高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.7 立體幾何中的向量方法精品課件 新人教A

1、8.7 立體幾何中的向量方法要點(diǎn)梳理1.直線的方向向量與平面的法向量的確定 （1）直線的方向向量：在直線上任取一 向 量作為它的方向向量. （2）平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a,b是 平面內(nèi)兩不共線向量，n為平面的法向量， 則求法向量的方程組為非零 .基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)2.空間向量與空間角的關(guān)系 (1)設(shè)異面直線l1,l2的方向向量分別為m1,m2， 則l1與l2所成的角滿足 . (2)設(shè)直線l的方向向量和平面的法向量分別 為m,n，則直線l與平面所成角滿足 . (3)求二面角的大小 如圖，AB、CD是二面角l的兩個(gè)面 內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小= .cos =|cosm1,m2|

2、sin =|cosm,n| 如圖，n1，n2分別是二面角l的兩個(gè)半平面，的法向量，則二面角的大小滿足cos = .cosn1,n2或-cosn1,n23.點(diǎn)面距的求法 如圖,設(shè)AB為平面的一條斜線段,n為平面的 法向量,則B到平面的距離d= .基礎(chǔ)自測(cè)1.若直線l1,l2的方向向量分別為a=(2,4,-4),b= (-6,9,6)，則( ) A.l1l2 B.l1l2 C.l1與l2相交但不垂直 D.以上均不正確 解析 ab=-12+36-24=0，ab， l1l2.B2.已知平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)M（1，-1，2），平面 的一個(gè)法向量是n=（6，-3，6），則下列點(diǎn)P中 在平面內(nèi)的是( ) A.P（

3、2，3，3） B.P（-2，0，1） C.P（-4，4，0） D.P（3，-3，4） 解析 n=（6，-3，6）是平面的法向量， n ，在選項(xiàng)A中， =（1，4，1）， n =0.A3.已知兩平面的法向量分別為m=（0，1，0）， n=（0，1，1）,則兩平面所成的二面角為( ) A.45 B.135 C.45或135 D.90 解析 即m,n=45，其補(bǔ)角為135. 兩平面所成二面角為45或135.C4.如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中， 有一棱長(zhǎng)為a的正方體ABCO ABCD，AC的中點(diǎn)E 與AB的中點(diǎn)F的距離為( ) A. B. C.a D. 解析 由圖易知A（a,0,0）,B（a,a,0）

4、, C（0，a，0），A(a,0,a).B5.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1). 若c與a及b都垂直，則m,n的值分別為( ) A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2 解析 由已知得c=(m+4,m+2n-4,m-n+1), 故ac=3m+n+1=0，bc=m+5n-9=0. A題型一 利用空間向量證明平行與垂直 如圖所示，在四棱錐PABCD中， PA底面ABCD，ABAD， ACCD,ABC=60,PA=AB=BC, E是PC的中點(diǎn).證明： (1)AECD; (2)PD平面ABE.題型分類 深度剖析（1）建立空間直角坐標(biāo)系確定 的

5、坐標(biāo)計(jì)算AECD （2）求面ABE的法向量n判斷滿足 =kn(kR） 平面ABE或確定 坐標(biāo)計(jì)算PDAEPDABPD平面ABE 證明 AB、AD、AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA=AB=BC=1，則P（0，0，1）.(1)ABC=60，ABC為正三角形.(2)方法一方法二 證明線面平行和垂直問(wèn)題，可以用幾何法，也可以用向量法.用向量法的關(guān)鍵在于構(gòu)造向量，再用共線向量定理或共面向量定理及兩向量垂直的判定定理.若能建立空間直角坐標(biāo)系，其證法較為靈活方便.知能遷移1 如圖所示,平面PAD平面 ABCD，ABCD為正方形，PAD是直 角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分 別是線段

6、PA、PD、CD的中點(diǎn). 求證：PB平面EFG. 證明 平面PAD平面ABCD且ABCD為正方形, AB、AP、AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz， 則A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、 P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0).即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1)，題型二 利用向量求空間角 （2008海南理，18）如圖所 示，已知點(diǎn)P在正方體ABCDAB CD的對(duì)角線BD上,PDA=60. (1)求DP與CC所成角的大小; (2)求DP與平面AADD所成角的大小. 建立

7、空間直角坐標(biāo)系，利用空間向 量方法求解. 解 如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA為單位長(zhǎng)度建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則 =（1，0，0）， =(0,0,1).連接BD,BD.在平面BBDD中,延長(zhǎng)DP交BD于H.設(shè) =(m,m,1) (m0),由已知 =60, （1）異面直線的夾角與向量的夾角有所不同，應(yīng)注意思考它們的區(qū)別與聯(lián)系.（2）直線與平面的夾角可以轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角，由于向量方向的變化,所以要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系.知能遷移2 （2009天津理，19） 如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD，ADBCFE，AB AD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE= .

