第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)材料力學(xué)教案

1、文檔編碼 : CA5X6Q5K9J1 HZ4O2Z7W1L4 ZR10J9L7M6R10學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載第九章 應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)同濟(jì)高校航空航天與力學(xué)學(xué)院 顧志榮一、教學(xué)目標(biāo)通過(guò)本章學(xué)習(xí),把握應(yīng)力狀態(tài)的概念及其爭(zhēng)辯方法；會(huì)從受力桿件中截取單元體并標(biāo)明單元體上的應(yīng)力情形；會(huì)運(yùn)算平面應(yīng)力狀態(tài)下斜截面上的應(yīng)力；把握平面應(yīng)力狀態(tài)和特殊空間應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力、主方向的運(yùn)算,并 會(huì)排列主應(yīng)力的次序；把握廣義胡克定律；明白復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)比能的概念；明白主應(yīng)力跡線的概念；二、教學(xué)內(nèi)容 1、應(yīng)力狀態(tài)的概念；2、平面應(yīng)力狀態(tài)分析 -數(shù)解法 3、平面應(yīng)力狀態(tài)分析 圖解法 4、三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力；5、廣義胡克

2、定律 .體應(yīng)變；6、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的比能；7、梁的主應(yīng)力 .主應(yīng)力跡線的概念；三、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載1、平面應(yīng)力狀態(tài)下斜截面上的應(yīng)力運(yùn)算,主應(yīng)力及主方向的運(yùn)算,最大 剪應(yīng)力的運(yùn)算；2、廣義胡克定律及其應(yīng)用；難點(diǎn)：1、應(yīng)力狀態(tài)的概念, 從具體受力桿件中截面單元體并標(biāo)明單元體上的應(yīng) 力情形；2、斜截面上的應(yīng)力運(yùn)算公式中關(guān)于正負(fù)符號(hào)的商定；3、應(yīng)力主平面、主應(yīng)力的概念,主應(yīng)力的大小、方向的確定；4、廣義胡克定律及其應(yīng)用；四、教學(xué)方式 接受啟示式教學(xué),通過(guò)提問(wèn),引導(dǎo)同學(xué)摸索,讓同學(xué)回答疑題；五、方案學(xué)時(shí) 6 學(xué)時(shí) 六、實(shí)施學(xué)時(shí) 七、講課提綱 本章與前幾章在爭(zhēng)辯對(duì)象上的不同之處；回憶：內(nèi)力

3、圖：F 、M 、F 、 M -一根（桿、軸、梁）強(qiáng)度運(yùn)算 F Q max、M F maxN max、M 一面（危險(xiǎn)截面）n max一段本章：應(yīng)力狀態(tài) 一點(diǎn)；學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載一應(yīng)力狀態(tài)的概念 一、為什么要爭(zhēng)辯一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)？簡(jiǎn)潔回憶：拉壓：圖 9-1 強(qiáng)度條件：F NsnAbn 扭轉(zhuǎn)：強(qiáng)度條件：maxMnsnW nbn彎曲：圖 11-3 maxMmax學(xué)習(xí)好資料歡迎下載snW zb強(qiáng)度條件：maxFQmaxSznsnIzbbn但,到目前為止尚不能對(duì)如第4 點(diǎn)的應(yīng)力情形進(jìn)行校核,因此：1、為了對(duì)某些復(fù)雜受力構(gòu)件中既存在 又存在 的點(diǎn)建立強(qiáng)度條件供應(yīng) 依據(jù)；2、為試驗(yàn)應(yīng)力分析 奠定基礎(chǔ) 通過(guò)試驗(yàn)

