2018年學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修45教的學(xué)案第一講一3三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式高品質(zhì)版

1、3三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式對應(yīng)學(xué)生用書P81定理3abc3若是a，b，cR，那么abc，當且僅當abc時，等號建立，用文字語言可表達為：三個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均(1)不等式abc3abc建立的條件是：a，b，c均為正數(shù)，而等號建立的條件是：當3且僅當abc.(2)定理3可變形為：abc(abc33333abc.3)；abc三個及三個以上正數(shù)的算術(shù)幾何平均值不等式的應(yīng)用條件與前面基本不等式的應(yīng)用條件是相同的，即“一正，二定，三相等”2定理3的實行關(guān)于n個正數(shù)a1，a2，an，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即a1a2annna1a2an，當且僅當a1a2an時，等號建立對應(yīng)

2、學(xué)生用書P8用平均不等式證明不等式例1已知a，b，cR，求證：bcacababc3.abc思路點撥欲證不等式的右邊為常數(shù)3，聯(lián)想到不等式abc33abc(a，b，cR)，故將所證不等式的左邊進行合適的變形證明bcacababcabcbcacab3abcabc3bca3cab333633.abcabc當且僅當abc時取等號證明不等式的方法與技巧(1)觀察式子的構(gòu)造特點，解析題目中的條件若具備“一正，二定，三相等”的條件，可直接應(yīng)用該定理若題目中不具備該條件，要注意經(jīng)過合適的恒等變形后再使用定理證明三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式是依照不等式的意義、性質(zhì)和比較法證出的，因此凡是利用該不等式證明的不等式

3、，一般可用比較法證明1111設(shè)a，b，c0，求證：a3b3c3abc23.證明：因為a，b，c0，由算術(shù)幾何平均不等式可得11131113333333，abcabc即1113333(當且僅當abc時，等號建立)abcabc因此1113abc.33c3ababcabc而3abc23222時，等號建立)，abc23(當且僅當abc3abcabc因此1113(當且僅當abc63時，等號建立)33c3abc2ab2已知a1，a2，an都是正數(shù)，且a1a2an1，求證：n(2a1)(2a2)(2an)3.證明：因為a1是正數(shù)，依照三個正數(shù)的平均不等式，有2a111a133a1.同理2aj33aj(j2,

4、3，n)將上述各不等式的兩邊分別相乘即得(2a1)(2a2)(2an)(33a1)(33a2)(33an)3n3a1a2an.a1a2an1，(2a1)(2a2)(2an)3n.當且僅當a1a2an1時，等號建立.用平均不等式求最值23例2(1)求函數(shù)y(x1)(32x)1x1)的最小值思路點撥關(guān)于積的形式求最大值，應(yīng)構(gòu)造和為定值(2)關(guān)于和的形式求最小值，應(yīng)構(gòu)造積為定值解：(1)1x0，x10.y(x1)2(32x)(x1)(x1)(32x)x1x132x33131，327當且僅當x1x132x，即x43時，y131，2max27.4(2)x1，x10，yxx1211(x1)421(x1)1

5、22x3114214，32x1x12x1當且僅當111)42，2(x1)(xx12即x3時等號建立即ymin4.利用三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式定理求最值，可簡記為“積定和最小，和定積最大”應(yīng)用平均不等式定理，要注意三個條件“即一正二定三相等”同時具備時，方可獲取最值，其中定值條件決定著平均不等式應(yīng)用的可行性，獲取定值需要必然的技巧，如：配系數(shù)、拆項、分別常數(shù)、平方變形等12的最大值為()3設(shè)x0，則f(x)4x2x2B42A425C不存在D.2解析：x0，f(x)4x1xx13x2x22x222x22答案：D4若0 x1，則函數(shù)yx4(1x2)的最大值是_，此時x_

