2023屆湖南省部分校高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 2 2頁，共 =sectionpages 4 4頁2023屆湖南省部分校高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知集合，則（）ABCD【答案】D【分析】利用一元二次不等式解法求出集合，列舉法寫出集合，從而確定.【詳解】因?yàn)?，所?故選 ：D.2已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且在第二象限內(nèi)，若的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為1，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）ABCD【答案】A【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，由求得（注意點(diǎn)在第二象限）即可得【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋?，由，得，又，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A3生物學(xué)家為了了解抗生素對(duì)生態(tài)環(huán)境的影響，常通過檢測(cè)水中生物體內(nèi)抗生素的殘留量來進(jìn)行判斷.已知水中某生物體內(nèi)抗生素的

2、殘留量（單位：）與時(shí)間（單位：年）近似滿足關(guān)系式，其中為抗生素的殘留系數(shù)，當(dāng)時(shí)，則（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)題意得，從而可求出.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故選：D4如圖，某校數(shù)學(xué)建模社團(tuán)對(duì)該校旗桿的高度進(jìn)行測(cè)量，該社團(tuán)的同學(xué)在A處測(cè)得該校旗桿頂部P的仰角為，再向旗桿底部方向前進(jìn)15米到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得該校旗桿頂部P的仰角為若，則該校旗桿的高度為（） A14米B15米C16米D17米【答案】B【分析】利用直角三角形中的邊角關(guān)系列式求解旗桿高度即可.【詳解】解：如圖由題可知：（米），則在中，在中，聯(lián)立解得：（米），（米）.即該校旗桿的高度為15米.故選：B.5已知曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為

3、，則（）ABCD1【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線斜率，則可得，再利用和差公式與二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系切化弦化簡所求式子，得到含的式子，即可得結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)?，則則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，又傾斜角為所以 則.故選：C.6已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）ABCD【答案】A【分析】通過函數(shù)解析式分析每個(gè)分段的值域，因?yàn)?，值域?yàn)椋?，的值域?yīng)包含，所以判斷出函數(shù)的單調(diào)性和的正負(fù)，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】當(dāng)時(shí)，其值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，的值域應(yīng)包含，所以為減函數(shù)，所以，且，解得.故選：A7某干燥塔的底面是半徑為1的圓面，圓面有一個(gè)內(nèi)接正方形框架，在圓的劣弧上有一點(diǎn)，現(xiàn)

4、在從點(diǎn)出發(fā)，安裝三根熱管，則三根熱管的長度和的最大值為（）A4BCD【答案】B【分析】設(shè)，利用輔助角公式表達(dá)出，從而求出三根熱管的長度和的最大值.【詳解】如圖，連接，設(shè)，則，可得:，其中，所以，由的范圍可以取到最大值.故選：B8已知，函數(shù)在上的最大值為，則（）A2或B或C2D【答案】C【分析】換元令，問題轉(zhuǎn)化為的最小值為，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，分類討論確定最小值求得參數(shù)值【詳解】令，則，函數(shù)在上的最大值為且，即轉(zhuǎn)化為的最小值為.，（負(fù)值舍去），即時(shí)，在上單調(diào)遞增，解得；當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，解得，舍去故故選：C9已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A的最小正周期是B的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C在上單

5、調(diào)遞增D的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】C【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)可得，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及平移變換的特征逐一分析，即可得出答案【詳解】解：；對(duì)于A，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以不是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在上的增區(qū)間滿足，解得增區(qū)間為：，又區(qū)間是的一個(gè)子集，所以在上是單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椴皇呛瘮?shù)的最值，所以不是圖象的一條對(duì)稱軸，故D錯(cuò)誤.故選：C.二、多選題10若，則B可能為（）ABCD【答案】BCD【分析】根據(jù)子集概念即可得到結(jié)果.【詳解】，B可能為，故選：BCD11已知函數(shù)，將的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，點(diǎn)A，B，C是與圖象的連續(xù)相鄰的三個(gè)交點(diǎn)