4、來(lái)爭(zhēng)辯和明白結(jié)構(gòu)或構(gòu)件中應(yīng)力情形的方法,稱為試驗(yàn)應(yīng)力分 析；應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)在試驗(yàn)應(yīng)力分析等方面的廣泛應(yīng)用：試驗(yàn)方案的制訂：驗(yàn)證理論運(yùn)算結(jié)果：復(fù)雜受力結(jié)構(gòu)、構(gòu)件的應(yīng)力測(cè)試 等等；二、什么叫一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)？通過(guò)某一點(diǎn)的全部截面上的應(yīng)力情形,或者說(shuō)構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)沿不同方 向的斜面上應(yīng)力的變化規(guī)律,稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)；三、怎樣爭(zhēng)辯一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)？在構(gòu)件內(nèi)取得單元體代替所爭(zhēng)辯的點(diǎn)：面上的應(yīng)力情形來(lái)爭(zhēng)辯一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)；1、單元體的概念：通過(guò)截面法爭(zhēng)辯單元體各個(gè)斜截正六面微體：邊長(zhǎng)為無(wú)窮小量,dx、dy、dz,故：任意一對(duì)平行平面上的應(yīng)力均相等；學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載各個(gè)面上的應(yīng)力都均勻分布；任意、相互平行

5、方向的應(yīng)變均相同；2、怎樣取單元體 取單元體的原就：盡量使三對(duì)面上的應(yīng)力為已知（包括應(yīng)力等于零）先定橫截面上的 、 ,然后按 互等定律確定其他面上的剪應(yīng)力；取法一對(duì)橫截面dx 一對(duì)縱截面（平行上、下面）dy 一對(duì)縱截面（平行前、后面）dz 3、依據(jù)構(gòu)件的受力情形,繪應(yīng)力單元體 例：受拉伸或壓縮構(gòu)件上的應(yīng)力單元體 受扭構(gòu)件上的應(yīng)力單元體 彎曲構(gòu)件上的應(yīng)力單元體,等等 二 平面應(yīng)力狀態(tài)分析數(shù)解法 一、斜截面上的應(yīng)力a 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載b 圖 9-4 已知：受力構(gòu)件中的應(yīng)力單元體求：任一斜截面上的應(yīng)力、設(shè)：解：截面法：截出任一斜截面如下：圖 9-5 1、 面上的應(yīng)力Fn0學(xué)習(xí)好資料c o sy歡

6、迎下載0 xs i nxc o sys i n靜力平穩(wěn)條件,不是應(yīng)力平穩(wěn)dAFnx0: sinxdAcoscosydAsincosydAsinsin0dAcos整理上式得,同理,xxyx2ycos2xsin2 2Ft0,得xcos2 ysin22上述二式：從數(shù)學(xué)上看上述兩個(gè)方程式為參數(shù)方程,參變量為 ；從力學(xué)上看,這兩個(gè)方程稱為一點(diǎn)的任意斜截面上的應(yīng)力公式；圖 9-6 2、 面（+90 ）上的應(yīng)力：如令 =90+ ,就900yxxyyx0ycos2 900 xsin2 90022xxycos2xsin2 229002sin290 xcos2900 x2ysin2學(xué)習(xí)好資料歡迎下載xcos2 3

7、、 、 面上應(yīng)力之間的關(guān)系：將式 +式,可以看到：xy常量即任意兩個(gè)相互垂直面上的正應(yīng)力之和是常數(shù)；從式、可以看到：即剪應(yīng)力互等定律將、表示在單元體上圖 9-7就：二、xmin= 在何處？該處=？2200 的面上有極值令d d0,x2y2sin2xcos22ysin2xcos20即0 這個(gè)面在何處？由0這個(gè)式子可得正應(yīng)力極值所在面的方位：0,0也從 x 軸算起；為區(qū)分于任意截面的 ,令0 式中的方位：tg20 x2xy 任意（為便利）令：tg學(xué)習(xí)好資料歡迎下載201,就可以發(fā)覺(jué)：有兩個(gè)根： （即正應(yīng)力極植有兩個(gè)面） ：2 0 45 0-0 22 . 5 02 0 225 0-0 112 5.