6、.解析：因為0 x1，因此yx4(1x2)1x2x2(22x2)1x2x222x234，當且32227僅當x2x222x2，即x6時，函數(shù)yx4(1x2)獲取最大值4.32746答案：273用平均不等式解應(yīng)用題例3以下列圖，在一張半徑是2米的圓桌的正中央上空掛一盞電燈大家知道，燈掛得太高了，桌子邊緣處的亮度就?。粧斓锰?，桌子的邊緣處依舊是不亮的由物理學(xué)知道，桌子邊緣一點處的照亮度E和電燈射到桌子邊緣的光輝與桌子的夾角的正弦成正比，而和這一點到光源的距離r的平方成反比，即sinEkr2.這里k是一個和燈光強度有關(guān)的常數(shù)，那么終歸應(yīng)該怎樣選擇燈的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？思路點撥依照題設(shè)條件

7、建立r與的關(guān)系式sin將它代入Ekr2獲取以為自變量，E為因變量的函數(shù)關(guān)系式用平均不等式求函數(shù)的最值獲取問題的解解2，rcos2sincosEk00，y2xx2xx224，當且僅當x1x，即x1時取等號答案：C2設(shè)a，bR，且ab3，則ab2的最大值為()A2B3C4D6解析：ab24abb22bb4a22334ab34134，3b當且僅當a1時，等號建立即ab2的最大值為4.答案：C3若logxy2，則xy的最小值是()33832A.2B.33322C.2D.311解析：由logxy2得yx2.而xyxx2xx13xx133x1132即x32時取等號2323，當且僅當2222x22x42x答

8、案：A4已知圓柱的軸截面周長為6，體積為V，則以下總建立的是()AVBV11CV8DV8解析：設(shè)圓柱半徑為r，則圓柱的高h64rVr2264r，因此圓柱的體積為hr22r2(32r)rr32r3.3當且僅當r32r，即r1時取等號答案：B5設(shè)0 x1，則x(1x)2的最大值為_.解析：0 x0.故32x1x1x2x1x1x2.33x(1x)24當且僅當x1時取等號.273答案：42716若a2，b3，則aba2b3的最小值為_解析：a2，b3，a20，b30.則ab1(a2)(b3)15a2b3a2b33158.3a2b3a2b3當且僅當a2b31即a3，b4時等號建立a2b3答案：87已知關(guān)

9、于x的不等式2x127在x(a，)上恒建立，則實數(shù)a的最小值xa為_11解析：2xxa2(xa)(xa)xa22a，xa0.2x13122a，23xaxaxaxa32a，1當且僅當xaxa2即xa1時，取等號12xxa2的最小值為32a.由題意可得32a7，得a2.答案：28設(shè)a，b，cR，求證：(abc)1119bcac.ab2證明：a，b，cR，2(abc)(ab)(bc)(ca)33abbcca0.111311130，abbcacabbcac(abc)1119.abbcac2當且僅當abc時，等號建立9設(shè)x，y，z0，且x3y4z6，求x2y3z的最大值解：6x3y4zxxyyy4z66

10、x2y3z，22x2x3z1當xy4z時，取“”.2x2，y1，z1時，x2y3z獲取最大值1.410有一塊邊長為36cm的正三角形鐵皮，從它的三個角上剪下三個全等的四邊形后做成一個無蓋的正三棱柱容器，要使這個容器的容積最大，剪下的三個四邊形面積之和等于多少？最大容積是多少？解：剪下的三個全等的四邊形以下列圖，設(shè)A1F1x，則AF13x，A1B1F1F23623x.V324(3623x)x32(63x)(63x)2x.0 x63，63x0.V3363x63x2x3.23又(63x)(63x)2x123，當63x2x，即x23時，V有最大值，這時V最大323(43)3864(cm3)S四邊形A1

11、F1AE2x3x3x2123(cm2)，三個四邊形面積之和等于363cm2.隨著年齡的疊加，我們會漸漸發(fā)現(xiàn)：越是有智慧的人，越是謙虛，因為昂頭的可是稗子，低頭的才是稻子；越是豐饒的人，越是尊貴，因為真切的豐饒是靈魂上的尊貴以及精神世界的豐饒；越是優(yōu)秀的人，越是努力，因為優(yōu)秀向來不是與生俱來，向來不是一蹴而就。隨著滄桑的累積，我們也會慢慢懂得：成功的路，其實其實不擁擠，因為能夠堅持終歸的人實在太少；所有優(yōu)秀的人，其實就是活得很努力的人，所謂的成功，其實最后就是自己價值觀的成功。人到中年，突然間覺醒好多，總算理解：人生，只有將人間的路一一走遍，才能到終點；生活，只有將世間況味各種嘗遍，才能熬出頭。

