKIPIF 1 0 的面積【分析】（1）運(yùn)用空間線線平行的公理和確定平面的條件，以及線面垂直的判斷和面面垂直的判定定理，即可得證；（2）連接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由線面垂直的性質(zhì)和三角形的余弦定理和勾股定理，結(jié)合三角形的面積公式，可得所求值【解答】解：（1）證明：由已知可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即有 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，

24、SKIPIF 1 0 確定一個(gè)平面，從而 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 四點(diǎn)共面；由四邊形 SKIPIF 1 0 為矩形，可得 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 為直角三角形，可得 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，可得平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）連接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF

25、 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，在 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，在 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，即有 SKIPIF 1 0 ，則平行四邊形 SKIPIF 1 0 的面積為 SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2020春本溪縣期末）在矩形 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)，沿 SKIPIF 1

26、 0 將 SKIPIF 1 0 折起，得到如圖所示的四棱錐 SKIPIF 1 0 （1）若平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，求四棱錐 SKIPIF 1 0 的體積；（2）若 SKIPIF 1 0 ，求證：平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 【分析】（1）取 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 ，易知 SKIPIF 1 0 ，由面面垂直的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 為四棱錐 SKIPIF 1 0 的高，求得 SKIPIF 1 0 的長和梯形 SKI

27、PIF 1 0 的面積后，再根據(jù)棱錐的體積公式即可得解（2）取 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由線面垂直的判定定理可推出 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，從而得 SKIPIF 1 0 ，由（1）知， SKIPIF 1 0 ，再結(jié)合線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可得證【解答】解：（1）如圖所示，取 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 ，由題意知， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

28、 0 ，又平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 為四棱錐 SKIPIF 1 0 的高在等腰 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，而梯形 SKIPIF 1 0 的面積 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 四棱錐 SKIPIF 1 0 的體積 SKIPIF 1 0 （2）取 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，連接 S

29、KIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由（1）知， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 是相交的， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0

30、 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 【名師指導(dǎo)】1面面垂直判定的2種方法與1個(gè)轉(zhuǎn)化(1)2種方法：面面垂直的定義；面面垂直的判定定理(a，a)(2)1個(gè)轉(zhuǎn)化：在已知兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直2面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用(1)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”(2)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面題型3 垂直關(guān)系中的探索性問題【例3-1】（2020

31、紅河州二模）在四棱錐 SKIPIF 1 0 中，側(cè)面 SKIPIF 1 0 是等邊三角形，且平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 上是否存在一點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，使得平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；若存在，請證明，若不存在，請說明理由；（2）若 SKIPIF 1 0 的面積為 SKIPIF 1 0 ，求四棱錐 SKIPIF 1 0 的體積【分析】（1）當(dāng) SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)時(shí)，使得平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF

32、 1 0 運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，即可得證；（2）設(shè) SKIPIF 1 0 ，運(yùn)用三角形的勾股定理和線面垂直的性質(zhì)，可得 SKIPIF 1 0 ，求得 SKIPIF 1 0 和四邊形 SKIPIF 1 0 的面積，由棱錐的體積公式可得所求【解答】解：（1）當(dāng) SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)時(shí)，使得平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 證明：由 SKIPIF 1 0 是等邊三角形，可得 SKIPIF 1 0 ，而平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為平面 SKIPIF 1 0 和平面 SKIPIF

33、1 0 的交線，可得 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，可得平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）設(shè) SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 的面積為 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，四棱錐 SKIPIF 1 0 的體積為 SKIPIF 1

34、 0 【例3-2】（2019秋新余期末）如圖， SKIPIF 1 0 是半圓 SKIPIF 1 0 的直徑， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為圓周上一點(diǎn)， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）求證：平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）在線段 SKIPIF 1 0 上是否存在點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，且使得 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ？若存在，求出點(diǎn) SKIPIF 1 0 的位置；若不存在，請說明理由【

35、分析】（1）推導(dǎo)出 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，從而 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，進(jìn)而 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，由此能證明平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 （2）設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 ，得到 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 取 SKIPIF 1 0 中點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1

36、0 SKIPIF 1 0 從而平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 四邊形 SKIPIF 1 0 為平行四邊形，由此能證明 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 【解答】解：（1）證明： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 為圓周上一點(diǎn)，且 SKIPIF 1 0 是半圓 SKIPIF 1 0 的直徑， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1

37、 0 ，且 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 （2）解：點(diǎn) SKIPIF 1 0 為線段 SKIPIF 1 0 中點(diǎn)，證明如下：設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 取 SKIPIF 1 0 中點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 又由（1）

38、可知平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，即四邊形 SKIPIF 1 0 為平行四邊形， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020春東城區(qū)期末）在正方體 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分別為 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)（）求證： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（）在棱 SKIPIF

39、1 0 上是否存在一點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，使得平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 0 的值；若不存在，請說明理由【分析】（）取 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，運(yùn)用中位線定理和平行四邊形的判定和性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得證；（）在棱 SKIPIF 1 0 上假設(shè)存在一點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，使得平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，取 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 0 ， S

40、KIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由線面垂直的判定和性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的判定定理，可得所求結(jié)論【解答】解：（）取 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，在正方體 SKIPIF 1 0 中，因?yàn)?SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，可得四邊形 SKIPIF 1

41、0 為平行四邊形，所以 SKIPIF 1 0 ，又因?yàn)?SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（）在棱 SKIPIF 1 0 上假設(shè)存在一點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，使得平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，取 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIP

42、IF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2020黃山二模）如圖，在四棱錐 SKIPIF 1

43、 0 中， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的交點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 0 在線段 SKIPIF 1 0 上，且 SKIPIF 1 0 （1）證明： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）在線段 SKIPIF 1 0 上是否存在一點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，使得平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，若存在，求出點(diǎn) SKIPIF 1 0 的位置；若不存在，說明理由【分析】（1）首先

44、推得 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)，分別求得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，再由平行線分線段成比例的逆定理可得 SKIPIF 1 0 ，再由線面平行的判定定理，即可得證；（2）過 SKIPIF 1 0 作 SKIPIF 1 0 ，垂足為 SKIPIF 1 0 ，延長 SKIPIF 1 0 交 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，結(jié)合線面垂直的判定和性質(zhì)可得 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF

45、1 0 ，可得平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，再由正弦定理計(jì)算可得 SKIPIF 1 0 ，即可判定存在性【解答】解：（1）證明：在四邊形 SKIPIF 1 0 中，由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)，由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 平面 SKI

46、PIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）過 SKIPIF 1 0 作 SKIPIF 1 0 ，垂足為 SKIPIF 1 0 ，延長 SKIPIF 1 0 交 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF

47、 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，可得平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，故存在這樣的點(diǎn) SKIPIF 1 0 在直角 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ，可得在 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)時(shí)，平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練3-3】（2019秋西湖區(qū)校級期末）如圖所示，在四棱錐 SKIPIF 1 0 中，底面 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 且邊長為 SKIPIF 1 0 的菱形，側(cè)面 SKIPIF 1 0 為正三角形，其所在平面垂