專題一 導數(shù)的幾何意義(教師版)

1、專題一導數(shù)的幾何意義切線問題（教師版）【熱點聚焦與擴展】導數(shù)的幾何意義為高考熱點內容，考查題型文科多為選擇、填空題，理科常出現(xiàn)在解答題中，難度中等或更小歸納起來常見的命題探究角度有：（1）求切線方程問題（2）確定切點坐標問題（3）已知切線問題求參數(shù)（4）切線的綜合應用（一）與切線相關的定義1、切線的定義：在曲線的某點A附近取點B,并使B沿曲線不斷接近A.這樣直線AB的極限位置就是曲線在點A的切線.2、函數(shù)f（x）在點，處的導數(shù)fz（xO）的幾何意義是在曲線y=f（x）上點（xO,f（xO）處的切線的斜率（瞬時速度就是位移函數(shù)s（t）對時間t的導數(shù)）.相應地，切線方程為y-f（xO）=fz（xO

2、）（x-xO）.（二）方法與技巧：1、求切線方程的方法：一點一方向可確定一條直線，在求切線時可考慮先求出切線的斜率（切點導數(shù)）與切點，在利用點斜式寫出直線方程.2、若函數(shù)的導函數(shù)可求，則求切線方程的核心要素為切點A的橫坐標，因為可“一點兩代”，代入到原函數(shù)，即可得到切點的縱坐標：，代入到導函數(shù)中可得到切線的斜率：-，=從而一點一斜率，切線即可求。所以在解切線問題時一定要盯住切點橫坐標，千方百計的把它求解出來.3、求切線的問題主要分為兩大類，一類是切點已知，那么只需將切點橫坐標代入到原函數(shù)與導函數(shù)中求出切點與斜率即可，另一類是切點未知，那么先要設出切點坐標：，再考慮利用條件解出核心要素進而轉化成

3、第一類問題。4、在解析幾何中也學習了求切線的方法，即先設出切線方程，再與二次方程聯(lián)立利用二11求出參數(shù)值進而解出切線方程。解析幾何中的曲線與函數(shù)同在坐標系下，所以兩個方法可以互通。若某函數(shù)的圖像為圓錐曲線，二次曲線的一部分，則在求切線時可用解析的方法求解，例如：（圖像為圓的解，例如：（圖像為圓的處的切線方程，則可考慮利用圓的切線的求法進行解決。若圓錐曲線可用函數(shù)解析式表示，像焦點在y軸的拋物線，可看作y關于x的函數(shù)，則在求切線時可利用導數(shù)進行快速求解（此方法也為解析幾何中處理焦點在y軸的拋物線切線問題的重要方法）.5、在處理切線問題時要注意審清所給已知點是否為切點.“在某點處的切線”意味著該點

4、即為切點，而“過某點的切線”則意味著該點有可能是切點，有可能不是切點.如果該點恰好在曲線上那就需要進行分類討論了.【經典例題】Iy=y例1【2017課標1,文14】曲線丫在點（1,2）處的切線方程為I答案】y=x+l【解析】試題分析：設y=/（x）所以在（1.2處的切線方程為y-2=lx（x-l）即x+1例2【2017天津，文10】已知14，設函數(shù)；：-，；的圖象在點：-J：處的切線為丨則丨在y軸上的截距為.【答案】1【解析】試題分折：切M,亠則切坯苜科率為廣（1）=研1,切線方程為:x尸4=一00-嘰令工=0博出=1,彳在袖的裁距為I.【名師點睛】本題考査了導數(shù)的幾何意義屬于基礎題型，函數(shù)門

5、工）在點兀處的導數(shù)廣（兀）的幾何意義是曲線y=f（x）在點Pg）處的切線的斜率.相應地，切線方程為7-卩嚴廣儀）仗-兀）注意：求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過點尸的切線的不同一謹記，有切點直接帶入切點，役切點設切點，建立方程組求切點.例3.已知函數(shù).=的圖象在點：處的切線為丨，若丨也與函數(shù)尸1口小圧1）的圖象相切，則和取值范圍為（）【答案】D【解析】萌數(shù)y=的導數(shù)対”工閹惟在點（兀工處的切線的斜率為k=2xti切線方程為了-恤”-瑤，設切線與眥相切的切點為（m.inm）,即有y=I族的導數(shù)為b=吉可得片=丄.切線方程対y_Z=丄（工勵，令咒=6可得mmy=Inm-1=-x；T|_lj0+

6、,且疋丨由可得工-Jn(2x)-1=Ot令f(x=xz-La：Qfjc=2x-0,f(JC)在時單調遞增，且X/(V2)=2-ln72-10,用f以有x；-ln(2x)-11=0的根je(72,V3),故選D.例4【2018屆重慶市高三4月（二診）】曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（）【答案】B【解折】市xy-x【解折】市xy-x+2y-5Q,二曲線在點（L2）處的切線方程為y-2=-x-l）.令*0,得尸？令y=0得27.二切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為卩卜孑#.選B.例5【2018屆江西省南昌市高三一輪訓練】直線】-沁1與曲線-J八相切于點J；b則訂-A.1B.2C.

