高考數(shù)學一輪復習 8.7 立體幾何中的向量方法精品課件 新人教A

1、8.7 立體幾何中的向量方法要點梳理1.直線的方向向量與平面的法向量的確定 （1）直線的方向向量：在直線上任取一 向 量作為它的方向向量. （2）平面的法向量可利用方程組求出：設a,b是 平面內兩不共線向量，n為平面的法向量， 則求法向量的方程組為非零 .基礎知識 自主學習2.空間向量與空間角的關系 (1)設異面直線l1,l2的方向向量分別為m1,m2， 則l1與l2所成的角滿足 . (2)設直線l的方向向量和平面的法向量分別 為m,n，則直線l與平面所成角滿足 . (3)求二面角的大小 如圖，AB、CD是二面角l的兩個面 內與棱l垂直的直線,則二面角的大小= .cos =|cosm1,m2|

2、sin =|cosm,n| 如圖，n1，n2分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足cos = .cosn1,n2或-cosn1,n23.點面距的求法 如圖,設AB為平面的一條斜線段,n為平面的 法向量,則B到平面的距離d= .基礎自測1.若直線l1,l2的方向向量分別為a=(2,4,-4),b= (-6,9,6)，則( ) A.l1l2 B.l1l2 C.l1與l2相交但不垂直 D.以上均不正確 解析 ab=-12+36-24=0，ab， l1l2.B2.已知平面內有一個點M（1，-1，2），平面 的一個法向量是n=（6，-3，6），則下列點P中 在平面內的是( ) A.P（

3、2，3，3） B.P（-2，0，1） C.P（-4，4，0） D.P（3，-3，4） 解析 n=（6，-3，6）是平面的法向量， n ，在選項A中， =（1，4，1）， n =0.A3.已知兩平面的法向量分別為m=（0，1，0）， n=（0，1，1）,則兩平面所成的二面角為( ) A.45 B.135 C.45或135 D.90 解析 即m,n=45，其補角為135. 兩平面所成二面角為45或135.C4.如圖所示，在空間直角坐標系中， 有一棱長為a的正方體ABCO ABCD，AC的中點E 與AB的中點F的距離為( ) A. B. C.a D. 解析 由圖易知A（a,0,0）,B（a,a,0）

4、, C（0，a，0），A(a,0,a).B5.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1). 若c與a及b都垂直，則m,n的值分別為( ) A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2 解析 由已知得c=(m+4,m+2n-4,m-n+1), 故ac=3m+n+1=0，bc=m+5n-9=0. A題型一 利用空間向量證明平行與垂直 如圖所示，在四棱錐PABCD中， PA底面ABCD，ABAD， ACCD,ABC=60,PA=AB=BC, E是PC的中點.證明： (1)AECD; (2)PD平面ABE.題型分類 深度剖析（1）建立空間直角坐標系確定 的

5、坐標計算AECD （2）求面ABE的法向量n判斷滿足 =kn(kR） 平面ABE或確定 坐標計算PDAEPDABPD平面ABE 證明 AB、AD、AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，設PA=AB=BC=1，則P（0，0，1）.(1)ABC=60，ABC為正三角形.(2)方法一方法二 證明線面平行和垂直問題，可以用幾何法，也可以用向量法.用向量法的關鍵在于構造向量，再用共線向量定理或共面向量定理及兩向量垂直的判定定理.若能建立空間直角坐標系，其證法較為靈活方便.知能遷移1 如圖所示,平面PAD平面 ABCD，ABCD為正方形，PAD是直 角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分 別是線段

6、PA、PD、CD的中點. 求證：PB平面EFG. 證明 平面PAD平面ABCD且ABCD為正方形, AB、AP、AD兩兩垂直，以A為坐標原點， 建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz， 則A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、 P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0).即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1)，題型二 利用向量求空間角 （2008海南理，18）如圖所 示，已知點P在正方體ABCDAB CD的對角線BD上,PDA=60. (1)求DP與CC所成角的大小; (2)求DP與平面AADD所成角的大小. 建立

7、空間直角坐標系，利用空間向 量方法求解. 解 如圖所示，以D為原點，DA為單位長度建立空間直角坐標系Dxyz.則 =（1，0，0）， =(0,0,1).連接BD,BD.在平面BBDD中,延長DP交BD于H.設 =(m,m,1) (m0),由已知 =60, （1）異面直線的夾角與向量的夾角有所不同，應注意思考它們的區(qū)別與聯(lián)系.（2）直線與平面的夾角可以轉化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角，由于向量方向的變化,所以要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系.知能遷移2 （2009天津理，19） 如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD，ADBCFE，AB AD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE= .