8、0具有極植的這兩個(gè)面相差 90 ；即：在兩個(gè)相互垂直的斜面上,其正應(yīng)力或?yàn)闃O大值或?yàn)槲⑿≈?；大?。簩⑶蟮玫?0 代入式,得max x y x y 2 2min x 2 2明顯,在 min的面上 0三、min = . 在何處？該處 =？d x y令 ,0 2 c o s 2 2 x s i n 2 0d 2x y即：2 c o s x s i n 2 02x y方位：tg 2 0 2 x將 0代入2式,得: 大小: min max x y 2x 2 2maxmin 面上的正應(yīng)力 : x y x ycos 2 0 x sin 20 2 2四、主平面、主應(yīng)力、主應(yīng)力的排列主平面：?jiǎn)卧w中只有正應(yīng)力而

9、沒(méi)有剪應(yīng)力的平面稱為主平面；學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力稱為該點(diǎn)的主應(yīng)力；主應(yīng)力的排列：1、2、32 3用代數(shù)值確定,排列為1五、應(yīng)力狀態(tài)的分類一個(gè)單元體上最多只能顯現(xiàn)三對(duì)主應(yīng)力,最少可以均為 0；按主應(yīng)力存在多少,應(yīng)力狀態(tài)分為：1、三向應(yīng)力狀態(tài)（三個(gè)主應(yīng)力都不等于零）圖 9-82、二向應(yīng)力狀態(tài)（兩個(gè)主應(yīng)力不等于零）圖 9-93、單向應(yīng)力狀態(tài)（只有一個(gè)主應(yīng)力都不等于零）學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載圖 9-10三平面應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法一、應(yīng)力圓（ 0Mohr 圓）的由來(lái)任意斜截面上的應(yīng)力運(yùn)算公式x y x ycos 2 x sin 2 2 2x ysin 2 x cos 2 2從數(shù)學(xué)上來(lái)

10、看,這兩個(gè)方程是個(gè)參數(shù)方程,參變量為 2 ,即f 2 如消去 sin 2 和 cos 2,就確定能找到 f 的曲線方程0Mohr 作了這個(gè)工作：第一將式改寫(xiě),即將式子等號(hào)右邊的第一項(xiàng)移到等號(hào)左邊,然后對(duì)等 式 兩 邊 平 方 ； 再 對(duì) 式 的 兩 邊 平 方 ； 最 后 將 兩 式 相 加 , 并 利 用sin222 cos2y1這一關(guān)系消去 sin2 和cos2 而得：x222x2y2x2 這就是所求的曲線方程（應(yīng)力圓的方程）由解析幾何的原理可知,方程學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載（x-a）2+y2=R2 這是一個(gè)圓心在（ a、0）,半徑為 R 的圓的曲線方程；即圖 9-11 對(duì)比a、兩式： x_

11、y_a_x2xyy22R_2x圖 9-12學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載從力學(xué)觀點(diǎn)看：如已知一個(gè)應(yīng)力單元體兩個(gè)相互垂直面上的應(yīng)力就確定可以作一個(gè) 圓,圓周上的各點(diǎn)就是該單元體任意斜截面 上的應(yīng)力；平面應(yīng)力狀態(tài)下任意斜截面 上的應(yīng)力相互制約在圓周上變化；從以上的數(shù)學(xué)方程、力學(xué)觀點(diǎn)分析,通常將此圓稱為應(yīng)力圓； 由于 0Mohr 第一運(yùn)用數(shù)學(xué)原理將應(yīng)力單元體任意斜截面上的應(yīng)力用圖來(lái)表示,因此又稱 0Mohr 圓；2、應(yīng)力圓的一般做法圖 9-13 取坐標(biāo)系 ；按比例量?。篛B1x；B1Dxx由此得 Dx 點(diǎn)OB2y；B2Dyy得 Dy 點(diǎn)連DxDy交 軸于C；學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載以 C 為圓心,CD 或 CD