8、 (1)求異面直線BF與DE所成的角的大小； (2)證明平面AMD平面CDE; (3)求二面角ACDE的余弦值. (1)解 如圖所示，建立空間直 角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) AB=1，依題意得B(1,0,0), C(1,1,0)，D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1)，所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60.(2)證明又AMAD=A，故CE平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.(3)解 設(shè)平面CDE的法向量為u=（x,y,z)，令x=1,可得u=(1,1,1).又由題設(shè)，平面ACD的一個(gè)法向量v=(0,0,1).因?yàn)槎娼茿CDE為銳角，所以其余弦值為 題

9、型三 利用向量求空間距離 （12分）在三棱錐SABC中， ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面 SAC平面ABC，SA=SC= ，M、 N分別為AB、SB的中點(diǎn)，如圖所示. 求點(diǎn)B到平面CMN的距離. 由平面SAC平面ABC,SA=SC,BA= BC,可知本題可以取AC中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別 以O(shè)A，OB，OS所在直線為x軸，y軸,z軸建立空 間直角坐標(biāo)系，用向量法求解.解 取AC的中點(diǎn)O，連接OS、OB.SA=SC，AB=BC，ACSO，ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABC=AC，SO平面ABC，SOBO. 4分如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則B(0,2 ,0),C(-2

10、,0,0),S(0,0,2 ),M（1， ，0），N（0， ， ）. 6分設(shè)n=(x,y,z)為平面CMN的一個(gè)法向量， 點(diǎn)到平面的距離，利用向量法求解比較簡(jiǎn)單，它的理論基礎(chǔ)仍出于幾何法.如本題,事實(shí)上，作BH平面CMN于H.8分10分12分知能遷移3 如圖所示，已知兩個(gè)正四 棱錐PABCD與QABCD的高分別 為1，2，AB=4. （1）證明PQ面ABCD； （2）求異面直線AQ與PB所成角的余弦值； （3）求點(diǎn)P到面QAD的距離. （1）證明 如圖，連結(jié)AC，BD，設(shè)ACBD=O， PABCD與QABCD都是正四棱錐， PO面ABCD， QO面ABCD， 從而P、O、Q三點(diǎn)在一條直線上.

11、PQ面ABCD. （2）解 由題設(shè)知，ABCD是正方形，ACBD.由（1）知，PQ面ABCD，故可分別以CA，DB,QP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由條件得P（0，0，1）,A（2 ，0，0）,Q（0，0，-2）,B（0，2 ，0），(3)解 由(2)得D(0,-2 ,0)， =（0，0，-3），設(shè)n=（x，y，z）是面QAD的一個(gè)法向量，方法與技巧1.用向量知識(shí)證明立體幾何問(wèn)題有兩種基本思路: 一種是用向量表示幾何量，利用向量的運(yùn)算進(jìn) 行判斷；另一種是用向量的坐標(biāo)表示幾何量， 共分三步:（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián) 系，用空間向量（或坐標(biāo)）表示問(wèn)題中所涉及 的點(diǎn)、線、面，把立體幾何

12、問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn) 題；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、線、面之間 的位置關(guān)系；（3）根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來(lái) 解釋相關(guān)問(wèn)題.思想方法 感悟提高2.若利用向量求角，各類角都可以轉(zhuǎn)化為向量的 夾角來(lái)運(yùn)算. (1)求兩異面直線a、b的夾角，須求出它們的 方向向量a，b的夾角,則cos =|cosa,b|. (2)求直線l與平面所成的角 可先求出平面的法向量n與直線l的方向向量a 的夾角.則sin =|cosn,a|. (3)求二面角l的大小，可先求出兩個(gè) 平面的法向量n1,n2所成的角，則=n1,n2或 -n1,n2.3.求點(diǎn)到平面的距離，若用向量知識(shí)，則離不開 以該點(diǎn)為端點(diǎn)的平面的斜線段.失誤與防范1