8、 (1)求異面直線BF與DE所成的角的大?。?(2)證明平面AMD平面CDE; (3)求二面角ACDE的余弦值. (1)解 如圖所示，建立空間直 角坐標系，點A為坐標原點，設 AB=1，依題意得B(1,0,0), C(1,1,0)，D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1)，所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60.(2)證明又AMAD=A，故CE平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.(3)解 設平面CDE的法向量為u=（x,y,z)，令x=1,可得u=(1,1,1).又由題設，平面ACD的一個法向量v=(0,0,1).因為二面角ACDE為銳角，所以其余弦值為 題

9、型三 利用向量求空間距離 （12分）在三棱錐SABC中， ABC是邊長為4的正三角形，平面 SAC平面ABC，SA=SC= ，M、 N分別為AB、SB的中點，如圖所示. 求點B到平面CMN的距離. 由平面SAC平面ABC,SA=SC,BA= BC,可知本題可以取AC中點O為坐標原點，分別 以OA，OB，OS所在直線為x軸，y軸,z軸建立空 間直角坐標系，用向量法求解.解 取AC的中點O，連接OS、OB.SA=SC，AB=BC，ACSO，ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABC=AC，SO平面ABC，SOBO. 4分如圖所示，建立空間直角坐標系Oxyz，則B(0,2 ,0),C(-2

10、,0,0),S(0,0,2 ),M（1， ，0），N（0， ， ）. 6分設n=(x,y,z)為平面CMN的一個法向量， 點到平面的距離，利用向量法求解比較簡單，它的理論基礎仍出于幾何法.如本題,事實上，作BH平面CMN于H.8分10分12分知能遷移3 如圖所示，已知兩個正四 棱錐PABCD與QABCD的高分別 為1，2，AB=4. （1）證明PQ面ABCD； （2）求異面直線AQ與PB所成角的余弦值； （3）求點P到面QAD的距離. （1）證明 如圖，連結AC，BD，設ACBD=O， PABCD與QABCD都是正四棱錐， PO面ABCD， QO面ABCD， 從而P、O、Q三點在一條直線上.

11、PQ面ABCD. （2）解 由題設知，ABCD是正方形，ACBD.由（1）知，PQ面ABCD，故可分別以CA，DB,QP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，由條件得P（0，0，1）,A（2 ，0，0）,Q（0，0，-2）,B（0，2 ，0），(3)解 由(2)得D(0,-2 ,0)， =（0，0，-3），設n=（x，y，z）是面QAD的一個法向量，方法與技巧1.用向量知識證明立體幾何問題有兩種基本思路: 一種是用向量表示幾何量，利用向量的運算進 行判斷；另一種是用向量的坐標表示幾何量， 共分三步:（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián) 系，用空間向量（或坐標）表示問題中所涉及 的點、線、面，把立體幾何

12、問題轉化為向量問 題；（2）通過向量運算，研究點、線、面之間 的位置關系；（3）根據(jù)運算結果的幾何意義來 解釋相關問題.思想方法 感悟提高2.若利用向量求角，各類角都可以轉化為向量的 夾角來運算. (1)求兩異面直線a、b的夾角，須求出它們的 方向向量a，b的夾角,則cos =|cosa,b|. (2)求直線l與平面所成的角 可先求出平面的法向量n與直線l的方向向量a 的夾角.則sin =|cosn,a|. (3)求二面角l的大小，可先求出兩個 平面的法向量n1,n2所成的角，則=n1,n2或 -n1,n2.3.求點到平面的距離，若用向量知識，則離不開 以該點為端點的平面的斜線段.失誤與防范1