12、為半徑作圓；即為所求的應(yīng)力圓；從作圓的過(guò)程可以看到：應(yīng)力圓上的點(diǎn)： Dx 即代表單元體上X 面上的應(yīng)力；Dy 即代表單元體上Y 面上的應(yīng)力；明顯,單元體上任意斜截面上的應(yīng)力就制約在應(yīng)力圓的圓周上,所以可利用應(yīng)力圓求單元體上任一斜截面上的應(yīng)力；3、利用應(yīng)力圓求單元體上任一斜截面上的應(yīng)力四句話：點(diǎn)面相對(duì)應(yīng),第一找基準(zhǔn)；轉(zhuǎn)向要相同,夾角兩倍整；例：求任意斜面上 上的應(yīng)力,見(jiàn)圖 9-13：E 點(diǎn)的坐標(biāo)就是所求的、值,即 OF , EF ,最終,依據(jù)應(yīng)力圓上 E 點(diǎn)的坐標(biāo),標(biāo)出該斜截面上應(yīng)力方向（見(jiàn)單元體 的方向）；4、利用應(yīng)力圓求單元體的主應(yīng)力及方向最大正應(yīng)力：max1OA 1OCCA 1x2yx2y

13、22x最小正應(yīng)力：min2OA 2OCCA 2x2yx2y22x主方向：tg20B 1Dxxxy2xyCB 1x2（式中負(fù)號(hào)假設(shè)為+,現(xiàn)從 DxA1 為,為-）學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載5、利用應(yīng)力圓求單元體的最大剪應(yīng)力及方向 最大剪應(yīng)力：maxCG1CDxx2y22x最小剪應(yīng)力：minCG2x2y22m ax 所在面x方向：應(yīng)力圓上 A1 與 G1 相差 900,即在主應(yīng)力單元體上主平面與相差 450 ；需要留意的是：m ax面上仍有0,其值：0G1x2y分析爭(zhēng)辯題：1、圖示平面應(yīng)力狀態(tài)下的單元體及其應(yīng)力圓,試在單元體上表示出相 應(yīng)于應(yīng)力圓上的點(diǎn) 1、2、3、4、5、6、7、8 的截面位置及應(yīng)力方

14、向；學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載圖 9-14 圖 9-15 2、圖示一處在二向應(yīng)力狀態(tài)下的單元體及其應(yīng)力圓；試在應(yīng)力圓上用 點(diǎn)表示 0-1,0-2,0-3,0-4,0-5 各截面的位置,并畫(huà)出單元體斜面上的應(yīng)力方向；學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載圖 9-16四三向應(yīng)力狀態(tài)一、三向應(yīng)力狀態(tài)的概念單向、雙向應(yīng)力狀態(tài)是三向應(yīng)力狀態(tài)的特例；工程中三向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例：例 1：地層確定深度處所取的單元體,豎向受巖土體的自重壓力；側(cè)向受四周巖土的側(cè)向壓力；圖 9-17例 2：火車道軌上取一單元體例 3：壓力容器內(nèi)壁取一單元體圖 9-18 圖 9-19學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載2、三向應(yīng)力圓求與某個(gè)主應(yīng)力平行的任意斜截面上的應(yīng)力、：

15、只與1、2 有求平行于3的任意斜截面上的應(yīng)力、；明顯、關(guān)圖 9-20 求平行于1的任意斜截面上的應(yīng)力、；明顯、只與2、3有關(guān)；學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載圖 9-21 求平行于2 的任意斜截面上的應(yīng)力、；明顯、只與1、3 有關(guān)；圖 9-22 求任意截面上的應(yīng)力n 、n；明顯n 、n與1、2、3都有關(guān)；圖 9-23 3、一點(diǎn)處的最大應(yīng)力：最大正應(yīng)力與最小正應(yīng)力由1和3 所作成的最大應(yīng)力圓可見(jiàn)：max1學(xué)習(xí)好資料歡迎下載 min 3主剪應(yīng)力與最大剪應(yīng)力：由三向應(yīng)力圓可知, 在三向應(yīng)力狀態(tài)狀態(tài)的單元體中, 有三對(duì)主剪應(yīng)力：1,21222,32231,3123最大剪應(yīng)力例 1 解: 例 2 解：max113