12、此人間，向來沒有最好，只有更好。每天，總想要努力醒得比太陽還早，因為總感覺人間萬物，太陽是最能賜人力量和能量的。每當面對噴薄的日出，心中的太陽隨之漸漸騰起，生命之火熊熊燃燒，生活的熱情就會光輝四射。我真的難以想象，那些向來不早起的人，一世終歸能夠看到幾回日升？那些向來沒有優(yōu)秀習(xí)慣的人，活到最后終歸該是多么的遺憾與愧疚？曾國藩說：清早不起，誤一天的事；幼時不學(xué)，誤一世的事。尼采也說：每一個不曾起舞的日子，都是對生命的辜負。光陰易逝，豈容我待？越是努力的人，越是沒有時間抱怨，越是沒有時間頹喪。每當走在破曉的曙光里，看到那些腳扎實地干凈城市的“美容師”，我就會由衷地欣賞并在心底贊嘆他們，因為他們活得

13、很努力很認真。每當看見那些奔跑在晨暉絢爛里的晨練者，我就會從心里為他們豎起大拇指，因為他們給自己力量的同時，也贈予別人能量。我總感覺：你能夠不優(yōu)秀，但你必定有認真的態(tài)度；你能夠不行功，但你必定努力。這個世界上，向來沒有誰比誰更優(yōu)秀，只有誰比誰更努力。我也向來認為：一個活得很努力的人，自帶光輝萬丈；一個人認真的樣子，比任何時候都要美好；一個能夠自律自控的人，他的人生也就成功了大多數(shù)。人間每一種的好，向來都只為懂得努力的人盛裝而來。有時，我真的感覺，人生的另一個名字應(yīng)該叫做努力，努力了就會無悔，努力了就會無愧；生活的另一種說法應(yīng)該叫做煎熬，熬過了漫漫黑夜，天就亮了，熬過了蕭蕭冬日，春天就來了。人生

14、不易，越努力越好運；余生不長，越珍惜越優(yōu)秀。人生，是一本太急促的書，越認真越深刻；生命，是一條無名的河，越往前越深邃。愿你不要為已逝的年光痛惜，不要為前路的茫茫而阻滯不前愿你相信所有的堅持總能奏響破曉的軍號，所有的努力總能孕育碩果的盛駕光臨。愿你堅信越是成功的人越是不相同意自己頹喪松散，越是優(yōu)秀的人越是努力生活中好多時候，我們遇到一些復(fù)雜的情況，會很簡單被眼前的阻擋所蒙蔽，找不到解決問題的方法。這時候，若是能從當前的環(huán)境走開出來，從一個新角度去解決問題，也許就會峰回路轉(zhuǎn)。一個土豪，每次出門都擔憂家中被盜，想買只狼狗栓門前護院，但又不想雇人喂狗浪費銀兩?？嗨荚S久后終得一法：每次出門前把WiFi更

15、正成無密碼，爾后放心出門每次回來都能看到十幾個人捧著手機蹲在自家門口，今后無憂。護院，未必必然要養(yǎng)狗換個角度想問題，結(jié)果大不相同。一位大爺?shù)讲耸袌鲑I菜，挑了3個西紅柿到到秤盤，攤主秤了下：“一斤半3塊7?！贝鬆敚骸白鰷挥媚敲炊?。”去掉了最大的西紅柿。攤主:“一斤二兩，3塊?！闭斏磉吶讼胩崾敬鬆斪⒁獬訒r，大爺沉著的拿出了七毛錢，拿起方才去掉的那個大的西紅柿，瀟灑地換種算法，自成一家，你會發(fā)現(xiàn)解決問題的另一個方法。生活中，我們特別簡單墜入非A即B的思想死角，但其實，遭到兩難困境時換個角度思慮，也許就會理解：路的旁邊還有路。一個魚塘新開張，釣費100塊。釣了一整天沒釣到魚，老板說凡是沒釣到的就送

