拓展資料：導數(shù)思想在高考模擬試題中的體現(xiàn)

1、PAGE15導數(shù)思想在高考試題中的體現(xiàn)導數(shù)的思想方法和基本理論有著廣泛的應用，除對中學數(shù)學有重要的指導作用外，也能在中學數(shù)學的許多問題上起到居高臨下和以簡化繁的作用。本文對2022年數(shù)學高考試題中有關運用導數(shù)解決問題的試題進行分析，看如何運用導數(shù)解決中學數(shù)學中相關問題：如函數(shù)單調性、最值等函數(shù)問題；在掌握導數(shù)的相關概念的基礎上應用導數(shù)作出特殊函數(shù)的圖象；應用導數(shù)解題的一般方法證明某些不等式的成立和解決數(shù)列的有關問題，再根據(jù)導數(shù)所具有的幾何意義對切線相關問題及平行問題等幾何問題進行了一些探討，并最終運用導數(shù)解決實際問題中的最值。在我國現(xiàn)在中學數(shù)學新教材中，導數(shù)處于一種特殊的地位，是高中數(shù)學知識的

2、一個重要交匯點，是聯(lián)系多個章節(jié)內容以及解決相關問題的重要工具。在2022年各省高考試題中，我們不難發(fā)現(xiàn)導數(shù)的應用在中學數(shù)學中是非常廣泛的，涉及到了中學數(shù)學的各個方面，具體如下：（一）在函數(shù)方面的應用11函數(shù)單調性的討論函數(shù)的單調性是函數(shù)最基本的性質之一，是研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識。通常用定義來判斷，但當函數(shù)表達式較復雜時判斷正負有困難時選用導數(shù)就會很方便。運用導數(shù)知識來討論函數(shù)單調性時，只需求出，再考慮的正負即可。此方法簡單快捷而且適用面廣。江西卷12設在內單調遞增，則是的（B）充分不必要條件必要不充分條件充分必要條件既不充分也不必要條件安徽卷18設，令，討論在內的單調性。解：根據(jù)求導法

3、則有，故，于是，當時，當時，故知在內是減函數(shù)，在內是增函數(shù)。陜西卷20設函數(shù)，其中為實數(shù)（II）當?shù)亩x域為時，求的單調減區(qū)間解：，令，得由，得或，又，時，由得；當時，；當時，由得，即當時，的單調減區(qū)間為；當時，的單調減區(qū)間為浙江卷22設，對任意實數(shù)，記（I）求函數(shù)的單調區(qū)間；解：由，得因為當時，當時，當時，故所求函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是分析：這類求函數(shù)單調區(qū)間的問題要比給出某個區(qū)間判斷函數(shù)的單調性復雜一些在這類題型中，首先對求導；再令或，通過解關于的不等式，即可得到的單調遞增（減）區(qū)間12函數(shù)的最值（極值）的求法最值（極值）問題是高中數(shù)學的一個重點，也是一個難點它涉及到了中學數(shù)學

4、知識的各個方面，用導數(shù)解決這類問題可以使解題過程簡化，步驟清晰，也好掌握。一般地，函數(shù)閉區(qū)間a，b上可導，則在a，b上的最值求法：求函數(shù)在（a，b）上的駐點；計算在駐點和端點的函數(shù)值，比較而知，最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。江蘇卷13已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，則_32_遼寧卷12已知與是定義在上的連續(xù)函數(shù)，如果與僅當時的函數(shù)值為0，且，那么下列情形不可能出現(xiàn)的是（C）A0是的極大值，也是的極大值B0是的極小值，也是的極小值C0是的極大值，但不是的極值D0是的極小值，但不是的極值天津卷20已知函數(shù)，其中當時，求函數(shù)的單調區(qū)間與極值解：由于，以下分兩種情況討論（1）當時，令

5、，得到，當變化時，的變化情況如下表：00遞減極小值遞增極大值遞減所以在區(qū)間，內為減函數(shù)，在區(qū)間內為增函數(shù)函數(shù)在處取得極小值，且，函數(shù)在處取得極大值，且（2）當時，令，得到，當變化時，的變化情況如下表：00遞增極大值遞減極小值遞增所以在區(qū)間，內為增函數(shù)，在區(qū)間內為減函數(shù)函數(shù)在處取得極大值，且函數(shù)在處取得極小值，且分析：本小題考查兩個函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。湖北卷20已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，其中設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同（I）用表示，并求的最大值；解：（）設與在公共點處的切線相同，由題意，即由得：，或