16、2已知126MPam,20 ,396MPa,求max.max123269661M P a2已知某點(diǎn)的正應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值為26 Mpa 、10 Mpa ,求m ax？1、確定主應(yīng)力1、2 、3126MPa,210MPa,302、max12326013MPa2例 3 已知平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值解：x180MPa,y90MPa,xy0,求max？1、2、31、確定主應(yīng)力1z02y90MPa3x180學(xué)習(xí)好資料歡迎下載MPa2、max1230218090MPa五廣義虎克定律依據(jù)拉壓虎克定律E和橫向變形系數(shù),即E,可將虎克定律推廣：一、三向主應(yīng)力單元體的廣義虎克定律311111 1,即1123E231廣義

17、虎克定律 E1312E| 棱邊 1 伸長(zhǎng)11123E縮短棱邊 2 E棱邊 3 縮短1E+ 棱邊 1 縮短2213E棱邊 2 伸長(zhǎng)1E棱邊 3 縮短2E棱邊 1 縮短31 E學(xué)習(xí)好資料縮短歡迎下載棱邊 2 3 E2 棱邊 3 伸長(zhǎng)2 3E2、三向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的廣義虎克定律在式中,如三個(gè)主應(yīng)力中有一個(gè)主應(yīng)力為零,例如：30,就式子可寫(xiě)為二向應(yīng)力狀態(tài)虎克定律11112 E2121E3E2 已知主應(yīng)力求主應(yīng)變1利用式的前二式可將式改寫(xiě)成用主應(yīng)變1、2 表示1、1的形式：1E212 21E221 已知主應(yīng)變求主應(yīng)力3、三向一般應(yīng)力狀態(tài)單元體的廣義虎克定律可以證明：在小變形、各向同性的情形下,學(xué)習(xí)好資料 歡

18、迎下載于線彈性范疇內(nèi)： 只與 有關(guān)（伸長(zhǎng)或縮短） 只與 有關(guān)（角度變化）故,可便利地按三向主應(yīng)力單元體推導(dǎo)虎克 定律的方法進(jìn)行三向一般應(yīng)力單元體的廣義虎 克定律的推導(dǎo)：x1xyz 15,A Ey1yzxEz1zxyEyzyzxyxyG 15,B GzxzxGG剪切虎克定律學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載4、平面應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的廣義虎克定律在15,A式中,如z0,yzzy0,zxxz0,即平面應(yīng)力狀態(tài)的一般形式,就相應(yīng)的廣義虎克定律就為：x1 Exxy y1 EyxzEyxyxyG 已知應(yīng)力求應(yīng)變利用式中的前二式,可改寫(xiě)上式,即寫(xiě)成用應(yīng)變表示應(yīng)力的形式: x1E2xyy1E2yx xyGxy 已知應(yīng)變求應(yīng)力5、

19、彈性常數(shù) E、G、 間的關(guān)系在廣義虎克定律中,已涉及到E、G、 三個(gè)彈性常數(shù)；對(duì)于各向同性材料,這三個(gè)彈性常數(shù)間存在著如下關(guān)系：G21E 爭(zhēng)辯：學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載廣義虎克定律的應(yīng)用范疇：小變形、材料各向同性,線彈性范疇內(nèi)；求應(yīng)力的兩條路：其一,從外力內(nèi)力應(yīng)力 其二,從應(yīng)變應(yīng)力內(nèi)力外力六平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析 一、應(yīng)變分析數(shù)解法 為使大家能對(duì)應(yīng)力分析、應(yīng)變分析進(jìn)行比較,現(xiàn)將這兩方面的結(jié)論摘錄 如下：1、任意斜截面上的正應(yīng)力、剪應(yīng)力：x2ysin2x2ycos2xsin2 x2yxcos2 主應(yīng)力及主方向：max0 x2yyx2y2x2 mintg22x x主剪應(yīng)力：maxx2y2x min學(xué)