6、，若是銳角三角形，則的值可能為（）ABCD【答案】AD【分析】先由平移變換得到 ，再同一坐標(biāo)系中作出和的圖象，求得兩圖象的相鄰交點(diǎn)A，B，C的縱坐標(biāo)，根據(jù)是銳角三角形求解.【詳解】解：向右平移個(gè)單位長度后得到，函數(shù) ，如圖所示：，由，得，解得，則，又，且是銳角三角形，所以，則，故選：AD12已知函數(shù)，若，則（）A為偶函數(shù)B在上為增函數(shù)CD【答案】AC【分析】對(duì)A，根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷即可；對(duì)B，求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性即可；對(duì)C，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判斷即可；對(duì)D，根據(jù)不一定成立判斷即可.【詳解】對(duì)A，因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，所以，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，

7、所以在上為減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵谏线f增，所以，即，故C正確；顯然不一定成立，則不成立，故D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題13集合且的所有非空真子集的個(gè)數(shù)為_.【答案】6【分析】首先求集合的元素個(gè)數(shù)，再根據(jù)公式求解.【詳解】因?yàn)榍遥栽摷系乃蟹强照孀蛹膫€(gè)數(shù)為.故答案為：614已知，則是的條件_.（在充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要中選一個(gè)正確的填入）【答案】必要不充分【分析】首先根據(jù)題意得到，從而得到，即可得到答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，解集不是，舍去，當(dāng)時(shí)，解得.綜上：.因?yàn)?，所以是的必要不充分條件.故答案為：必要不充分15在平面直角坐標(biāo)系中，將向量繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

8、后得到向量，則_.【答案】【分析】求出的模及對(duì)應(yīng)的角，即可得旋轉(zhuǎn)后的角，進(jìn)而算出坐標(biāo).【詳解】設(shè)以軸正半軸為始邊，為終邊對(duì)應(yīng)的角為，根據(jù)題意得，則，向量繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，從而.故答案為：416已知函數(shù)若方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_【答案】【分析】令，則在，上各有一個(gè)實(shí)數(shù)解或的一個(gè)解為，另一個(gè)解在內(nèi)，或的一個(gè)解為，另一個(gè)解在內(nèi).【詳解】函數(shù)的大致圖象如圖所示，對(duì)于方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，則在，上各有一個(gè)實(shí)數(shù)解或的一個(gè)解為，另一個(gè)解在內(nèi)，或的一個(gè)解為，另一個(gè)解在內(nèi)，當(dāng)在，上各有一個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)，設(shè)，則解得，當(dāng)?shù)囊粋€(gè)解為時(shí)，此時(shí)方程的另一個(gè)解為，不在內(nèi)，不滿足題意，當(dāng)?shù)囊粋€(gè)

9、解為時(shí)，此時(shí)方程的另一個(gè)解為，不在內(nèi)，不滿足題意，綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：四、解答題17的內(nèi)角的對(duì)邊分別是.已知.(1)求角；(2)若，且的面積為，求的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦的二倍角公式變形可求得角；（2）由面積公式求得，再由余弦定理求得，從而得三角形周長【詳解】(1)因?yàn)椋?，因?yàn)椋?(2)因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，由余弦定理得，解得，所以的周長為.18記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，且成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)（或）【分析】（1）由題意可得與，從而可得公比，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式；（2）奇偶項(xiàng)討論去掉

10、絕對(duì)值，利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)的公比為，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，所以，解得.由，解得.所以.(2)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，所以，化簡得，所以（或）.19如圖，在四棱錐中，平面平面，點(diǎn)在棱上，設(shè).(1)證明：.(2)設(shè)二面角的平面角為，且，求的值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)、勾股定理的逆定理，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)證明：取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)?，所?又，所以四邊形是平行四邊形，從而.因?yàn)椋?，從?