16、一只雞。好多人都去了，回來的時候每人拎著一只雞，大家都很快樂！感覺老板很夠意思。此后，垂釣場看門大爺告訴大家，老板本來就是個養(yǎng)雞專業(yè)戶，這魚塘本來就沒魚。巧妙的去庫存，還讓顧客心甘情愿買單。新時代，做營銷，必定打破傳統(tǒng)思想。孩子不愿意做爸爸留的課外作業(yè)，于是爸爸靈光一閃說：兒子，我來做作業(yè)，你來檢查怎樣？孩子快樂的答應(yīng)了，并且把爸爸的“作業(yè)”認真的檢查了一遍，還列出算式給爸爸講解了一遍但是他可能怎么也不理解為什么爸爸所有作業(yè)都做錯了。巧妙變換角色，退后一步，有時是另一種前進。一個博士群里有人提問：一滴水從很高很高的地方自由落體下來，砸到人會不會砸傷？或砸死？群里一下就喧雜起來，各種公式，各種假

17、設(shè)，各種阻力，重力，加速度的計算，足足談?wù)摿私粋€小時此后，一個不小心進錯群的人靜靜問了一句：你們沒有淋過雨嗎人們經(jīng)常簡單被平常思想所監(jiān)管，而忘記了最簡單也是最直接的路有兩個年輕人，大學(xué)畢業(yè)后一起到廣州闖天下。甲很快做成一單大買賣，升為部門經(jīng)理；乙業(yè)績很差，還是一個業(yè)務(wù)員，并且是甲的手下。乙心理不平衡，就去廟里找和尚，求神明互幫。和尚說：“你過三年再看?！比旰螅业胶蜕?，很沮喪地說甲現(xiàn)在已經(jīng)是總經(jīng)理了。和尚說：再過三年再看。三年又過去了，他又去見和尚，大發(fā)雷霆地說：甲已經(jīng)自己當老板了。和尚說：我也從一般和尚升為方丈了。我們都是自己，你是誰？我們都為自己活著，看守著自己的責任，你在干什么？你

18、悲傷地為甲活著，看守著他，你丟的不是職位、金錢和面子，你拋棄了自己。一年后，乙又來了，坐視不救地說：和尚你不對，甲企業(yè)破產(chǎn)，他坐牢了。和還沒有語，心里悲憫：坐牢了，破產(chǎn)了，甲還是他自己。但是你這個可憐的人啊，還不是你自己呀。十年后，甲在牢獄里服刑時，考慮人生，寫了一本書，很驚動，成了熱賣書。簽字售書，成了名人，風(fēng)光無量。甲還在電視上與和尚一起，作為名人談經(jīng)論道、感人眾生。乙在出租屋里看電視，手里翻著甲的書，心里極度悲傷。他給和尚發(fā)短信：我相信命運了，甲坐牢都能坐出好風(fēng)光來。你還沒找到自己乙就這樣一輩子把自己給弄丟了。你看到別人一路暢達時，心中可否會忿忿不平？看到別人失意落魄時，又可否會坐視不救，洋洋喜悅？其實別人的好與壞，與你又有什么關(guān)系呢？你需要要做的其實可是自己。真切智慧的人，在人生追求的路上，只有不斷的自我升級，比較別人的所有，不斷的鼓舞自己，一路堅持，才能不斷的升華，實現(xiàn)人生的夢想。一位少年家境貧困，為了生計，他到一個莊園主家里當工人。他很勤奮，也很專心，生怕自己干不好被辭退。莊園主是一位紳士，對待工人很友善。一天，他突然接到一個電話，那里傳來一其中年人的聲音：“先生，您需不需要工人？”莊園主搖了搖頭，輕聲地說：“