20、習(xí)好資料 歡迎下載2、任意方向的線應(yīng)變、剪應(yīng)變：2x2ysinx2yxyx2ycos2xysin2 222cos 2主應(yīng)變及主方向：max0 x2yyx2y2xy2 min2tg2xxy 主剪應(yīng)變：min max x y 2xy 2 依據(jù)平面應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法應(yīng)力圓方程的分析可知：第組的曲線方程是個(gè)應(yīng)力圓；與第組的方程對(duì)比可知,第組的曲線方程是個(gè)應(yīng)變圓；二、應(yīng)變分析圖解法比較第 1、2 組方程,可以發(fā)覺(jué)： 與 在數(shù)值上差1 ,因此,在畫(huà)應(yīng) 2變圓時(shí),只須將縱坐標(biāo)值減半,然后作應(yīng)變圖；即選取如下的坐標(biāo)系（見(jiàn)圖 28,a）已知 x、 y、xy設(shè) x y 試?yán)L應(yīng)變圓：1、量取OB1X,B 1D1XY

21、2OB2y,B 2D2XY2學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載2、連 D1、D2兩點(diǎn),交 軸于 C 點(diǎn)；3、以 CD 1 或 CD 2 為半徑作應(yīng)變圓；圖 9-28 應(yīng)變圓與應(yīng)力圓的比較： A1、A2-1、2（=0）A1、A2-1、2（=0）主應(yīng)力與主應(yīng)變的方向一樣 A1（1）與 A2（2）差 1800 A1（ 1）與 A2（ 2）差 1800最大最小主應(yīng)變、主應(yīng)力間的夾角差900A1G 與 A1G 差 9001m ax與1m ax差 450m ax 對(duì)應(yīng)m ax三、應(yīng)變花由一點(diǎn)處三個(gè)方向的線應(yīng)變求主應(yīng)變由公式可知,欲求一點(diǎn)處的主應(yīng)變,只要測(cè)得x、y和xy ,但目前測(cè)xy尚有困難； 為此,應(yīng)變量測(cè)中常貼成應(yīng)

22、變花, 即在所爭(zhēng)辯的點(diǎn)處量測(cè)兩正交方向的線應(yīng)變x和y,并量測(cè)與 X 軸間夾角為 450 的 U 方向的線應(yīng)變u（見(jiàn)圖 29）；u 與xy 之間的關(guān)系,可由式來(lái)求得：u450 x2y學(xué)習(xí)好資料cos2450歡迎下載2450 xyxysin22x2yxy2圖 9-29 即xyxy2u （這樣,就可通過(guò)一點(diǎn)處三個(gè)方向的線應(yīng)變來(lái)求得主應(yīng)變；例題：已知x700106,y500106,450350106,求主應(yīng)變m in ？xy=xy2u5001062350106500106解：7001061、數(shù)解法：tg2max700500 1061200210625001062min22010010665010675

23、010611155010635001060. 416712001060 1 82000 11 1822037（即逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)2、圖解法比例： 1 厘米=200106圖 9-30 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載由圖示得：1275010660111835501002236七三向應(yīng)力狀態(tài)下的變形能 一、體積應(yīng)變 1、體積應(yīng)變的定義：?jiǎn)卧w在單位體積上的體積轉(zhuǎn)變稱為體積應(yīng)變；2、體積應(yīng)變的運(yùn)算式：三向主應(yīng)力單元體的體積應(yīng)變：圖 9-31 原先的體積：V0a 1a2a3a21 122a3 133受力后邊長(zhǎng)的轉(zhuǎn)變：a 1a1 11變形后的體積：V 1a1a2a3 11 1學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載略去高階微量（即兩個(gè)或三個(gè)