11、因?yàn)?，所以，則.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，平面，從?又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?2)由（1）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，可得.設(shè)平面的法向量為，由，不妨令，則.因?yàn)槠矫妫钥扇∑矫娴囊粋€(gè)法向量為，因?yàn)椋?，解得或（舍去?20某商家為了促銷，規(guī)定每位消費(fèi)者均可免費(fèi)參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng).活動(dòng)規(guī)則如下：在一不透明的紙箱中有9張相同的卡片，其中3張卡片上印有“中”字，3張卡片上印有“國”字，另外3張卡片上印有“紅”字.消費(fèi)者從該紙箱中不放回地隨機(jī)抽取3張卡片，若抽到的3張卡片上都印有同一個(gè)字，則獲得一張20元代金券；若抽

12、到的3張卡片中每張卡片上的字都不一樣，則獲得一張10元代金券；若抽到的3張卡片是其他情況，則不獲得任何獎(jiǎng)勵(lì).(1)求某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中抽到的3張卡片上都印有“中”字的概率.(2)記隨機(jī)變量為某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獲得代金券的金額數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(3)該商家規(guī)定，消費(fèi)者若想再次參加該項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，則每抽獎(jiǎng)一次需支付5元.若你是消費(fèi)者，請(qǐng)從收益方面來考慮是否愿意再次參加該項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，并說明理由.【答案】(1)(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：(3)我不愿意再次參加該項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)古典概型的方法，結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算求解即可；（2）的所有可能取值為，再分別求

13、解分布列與數(shù)學(xué)期望即可；（3）根據(jù)（2）中數(shù)學(xué)期望，求解消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中的收益判斷即可.【詳解】(1)記“某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中抽到的3張卡片上都印有中字”為事件，則.所以某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中抽到的3張卡片上都印有“中”字的概率是(2)隨機(jī)變量的所有可能取值為，則，.所以的分布列為01020.(3)記隨機(jī)變量為消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中的收益，則，所以，因此我不愿意再次參加該項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng).21已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在上.(1)求雙曲線的方程.(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)以及該常數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)

14、；(2)存在，常數(shù)為【分析】（1）由離心率得出，再代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求得得雙曲線方程；（2）設(shè)，直線的方程為，代入雙曲線方程，消去得的一元二次方程，由相交可得的范圍，由韋達(dá)定理得，設(shè)存在符合條件的定點(diǎn)，計(jì)算出并代入化為關(guān)于的分式，由它是常數(shù)可求得，得定點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】(1)因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，化簡得.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，解得，所以的方程為.(2)設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得（1-，由題可知且，即且，所以.設(shè)存在符合條件的定點(diǎn)，則，所以.所以，化簡得.因?yàn)闉槌?shù)，所以，解得.此時(shí)該常數(shù)的值為，所以，在軸上存在點(diǎn)，使得為常數(shù)，該常數(shù)為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙

15、曲線中的定點(diǎn)問題，定點(diǎn)問題的解題方法是：設(shè)直線方程（或點(diǎn)斜式方程），設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線方程代入雙曲線方程消元化為一元二次方程（可由相交得參數(shù)范圍或不等關(guān)系），應(yīng)用韋達(dá)定理得，對(duì)定點(diǎn)問題可假設(shè)定點(diǎn)存在，設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算定點(diǎn)滿足的關(guān)系，并代入韋達(dá)定理的結(jié)論化簡后，利用常數(shù)、定值得參數(shù)值，從而說明定點(diǎn)存在，否則不存在22設(shè)函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求的極大值；(2)若不等式在區(qū)間上恒成立，證明：.【答案】(1)極大值為(2)證明見解析【分析】（1）兩次求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到的極大值；（2）不等式在區(qū)間上恒成立，即不等式在區(qū)間上恒成立，設(shè)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，即可做出判斷.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，則，令，得，令，得，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上的零點(diǎn)為0.令，得，令，得或，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故的極大值為.(2)證明：不等式在區(qū)間上恒成立，即不等式