13、.用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立 體幾何中的定理.如要證明線面平行，只需要證 明平面外的一條直線和平面內的一條直線平行, 即化歸為證明線線平行，用向量方法證直線 ab，只需證明向量a=b（R）即可.若用 直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面 平行，仍需強調直線在平面外.2.利用向量求角，一定要注意將向量夾角轉化為 各空間角.因為向量夾角與各空間角的定義、范 圍不同.一、選擇題1.已知 =（1，5，-2）， =（3，1，z），若 ， =（x-1， y，-3），且BP平面 ABC，則實數(shù)x，y，z分別為 ( ) A. B. C. D. 定時檢測解析 即3+5-2z=0，得z=4，又

14、BP平面ABC，BPAB，BPBC， =（3，1，4），則答案 B2.長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1， E為CC1的中點，則異面直線BC1與AE所成角的余 弦值為 ( ) A. B. C. D. 解析 建立坐標系如圖. 則A(1,0,0),E(0,2,1)， B(1,2,0)，C1(0,2,2）. B3.在正方體ABCDA1B1C1D1中,M是AB的中點,則 的值等于 ( ) A. B. C. D. 解析 以D為原點,DA、DC、DD1分 別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標 系，設正方體棱長為1，易知B4.設正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則點D1到

15、平面A1BD的距離是 ( ) A. B. C. D. 解析 如圖建立空間直角坐標系， 則D1（0，0，2），A1（2，0，2）， D（0，0，0），B（2，2，0）， =（2，0，0）， =（2，0，2）， =（2，2，0）， 設平面A1BD的法向量n=（x，y，z），令x=1,則n=(1,-1,-1),點D1到平面A1BD的距離答案 D5.P是二面角AB棱上的一點，分別在、 平面上引射線PM、PN，如果BPM=BPN=45, MPN=60，那么二面角AB的大小為 ( ) A.60 B.70 C.80 D.90 解析 不妨設PM=a，PN=b,如圖, 作MEAB于E，NFAB于F， EPM=F

16、PN=45，答案 D6.如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1 D1中,已知B1C,C1D與上底面A1B1C1D1 所成的角分別為60和45,則異面直 線B1C和C1D所成的余弦值為 ( )D二、填空題7.設平面與向量a=(-1,2,-4)垂直，平面與向量 b=(2,3,1)垂直，則平面與的位置關系 是 . 解析 由已知a,b分別是平面，的法向量. ab=-2+6-4=0,ab，.垂直 8.正四棱錐SABCD中,O為頂點在底面上的射 影,P為側棱SD的中點,且SO=OD,則直線BC與平 面PAC所成的角是 . 解析 如圖所示,以O為原點建立空間直角坐標 系Oxyz. 設OD=SO=OA=OB=

17、OC=a, 則A(a,0,0),B(0,a,0), C(-a,0,0), 設平面PAC的法向量為n,可求得n=(0,1,1),直線BC與平面PAC所成的角為90-60=30.答案 309.如圖所示，PD垂直于正方形ABCD 所在平面，AB=2，E為PB的中點， 若以DA，DC， DP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系， 則點E的坐標為 . 解析 設PD=a，則A（2，0，0）， B（2，2，0），P（0，0，a）， E的坐標為（1，1，1）.（1,1,1）三、解答題10.如圖所示，已知正方形ABCD和矩形 ACEF所在的平面互相垂直,AB= ， AF=1，M是線段EF的中點.求證：

18、(1)AM平面BDE； (2)AM平面BDF. 證明 (1)建立如圖所示的空間直角坐標系, 設ACBD=N，連接NE. 則點N、E的坐標分別為M11.如圖所示，邊長為2的等邊PCD所 在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面， BC=2 ，M為BC的中點. (1)證明：AMPM； (2)求二面角PAMD的大小； (3)求點D到平面AMP的距離. (1)證明 以D點為原點，分別以直 線DA、DC為x軸、y軸，建立如圖 所示的空間直角坐標系Dxyz， 依題意，可得D(0,0,0),P(0,1, ),C(0,2,0),A(2 ,0,0)，M( ,2,0). =( ,2,0)-(0,1, )=( ,1,- )， =( ,2,0)-(2 ,0,0)=(- ,2,0)， =( ,1,- )(- ,2,0)=0，即 AMPM.（2）解 設n=(x,y,z)，且n平面PAM，則取p=(0,0,1),顯然p平面ABCD，結合圖形可知，二面角PAMD為45.（3）解 設點D到平面PAM的距離為d，12.如圖所示，在棱長為2的正方體 ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為 A1D1和CC1的中點. (1)求證：EF平