24、線應(yīng)變的乘積項(xiàng)）就變形后的體積：V 1a1a2a3 1123設(shè)體積轉(zhuǎn)變的增量為 V,就按體積應(yīng)變的定義得：體積應(yīng)變：V2V 1V 0a 1a2a 3123V 0V 0a 1a2a 313 將三個(gè)主應(yīng)變與三個(gè)應(yīng)力間的關(guān)系式代入上式,經(jīng)簡(jiǎn)化后得：12123 E純剪切應(yīng)力狀態(tài)單元體的體積應(yīng)變 純剪切應(yīng)力狀態(tài)單元體的體積應(yīng)變13,200 即純剪應(yīng)力單元體的體積應(yīng)變等于零；圖 9-32 三向一般應(yīng)力狀態(tài)單元體的體積轉(zhuǎn)變 依據(jù)上述兩種應(yīng)力狀態(tài)單元體的體積應(yīng)變的推證,可得三向一般應(yīng)力狀 態(tài)單元體的體積應(yīng)變?yōu)椋?2xyZ E由此可見(jiàn)： 與 無(wú)關(guān),只與三個(gè)相互垂直面上的正應(yīng)力之和成正比；圖 9-33 二、彈性變

25、形能復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的比能 1、比能的定義 單元體在單位體積內(nèi)所儲(chǔ)存的彈性變形能為比能；學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載2、比能的運(yùn)算式推導(dǎo)比能公式的基本原理功能互換；復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的比能回憶：?jiǎn)蜗驊?yīng)力狀態(tài)下比能公式的推導(dǎo)圖 9-34 變形能 U=W 外力所做的功U1Pl1Pll1 2比能：UU2V0A2圖 9-35 據(jù)此,對(duì)于三向應(yīng)力狀態(tài)下的單元體其比能可以直接寫(xiě)為U111122133 222將b式中的三個(gè)主應(yīng)變也用主應(yīng)力來(lái)表示,經(jīng)簡(jiǎn)化即得：U12222122331 1232E學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載體積轉(zhuǎn)變比能和形狀轉(zhuǎn)變比能 定義：體積轉(zhuǎn)變比能單元體因體積轉(zhuǎn)變所儲(chǔ)存的變形比能,稱為體積改變比能；形狀轉(zhuǎn)變比能

26、d單元體因形狀轉(zhuǎn)變所儲(chǔ)存的變形比能,稱為形狀改變比能；體積轉(zhuǎn)變比能 的運(yùn)算 由于在一般情形下 1 2 3,所以物體發(fā)生變形又有形狀轉(zhuǎn)變；因 此在28式中的比能 應(yīng)包括兩個(gè)部分,即 d 如何將 d 分別運(yùn)算呢？由于兩個(gè)體積應(yīng)變相等的單元體,其體積轉(zhuǎn)變比能也相等,所以將下圖 A 所示的單元體上三個(gè)主應(yīng)力均代之以三主應(yīng)力的平均值,如圖 B 所示；圖 9-36 a b 圖 a、b 所示的兩單元體體積應(yīng)變相等,體積轉(zhuǎn)變比能明顯也相等；而 圖 b 所示的單元體其三個(gè)主應(yīng)力相等,即只有體積轉(zhuǎn)變而無(wú)形狀轉(zhuǎn)變,于是 由它的比能來(lái)運(yùn)算圖 a 所示單元體的體積轉(zhuǎn)變比能,即u1222學(xué)習(xí)好資料歡迎下載22222mmmmmm2E31231211232m2E2E9121232 6E形狀轉(zhuǎn)變比能 d 的運(yùn)算：將式27、28代如c式,即得形狀轉(zhuǎn)變比能d例題：?jiǎn)卧w應(yīng)力狀態(tài)如圖a 所示,已知材料的彈性