7、3D.4【答案】C【解析】“X）的導函數(shù)為廣W又直線y=總十1與曲線/（工）二口Inx+z?相切于點卩（1）X故選：C例6【2018屆河南省高三4月測試】已知函數(shù)-“在點：J；1處的切線為，動點-在直線丨上，則的最小值是（）A.4B.2CZ爲D.72【答案】D【解析】由題得fM=e=e=翩密方程為F二冥一艮即1-y+1-0,a-b+l=a-b=-l2a+2“2=2才科=22=竝（當且.僅當“詁比時取等）,故選也例7【2018屆廣東省2018屆高三一?！恳阎獟佄锞€，M為x軸負半軸上的動點,MA,MB為拋物線的切線，A,B分別為切點，則；的最小值為（）【答案】【解析】y2-ty-m=設MA,MB為

8、拋物線的切線，A,B分別為切點，則；的最小值為（）【答案】【解析】y2-ty-m=設切線晞1的方程為x=ty+m，代入拋物線方程得由直線與拋物線相切得A=八4m=D,y0時z耒，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得=J則沖鳥）同理可卽將點*的坐標代入x=ty+m,得心存叫一訓箱，當“土孚時，血伽的最小值為5zj故側肘姑=-4441花，故選九例8【2018屆江西省師范大學附屬中學、九江第一中學高三11月聯(lián)考】設曲線I+COSLVy=的切線與直線一X平行,則實數(shù)a等于（）在點-處【答案】A【解析】因為戸出竺土竺加【答案】A【解析】因為戸出竺土竺加sifixsinx訐乜矩曲無V=土空程點）春1處的殮的sinx斜率

9、為“因為該燃與宣線剜+1“平任所以.J解得7故選人a例9.求過點*（2,R,且與曲線/=工相切的直線方程.【答案】y=12r-16或y=3x十2【解析】滿足/V”但題目并沒有說明/(是否為切點*聽以耍分衛(wèi)是否為切點進行分類討論。為衛(wèi)是切點時，易于求出切線方程，1/1不是切點時，切點未知，從而先設再求,設切點(弘兒)，切線斜率為廠.個未知量需用.個條件求解:兀=幾兀n八切*解：(1)當問為切點時s/(x)=3x2(2)=12二切線方程為：-8=12(x-2)j=12-16當心)不是切點時,設切點尸區(qū)0)仇工2),切線斜率為kXd扯消去5可得：略占xv-2而-=(Xa-2)+2x0I4)丁兀工2二

10、方程等價于：玩=琉+2對*4=x：-咼-2=0解得：工嚴2(:舍)，=-1ya=-k=3二切線方程為+l=3(x+l)=y=3x+2綜上所述：切線方程為y12x-16或尹=3x+2*【精選精練】1曲線讓-1在點_的切線方程為()【答案】A【解析】由，二迓+lx-1f得y-ex+2*所以/+所嘆切線斜率為3又工=0時，V=-1J所以在點(0,7)的切方程為j+l=3x,y=3x-l故選九2.已知設函數(shù)/：川-；的圖象在點-二-I處的切線為丨,則丨在y軸上的截距為（）A,B.1C.0D.-1【答案】B【解析】由題意可知廣何/=1丿（1）=化Iya-a）（工1）j令工=0j=1.故選：Bffx）=x

11、2-31nx3已知曲線4的一條切線的斜率為-，則切點橫坐標為（）A.-2B.3C.2或3D.2【答案】D【解析】i/（xl=lx;-31nx的F切線稠率為一*的則切點橫坐標対矽且珂V-AXAX）=-3（舍去）故詵D【點睛】本題主要考査了導數(shù)的幾何意義即函數(shù)在某點處的導數(shù)，即為在該點出的切線的斜率，在處理該問題中需注意切點的重要性，主要利用切點出的導數(shù)為斜率；切點坐標滿足曲線方程；切點坐標滿足切線方程-QX廣2C2y-（a0）4.若曲線（與曲線_存在公共切線，則a的取值范圍為【答案】D【解析】y*在點“府）的切線斜率為如吒在點卜三的切線的斜率為匚，故加=匚,由斜率公式得2陽=工丘花卩aam-rt

12、吩2n-2側4仁有解仲尸牡-4,$=的圖象有交點即可，相切時有十所以心號，故選D.【點睛】本小題主要考査利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，過曲線上某點出的切線的斜率，就是函數(shù)在該點處的導數(shù)值，是中檔題要求曲線上某點的切線方程,需要到兩個量、一個是切點，一個是切線的斜率、分別求得切點和斜率，然后根據(jù)點斜式可寫出切線方程.5.已知過曲線一_上一點5.已知過曲線一_上一點作曲線的切線，若切線在y軸上的截距小于0時，則丄的取值范圍是（）A.（O?-Fx）B.3+ooC.（1,+ooJD.（2,-bx）【答案】c【解析】因為n所以切線方程為即耳-心）,令。得尸（1-）盧，截距小于0時,y=（1-jD）1,故選C,6曲線，v上一點B處的切線丨交x軸于點A,W-W”為原點）是以A為頂點的等腰三角形，則切線丨的傾斜角為（）A.30*B45*C.60D.120【答案】C【解析】對曲線p求導得y*=3x:T設切點J5f（x，x）T則B點處的切線r的斜率為甌：.二切線I的方程為y-x：=弒匕-訃令y=0f得.4扌兀,0-ZAB是以A為頂點的等腰二角形7.直線:-與曲線，二h匸相切于點則b的值為()A.1B.0C.