6、（舍去）即有令，則于是當，即時，；當，即時，故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為分析：這類題目解決的關鍵在于深刻理解并靈活運用導數(shù)的知識，實質是確定新構造函數(shù)的最大值。（二）在不等式證明方面的應用利用導數(shù)證明不等式，就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系，將不等式的部分或者全部投射到函數(shù)上。直接或等價變形后，結合不等式的結構特征，構造相應的函數(shù)。通過導數(shù)運算判斷出函數(shù)的單調性或利用導數(shù)運算來求出函數(shù)的最值，將不等式的證明轉化為函數(shù)問題，即轉化為比較函數(shù)值的大小，或者函數(shù)值在給定的區(qū)間上恒成立等。江蘇卷9已知二次函數(shù)的導數(shù)為，對于任意實數(shù)，有，則的最小值為（C）安徽卷18設，（）求證：當時，恒有證

7、明：由知，的極小值于是由（）知，對一切，恒有從而當時，恒有，故在內單調遞增所以當時，即故當時，恒有湖北卷20已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，其中設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同（II）求證：（）證明：設，則故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是故當時，有，即當時，全國卷20設函數(shù)（）證明：的導數(shù)；（）若對所有都有，求的取值范圍解：（）的導數(shù)由于，故（當且僅當時，等號成立）（）令，則，（）若，當時，故在上為增函數(shù)，所以，時，即（）若，方程的正根為，此時，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)所以，時，即，與題設相矛盾綜上，滿足條件的的取值范圍是浙江卷22設，對任意實數(shù)，記（II）求證：（）當時

8、，對任意正實數(shù)成立；證明：（i）方法一：令，則，當時，由，得，當時，所以在內的最小值是故當時，對任意正實數(shù)成立方法二：對任意固定的，令，則，由，得當時，當時，所以當時，取得最大值因此當時，對任意正實數(shù)成立分析：這類題型主要考查函數(shù)的基本性質、導數(shù)在不等式的證明中的應用、以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力。當不等式直接證明比較困難時可對不等式一邊作一變形，再構造函數(shù)利用求導分析。（三）在數(shù)列方面的應用數(shù)列是高中數(shù)學中一個重要的部分，也是個難點。事實上數(shù)列可看作是自變量為正整數(shù)的特殊的函數(shù)，所以可以利用數(shù)列和函數(shù)的關系，運用導數(shù)來解決數(shù)列的有關問題。廣東卷21已知函數(shù)，是方程的兩個根（），是

9、的導數(shù)，設，（1）求的值；（2）證明：對任意的正整數(shù)，都有；解析：（1），是方程f=0的兩個根，；（2），=，有基本不等式可知（當且僅當時取等號），同，樣，（n=1,2,），（四）在解析幾何方面的應用導數(shù)在解析幾何中應用主要體現(xiàn)在求曲線的切線上。江西卷11設函數(shù)是上以5為周期的可導偶函數(shù)，則曲線在處的切線的斜率為（B）分析：這道題可以根據(jù)導數(shù)的幾何意義來求，導數(shù)的幾何意義是函數(shù)在點的導數(shù)是曲線在點處的切線斜率全國卷二22已知函數(shù)（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設，如果過點可作曲線的三條切線，證明：解：（1）求函數(shù)的導數(shù)；曲線在點處的切線方程為：，即（2）如果有一條切線過點，則存在，使于是，

10、若過點可作曲線的三條切線，則方程有三個相異的實數(shù)根記，則當變化時，變化情況如下表：000遞增極大值遞減極小值遞增由的單調性，當極大值或極小值時，方程最多有一個實數(shù)根；當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根；當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數(shù)根，則即（五）在實際問題中的應用北京卷19如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為（I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（II）求面積的最大值I）依題意，以的中點為原點建立直角坐標系（如圖），

11、則點的橫坐標為點的縱坐標滿足方程，解得則，其定義域為（II）記，則令，得因為當時，；當時，所以是的最大值因此，當時，也取得最大值，最大值為即梯形面積的最大值為福建卷19某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交元（）的管理費，預計當每件產(chǎn)品的售價為元（）時，一年的銷售量為萬件（）求分公司一年的利潤（萬元）與每件產(chǎn)品的售價的函數(shù)關系式；（）當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤最大，并求出的最大值解：（）分公司一年的利潤（萬元）與售價的函數(shù)關系式為：（）令得或（不合題意，舍去），在兩側的值由正變負所以（1）當即時，（2）當即時，所以答：若，則當每件售價為9元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）；若，則當每件售價為元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）分析：在求實際問題中的最大值或最小值時，一般是先求出自變量、因變量，建立函數(shù)關系式，并確定其定義域。如果定義域是一個開區(qū)間，函數(shù)在定義域內可導（一般初等函數(shù)在自己的定義域內必可導），且此函數(shù)在這一開區(qū)間內有最大（?。┲担敲粗灰獙瘮?shù)求導，當發(fā)現(xiàn)定義域內只有一個極值點時，立即可以斷定在這個極值點處的函數(shù)值就是最大（?。┲怠Ｈ绻x域是閉區(qū)間，則必須對該點處的函數(shù)值與