13、.用向量知識(shí)證明立體幾何問(wèn)題，仍然離不開立 體幾何中的定理.如要證明線面平行，只需要證 明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行, 即化歸為證明線線平行，用向量方法證直線 ab，只需證明向量a=b（R）即可.若用 直線的方向向量與平面的法向量垂直來(lái)證明線面 平行，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外.2.利用向量求角，一定要注意將向量夾角轉(zhuǎn)化為 各空間角.因?yàn)橄蛄繆A角與各空間角的定義、范 圍不同.一、選擇題1.已知 =（1，5，-2）， =（3，1，z），若 ， =（x-1， y，-3），且BP平面 ABC，則實(shí)數(shù)x，y，z分別為 ( ) A. B. C. D. 定時(shí)檢測(cè)解析 即3+5-2z=0，得z=4，又

14、BP平面ABC，BPAB，BPBC， =（3，1，4），則答案 B2.長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1， E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余 弦值為 ( ) A. B. C. D. 解析 建立坐標(biāo)系如圖. 則A(1,0,0),E(0,2,1)， B(1,2,0)，C1(0,2,2）. B3.在正方體ABCDA1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn),則 的值等于 ( ) A. B. C. D. 解析 以D為原點(diǎn),DA、DC、DD1分 別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo) 系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，易知B4.設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則點(diǎn)D1到

15、平面A1BD的距離是 ( ) A. B. C. D. 解析 如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 則D1（0，0，2），A1（2，0，2）， D（0，0，0），B（2，2，0）， =（2，0，0）， =（2，0，2）， =（2，2，0）， 設(shè)平面A1BD的法向量n=（x，y，z），令x=1,則n=(1,-1,-1),點(diǎn)D1到平面A1BD的距離答案 D5.P是二面角AB棱上的一點(diǎn)，分別在、 平面上引射線PM、PN，如果BPM=BPN=45, MPN=60，那么二面角AB的大小為 ( ) A.60 B.70 C.80 D.90 解析 不妨設(shè)PM=a，PN=b,如圖, 作MEAB于E，NFAB于F， EPM=F

16、PN=45，答案 D6.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1 D1中,已知B1C,C1D與上底面A1B1C1D1 所成的角分別為60和45,則異面直 線B1C和C1D所成的余弦值為 ( )D二、填空題7.設(shè)平面與向量a=(-1,2,-4)垂直，平面與向量 b=(2,3,1)垂直，則平面與的位置關(guān)系 是 . 解析 由已知a,b分別是平面，的法向量. ab=-2+6-4=0,ab，.垂直 8.正四棱錐SABCD中,O為頂點(diǎn)在底面上的射 影,P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且SO=OD,則直線BC與平 面PAC所成的角是 . 解析 如圖所示,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo) 系Oxyz. 設(shè)OD=SO=OA=OB=

17、OC=a, 則A(a,0,0),B(0,a,0), C(-a,0,0), 設(shè)平面PAC的法向量為n,可求得n=(0,1,1),直線BC與平面PAC所成的角為90-60=30.答案 309.如圖所示，PD垂直于正方形ABCD 所在平面，AB=2，E為PB的中點(diǎn)， 若以DA，DC， DP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則點(diǎn)E的坐標(biāo)為 . 解析 設(shè)PD=a，則A（2，0，0）， B（2，2，0），P（0，0，a）， E的坐標(biāo)為（1，1，1）.（1,1,1）三、解答題10.如圖所示，已知正方形ABCD和矩形 ACEF所在的平面互相垂直,AB= ， AF=1，M是線段EF的中點(diǎn).求證：

18、(1)AM平面BDE； (2)AM平面BDF. 證明 (1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)ACBD=N，連接NE. 則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別為M11.如圖所示，邊長(zhǎng)為2的等邊PCD所 在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面， BC=2 ，M為BC的中點(diǎn). (1)證明：AMPM； (2)求二面角PAMD的大??； (3)求點(diǎn)D到平面AMP的距離. (1)證明 以D點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直 線DA、DC為x軸、y軸，建立如圖 所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz， 依題意，可得D(0,0,0),P(0,1, ),C(0,2,0),A(2 ,0,0)，M( ,2,0). =( ,2,0)-(0,1, )=( ,1,- )， =( ,2,0)-(2 ,0,0)=(- ,2,0)， =( ,1,- )(- ,2,0)=0，即 AMPM.（2）解 設(shè)n=(x,y,z)，且n平面PAM，則取p=(0,0,1),顯然p平面ABCD，結(jié)合圖形可知，二面角PAMD為45.（3）解 設(shè)點(diǎn)D到平面PAM的距離為d，12.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體 ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為 A1D1和CC1的中點(diǎn). (1)求證：EF平